Fisica Generale A. 1. Vettori. Alfabeto Greco. Vettori. Vettori in Matematica. !," alfa. 2,3 iota. #,$ beta. 4,5 kappa. %,& gamma.

Transcript

1 Fisi Geele A Alfeto Geo, lf,3 iot A,B o, et 4,5 kpp C,D sigm, gmm 6, 7 lmd E,F tu. ettoi, delt ),,* epsilo µ,8 mu 9,: u G, H,I,J upsilo fi +,, et ;,< i K, L hi,. et,> omio M,N psi /,, thet?,@ pi O,P omeg Septeme 9, ettoi ettoi i Mtemti U ettoe è u etità mtemti sttt: Utilit pe ppesete etità fisihe oettulmete molto diese t loo, quli: Spostmeto ettilieo di u puto; eloità; Aeleioe; Qutità di moto; Mometo dell qutità di moto; Fo; Mometo di u fo; Cmpo elettio; Cmpo mgetio; Mometo di dipolo elettio; Mometo di dipolo mgetio; Desità di oete. I mtemti u ettoe è u elemeto di u ptiole stuttu lgei, deomit Spio ettoile. Stuttu lgei: isieme S himto isieme sostego) muito di u o più leggi di omposiioe opeioi), le quli: Possoo essee, uie, iie, e. Soo tteite dllee popietà quli ommuttiità e ssoitiità, e. Le etità mtemtihe soo spesso stioi di etità oete utilite elle siee speimetli fisi, iologi, eoomi, e.): I ettoi soo stioi di etità oete utilite sopttutto ell fisi spostmeto ettilieo di u puto, fo, e.). 3 4

2 Gdee Fisihe ettoi i Fisi Gdee sli: ompletmete speifite ssegdo u loe umeio e u uità di misu. Esempi: lughe, tempo, supefiie, olume, mss, desità, tempetu, i eletti, desità di i, poteile, loo, eegi, flusso, itesità di oete, esiste, esistiità, pità, idutt, impede, e. Gdee ettoili: ompletmete speifite ssegdo u loe umeio detto om o modulo), u dieioe, u eso e u uità di misu. Esempi: spostmeto ettilieo di u puto, eloità, eleioe, qutità di moto, mometo dell qutità di moto, fo, mometo di u fo, mpo elettio, mpo mgetio mometo di dipolo elettio, mometo di dipolo mgetio, desità di oete, e. Gdee tesoili: l loo speifiioe è o più omplit Esempi: otioe, tesoe di iei, tesoe degli sfoi, tesoe eegiimpulso del mpo elettomgetio, tesoe di utu, e. I fisi si distiguoo diesi tipi di ettoe: ettoi odii: No è defiito u ptiole puto si ppliioe. Esempio: spostmeto ettilieo di u puto. ettoi ppliti: Isieme di u ettoe odiio e di u puto di ppliioe. Esempio: fo. 5 6 ettoi i Fisi II) L eloità Agole È u ettoe Assile I fisi si lssifio i ettoi i tegoie seod del loo ompotmeto pe iflessioe speule: ettoi poli: Cmio eso i ettoi pepedioli llo spehio. Esempio: spostmeto ettilieo di u puto, fo, mpo elettio. ettoi ssili o pseudoettoi): Cmio eso i ettoi plleli llo spehio. Esempio: mpo mgetio, mometo di u fo, mometo dell qutità di moto. 7 8

3 Defiiioe di ettoe I) Defiiioe di ettoe II) B D F A C E Notioi equileti: Pototipo: spostmeto ettilieo di u puto. Spostmeto di u puto d A B su segmeto oietto he ogiuge A o B. Esistoo ifiiti segmeti oietti he ppeseto spostmeti ettiliei di egul lughe, plleli ed equiesi. Chimimo ettoe il quid omue tli segmeti oietti iltieique). Oppue, defiiti equipolleti due segmeti oietti di egul lughe, plleli ed equiesi, defiimo ettoe l lsse di equile dei segmeti oietti ispetto ll elioe di equipolle FegeRussel). Nom o modulo): dist t oigie A e etie B. Si idi o. Dieioe: oietmeto ello spio dell ett su ui gie il segmeto oietto AB. eso: seso di peoe. Medesim dieioe, medesimo eso, ome diese. Medesim om dieioe dies. Medesim om, medesim dieioe, eso opposto. possoo essee utilite ei testi sitti mo 9 Ugugli di ettoi ettoe Opposto e ettoe Nullo Due ettoi si dioo uguli se, e soltto se, essi ho: l medesim om, l medesim dieioe, il medesimo eso. Se due ettoi o soo uguli si dioo disuguli, m o è possiile defiie u elioe d odie i quto o si può toe u iteio pe ffeme he u ettoe è mggioe o mioe di u lto. Dto u ettoe, si defiise ettoe opposto ettoe ete stess dieioe, stess om m eso opposto. Si him ettoe ullo u ettoe he h om ull i questo so dieioe e eso soo idetemiti). u

4 esoi Si himo esoi i ettoi di om uiti. Pe ogi ettoe o ullo esiste u esoe ˆ he h l stess dieioe oiett. ˆ es Compoete di u ettoe Rispetto u Dieioe Dto u ettoe e u qulsisi dieioe oiett u, si defiise l ompoete di su u e si idi o u il podotto dell om di pe il oseo dell golo he il ettoe fom o l dieioe oiett u. ˆ â ˆ ĉ u > u u os u < u 3 4 Compoete di u ettoe Rispetto u Dieioe II) Dto u ettoe e u qulsisi dieioe oiett u, si defiise il ompoete di su u e si idi o u il ettoe he h pe om il loe ssoluto dell oispodete ompoete u e pe eso: lo stesso eso di u se u > ; il eso otio se u <. Compoete di u ettoe Rispetto u Alto ettoe o u esoe Si defiise il ompoete o l ompoete di u ettoe su u lto ettoe u o su u esoe û ) ome il ompoete o l ompoete di ispetto ll dieioe oiett di u o û. u u u u os u u 5 u u 6

5 Not Bee Somm di ettoi Ahe l fie di eite eoi egli eseii è ee fe tteioe o ofodee: Il ettoe: No è uo sle, duque o si può osidee é positio é egtio ; L om del ettoe: È uo sle sempe positio; U ompoete di u ettoe: È uo sle he può essee positio o egtio. Pototipo: spostmeto ettilieo di u puto. Se osideo due spostmeti suessii dello stesso puto: pim d A B, poi d B C. Il isultto somm dei due ettoi) è lo spostmeto d A C egol del tigolo): A B + C C A C B Oeo, idido: B A, C B Sà: + C A + B A 7 8 Regol del Pllelogmmo Popietà Commutti dell Somm L somm + C A è l digole del pllelogmmo ABCD, ete pe lti i segmeti oietti B A e D A. C B A D 9

6 Popietà Assoiti dell Somm + ) + D A + + ) D A B + ) ) + + C Rotioi U tslioe è ppesett d u ettoe. U otioe è ess pue ppesett d u ettoe? edemo he l ispost è NO). Tutti, pim ist potemmo pese di ppesete u otioe medite: U dieioe sse di otioe); U umeo golo di otioe); U eso seod he l otioe eg i seso oio o tioio). A + + D Rotioi II) Diffee di ettoi eifihimo se le otioi godoo dell popietà ommutti: 9º sse y 9º sse 9º sse 9º sse Il isultto è dieso se si smi l odie delle otioi. No le l popietà ommutti Le otioi o soo ppesette d ettoi soo ppesette d tesoi). È l opeioe ies dell somm. Dti due ettoi e si him diffee f e e si idi o quel ettoe he sommto dà ome isultto. O A B A O B O A B 3 4

7 Disugugli Tigole Not Bee L om dell somm o dell diffee) di due ettoi è i geele dieso dll somm o dll diffee) delle ome. Pe l disugugli tigole si h: B + C Somm di ettoi plleli o tiplleli. Ahe l fie di eite eoi egli eseii è ee fe tteioe o ofodee: Il ettoe; L om del ettoe; U ompoete del ettoe. A O A B > + ) < ) 5 6 Podotti t ettoi e Sli Podotto di u ettoe pe uo Sle Podotto di u ettoe pe uo sle: Podotto sle t due ettoi: i Podotto ettoile t due ettoi: isieme dei umei eli spio ettoile Si può defiie il podotto di u umeo tule pe u ettoe ome u somm ipetut olte Geelido, si defiise podotto di u umeo ele e u ettoe e si idi o il simolo il ettoe he h pe om il podotto, pe dieioe l stess dieioe di, e, pe eso, lo stesso eso di se >, il eso otio se <. 3 isieme dei umei eli spio ettoile 7 8

8 Podotto di u ettoe pe uo Sle II) Il podotto di u ettoe pe uo sle è ommuttio, ssoitio, distiutio, si ispetto ll somm di sli, si ispetto ll somm di ettoi. ) ),, ) + ) â es 9 Podotto Sle f Due ettoi i Assoi due ettoi uo sle p. es., ssoi fo e spostmeto il loo). Si defiise podotto sle di due ettoi e, e si idi ol simolo i il podotto dell om di uo dei due ettoi pe l ompoete dell lto ell su dieioe. i os os ) os os ) i os os i oppue oppue 3 Podotto Sle f Due ettoi II) Il podotto sle gode delle popietà ommutti e distiuti ispetto ll somm di ettoi. i i + )i i + i m )i i m m i ),, m Compoete di u ettoe ell Dieioe di u esoe o di u Alto ettoe L ompoete e il ompoete di u ettoe dieioe del esoe û si possoo siee: u iû û u iû ell L ompoete e il ompoete di u ettoe ell dieioe del ettoe geeio u si possoo siee: u i u u u i u u u u i u ) u u u > u u u 3 3

9 Qudto e Nom di u ettoe esoi Si him qudto di u ettoe il podotto sle di u ettoe pe se stesso: i os L om o modulo) di u ettoe si può peiò siee: i Il esoe ˆ ssoito l ettoe si può siee: ˆ es ˆ sle ettoe Podotto di u ettoe pe uo sle Ieso dello sle Nom dell Somm e dell Diffee ) + os + )i + ) i + i + i + i + + i + + os ) )i ) i i i + i + i 35 Podotto ettoile f due ettoi Si defiise podotto ettoile t due ettoi e, e si idi, il ettoe he h pe om l e del pllelogmmo fomto di ettoi e, di dieioe pepediole etmi i ettoi e eso detemito dll egol dell mo dest pollie: pimo ettoe; idie: seodo ettoe; medio: podotto ettoile). si si si ) oppue oppue 36

10 Podotto ettoile f due ettoi II) Doppio Podotto Misto Il podotto ettoile gode delle popietà tiommutti e distiuti ispetto ll somm e ll diffee di ettoi. m ) m ) m ) ± ) ±,, m È dto d: i È ugule, meo del sego, l olume del pllelepipedo ete pe lti, e. Tle pllelepipedo h pe se e lte: B h i es i es es ) i i Doppio Podotto Misto II) Dl Clolo ettoile i Teoemi sui Tigoli Il doppio podotto misto h le segueti popietà: i i i i i L pim segue dl ftto he ei 3 si il olume è il medesimo. L seod si ottiee utilido l pim e l popietà ommutti del podotto sle: )i )i i ) Teoem di Cot o dei osei: ) )i + os Teoem dei sei: + + Teoem delle poieioi: i + si si os + os si si i i i + i i os + os 39 4

11 Defiiioe di Spio ettoile Defiiioe di Spio Eulideo Mtemtimete si defiise Spio ettoile u Stuttu Algei, st su u Isieme Sostego i ui elemeti soo detti ettoi) dott di Opetoi Bii somm t ettoi e moltipliioe di u ettoe pe uo sle) he soddisfo i segueti 8 ssiomi: + ) +,, , ; + ; + ) + ) +,, + ) +,, ) ),, ; Mtemtimete si defiise Spio Eulideo uo Spio ettoile i ui è defiit u legge di omposiioe dett podotto iteo o podotto sle:, i he soddisf i segueti 4 ssiomi: i i )i i ) + )i i + i i, i 4 4 Rppesetioe Ctesi di ettoi Rppesetioe Ctesi di ettoi II) Te tesi otogole: 3 ette oiette o ssi), y e, due due pepedioli, eti u puto i omue O detto oigie. esoi tesii: esoi oispodeti gli ssi, y e, iditi o î, ˆ e ˆk. Le) ompoeti tesie e i) ompoeti tesii: le ompoeti e i ompoeti di u ettoe sugli ssi tesii. î ˆk te destos pefeit) ˆ î ˆ ˆk y y ˆk ˆ te siistos sosiglit) î î ˆ ˆk U olt selt d itio) u te tesi otogole, quluque ettoe si può siee ome l somm dei suoi 3 ompoeti tesii: + y + î î + y ˆ + ˆk y y ˆ ˆk A O y C B y 43 44

12 Rppesetioe Ctesi di ettoi III) Rppesetioe Ctesi di ettoi I) Dto u ettoe e defiito, esso h u diffeete espessioe tesi pe ogi diffeete te tesi he si oside. Nell esempio i figu osideimo l fo peso di u oggetto di peso pi Newto. p N Usdo l te tesi otogole î, ˆ, ˆk, o i N p pimi due ssi sul pio oiotle e il teo sse etile, si h: ˆk p N ˆk î Usdo iee l te tesi ı ˆ, ˆ, k ˆ, o i pimi due ssi sul pio k ˆ 45 pepediole ll sse teeste e il O î teo sse lugo l sse teeste, si h: p N ı ˆ N k ˆ Tutti, fisst u te tesi otogole, i è u oispode iuio t ettoi e tee odite di umei eli le ompoeti tesie): ) su, y, ) 3 p N N p Nell esempio i figu, fisst l te tesi otogole î, ˆ, ˆk, si h: ˆk î p,, N Fisst iee l te tesi ı ˆ, ˆ, k ˆ, si h: p N,, N k ˆ O 45 î S S Rppesetioe Ctesi di ettoi ) Rppesetioe Ctesi di ettoi I) Pe o sglie, qudo ppesetimo u ettoe i oodite tesie, iee delle otioi:,, N) se î, ˆ, ˆk ) p N N,, N) se ı ˆ, ˆ, k ˆ N p ) ˆk utiliimo sempe l otioe: p ˆk N ı ˆ k ˆ )N he i iod sempe qule se stimo utilido. k ˆ O 45 î î Fisst u te tesi otogole: Due ettoi soo uguli se e soltto se soo uguli le 3 oispodeti ompoeti tesie. U ettoe è ullo se e soltto se soo ulle tutte e 3 le ompoeti tesie. Le opeioi t ettoi possoo essee eseguite, olte he ell fom itise he imo isto fio, he ell fom tesi, utilido ioè le espessioi tesie dei ettoi. S 47 48

13 Relioi t i esoi Otogoli Opeioi t ettoi i Fom Ctesi Podotti sli: î iî, ˆ i ˆ, ˆk i ˆk î i ˆ, ˆ i ˆk, ˆk iî Podotti ettoili: î î, ˆ ˆ, ˆk ˆk î ˆ ˆk, ˆ ˆk î, ˆk î ˆ î ˆk ˆ î ˆ ˆk y + î + y ˆ + ˆk ) + î + y ˆ + ˆk ) )î + y ) ˆ + ) ˆk + î + y ˆ + ˆk î + y ˆ + ˆk î + y ˆ + ˆk i î + y ˆ + ˆk )i î + y ˆ + ˆk î + y + y î + y y ˆ + + ˆ + î iî + î i ˆ y + î i ˆk + ˆ iî y + ˆ i ˆ y y + ˆ i ˆk y + + ˆk iî + ˆk i ˆ y + ˆk i ˆk + y y + i + y + ˆk ˆk 49 5 Opeioi t ettoi i Fom Ctesi II) Opeioi t ettoi i Fom Ctesi III) î + y ˆ + ˆk ) î + y ˆ + ˆk ) î î + y î ˆ + î ˆk + y ˆ î + ˆ ˆ y y + ˆ ˆk y + + ˆk î + y ˆk ˆ + ˆk ˆk ˆ ˆk î y y )î + ) ˆ + y y ) ˆk det ˆ ˆk î ˆ ˆk y y i y y )î + ) ˆ + y y ) ˆk i î + ˆ + ˆk y ) y y ) + ) y + y y ) y y y + y y + y y det î y y Nell ppesetioe tesi si possoo he filmete dimoste le idetità ettoili: ) i ) i ),, ) i ) i ),, Iftti, pededo, pe esempio, l ompoete dell pim idetità, si h: ) y / ) y / *. ) +, y y ) y / / i ) i ) + y y + * * / ) y y +, ) i i ) 5 5

14 ettoi iili o il Tempo Uo sle fisio p. es. l tempetu) può ie el tempo. I tl so l iioe è desitt d u fuioe sle del tempo: f : t f t Alogmete u ettoe fisio p. es. l eloità) può ie el tempo. I questo so l iioe è desitt d u fuioe ettoile del tempo: : t t ettoi iili o l Posiioe e Cmpi ettoili Uo sle fisio p. es. l tempetu) può ie o l posiioe ello spio. I tl so l iioe è desitt d u Cmpo Sle oeo d u fuioe sle delle 3 oodite spili): f : P, y,) 3 f P ) f, y,) Alogmete u ettoe fisio p. es. l eloità) può ie o l posiioe ello spio. I questo so l iioe è desitt d u Cmpo ettoile oeo d u fuioe ettoile delle 3 oodite spili): : P, y, ) 3 P), y,) Cmpo ettoile dell eloità del eto Deit di u Puto Deit di u ettoe Dto u puto moile P Pt), doe t è u pmeto iile p. es. il tempo) si defiise deit del puto P ispetto ll iile t il limite, se esiste: dp dt lim P t + t) P t) + ) t t, * P t + t è u ettoe, pe ui he dp dt è u P t) ettoe. L deit di u puto è u ettoe. P t) dp dt P t + t) P t + t P t) Dto u ettoe t, doe t è u pmeto iile p. es. il tempo) si defiise deit del ettoe ispetto ll iile t il limite, se esiste: d dt lim t + t) + ) t) t t, * Poihé t + t) t) è o u ettoe, d dt è pue u ettoe. L deit di u ettoe è u ettoe. t + t) t) t t + t 55 56

15 Deit di u Segmeto Oietto L deit di u segmeto oietto B A B t) A t) è ugule ll diffee delle deite dei suoi puti estemi: segmeto oietto segmeto oietto d l tempo t+t l tempo t ) B A) lim B t + t dt t A t + t) B t) A t) ) t ) ) lim B t + t) B t) A t + t) A t) t t lim B t + t) B t) t t lim A t + t) A t) t t db dt da B t dt A t) d dt B A) db dt da dt Regole di Deiioe dei ettoi B t + t) A t + t) B t) A t) B t + t B t) B t + t) A t + t) A t) A t A t + t A t + t B t) B t + t) 57 ettoe Posiiole U so iteesste si h qudo si oside u segmeto oietto P t) O o u estemo fisso O detto ettoe posiiole o ggio ettoe): P t) t P t) O d dt d dt P t) O dp dt t) L deit di u puto è ugule ll deit del suo ettoe posiiole. O Fuioe Pimiti o Itegle Idefiito 58 d ± ) d dt dt ± d dt d dt ) d + d, dt dt d i ) d dt dt i + i d dt d ) d dt dt + d dt Le deite dei ettoi possoo essee effettute medite le espessioi tesie: d dt d dt î + d y dt ˆ + d dt ˆk Dt u fuioe sle: f t f t si defiise itegle idefiito o meglio) fuioe pimiti dell fuioe f l fuioe F tle he f si l deit di F: F f t)dt f df dt Alogmete, dt u fuioe ettoile: t t si defiise itegle idefiito o meglio) fuioe pimiti dell fuioe l fuioe w tle he si l deit di : w t)dt d w w dt 59 6

16 Fuioe Pimiti o Itegle Idefiito II) Deite Pili L fuioe pimiti o itegle idefiito) si può lole medite le espessioi tesie: t) t)î + y t) ˆ + t) ˆk t) dt î t) dt + ˆ y t) dt + ˆk t) dt Dt u fuioe sle di più iili f, y, ), si defiisoo Deite Pili i limiti se esistoo): f, y, ) f f +, y,, y,) lim f f, y + y,, y,) lim y y y f f, y, +, y,) lim f, y, ) f, y, ) Esempio : f, y, y si f, y, ) y si f, y, y f, y, ysi y os 6 6 Deit Pile e Deit Totle Deit Pile e Deit Totle II) Esempio: Suppoimo di ee u fuioe di iili e he u delle due iili si, su olt, fuioe dell lt: f, y) y y Le deite pili ispetto u iile soo effettute osidedo le lte iili ome se fosseo ostti: f y, f y y L deit totle ispetto si effettu osidedo l dipede fuiole di y d : f y 4 4 df d 63 f Si ossei he i questo esempio: f, y) y y le l elioe: df d f + f y y Iftti: f + f y y y + y) y + 4 y ) + 4 )

17 Il Simolo Nl L Opetoe Gdiete î + ˆ y + ˆk Il simolo l, he si idi o il simolo, è u opetoe diffeeile ettoile fomle he i u te tesi otogole î, ˆ, ˆk si ppeset simolimete ome: î + ˆ y + ˆk L ppliioe del simolo l mpi sli e ettoili podue gli opetoi gdiete, diege e otoe. f gdiete i diege otoe Cosideimo u fuioe sle dell posiioe P: f f P) f, y,) Si defiise l opetoe gdiete ome: f î + ˆ y + ˆk f î f f f + ˆ + ˆk y f gd f î f f f + ˆ + ˆk y L opetoe gdiete si ppli u fuioe sle; il isultto è u ettoe: f P 3 P 3 f P f f P Esempio : f, y, f + y + + y, y,) + y)î + + y) ˆ + ˆk L Opetoe Diege î + ˆ y + ˆk L Opetoe Rotoe î + ˆ y + ˆk Cosideimo u fuioe ettoile dell posiioe P: P), y,), y,)î + y, y, ) ˆ +, y, ) ˆk Si defiise l opetoe diege ome: i î + ˆ y + ˆk i î + ˆ + ˆk y ) i di + y y + L opetoe diege si ppli u fuioe ettoile; il isultto è uo sle: P 3 P 3 P i i P) Esempio :, y, ) + y )î + + i ˆ + ˆk, y, ) + Cosideimo u fuioe ettoile dell posiioe P P), y, ), y, )î + y, y, ) ˆ +, y, ) ˆk Si defiise l opetoe otoe ome: î + ˆ y + ˆk ) î + ˆ + ˆk y ) ot det î ˆ ˆk y y y y * ) î + * ) ˆ + y * ˆk y ) 67 68

18 L Opetoe Rotoe II) î + ˆ y + ˆk Opetoi Diffeeili î + ˆ y + ˆk L opetoe otoe si ppli u fuioe ettoile; il isultto è u ettoe: P 3 P ) 3, y, P Esempio : yî + ˆ + ˆk, y, det P) î ˆ ˆk y y det î ˆ ˆk y y ) + y * + î + y ) + * + ˆ + y ) + ˆk 4 ˆk y * + Rissumedo, defiite le fuioi: 3 f 3 si h: 3 f 3 i Itegli Itegle Semplie di u Fuioe Sle U itegle è sempe l somm di u umeo ifiito di temii ifiitesimi: Il simolo è u defomioe di u lette S somm). Diesi tipi dl puto di ist pplitio) di itegle: Itegle semplie di u fuioe sle o ettoile); Itegle doppio di u fuioe sle o ettoile); Itegle tiplo o itegle di olume di u fuioe sle o ettoile); Itegle di lie di u fuioe sle; Itegle di lie di u fuioe ettoile; Itegle di supefiie di u fuioe sle; Itegle di supefiie di u fuioe ettoile. Si dt u fuioe sle f defiit ell itello [, ]R; Suddiidimo l itello [, ] i u eto umeo di itellii di lghe t )/, pedimo eto di essi i puti: t, + t, t + t, + t,, t t, e osideimo l somm: t t t t t t t t t t f t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t i )t i Nel limite i ui gli itellii dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle semplie: i f t i )t I f t t dt 7 7

19 Itegle Semplie di u Fuioe Sle II) Itegle Semplie di u Fuioe ettoile L itegle semplie di u fuioe sle si può itepete ome l e sottes dll u he ppeset l fuioe edi figu). L itegle semplie si lol ptie dll fuioe pimiti: Dett F l fuioe pimiti dell fuioe f : F l itegle semplie si lol medite l diffee dell fuioe pimiti gli estemi di itegioe: t f t )t I f t)dt F t ) F t ) f t )t t f t)dt Alogmete, si dt u fuioe ettoile defiit ell itello [, ]R; Suddiidimo l itello [, ] i u eto umeo di itellii di lghe t )/, pedimo eto di essi i puti: t, + t, t + t, + t,, t t, e osideimo l somm ettoile: t t t t t t t t t t i )t t t i t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 Nel limite i ui gli itellii dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle semplie: i t i )t I t t dt Itegle Semplie di u Fuioe ettoile II) Itegle Doppio di u Fuioe Sle Ahe l itegle semplie di u fuioe ettoile si lol ptie dll fuioe pimiti: Dett w l fuioe pimiti dell fuioe : w t)dt l itegle semplie si lol medite l diffee dell fuioe pimiti gli estemi di itegioe: I dt w t t t w t ) Si dt u fuioe sle f defiit ell isieme S R ; Suddiidimo l isieme S i u eto umeo di ettgolii di e ifiitesim y, pedimo eto di essi i puti: P, y ), P, y ),, P, y ) e osideimo l somm: f i, y i ) y i Nel limite i ui gli itellii dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle doppio: y P P f i, y i ) y i I f, y y S d d y P 7 P 3 P 4 P 5 P 6 S P P 9 P y 8 P 75 76

20 Itegle Doppio di u Fuioe Sle II) Itegle Doppio di u Fuioe ettoile Il lolo di u itegle doppio si idue l lolo di due itegli semplii; y Se l isieme S R è u ettgolo [,][,d], il lolo è semplie: d I f, y) d d y d f, y)d y,,d Se l isieme S R è u ehio di eto O e ggio il lolo è u po più omplito: I f, y) d d y d f, y)d y S O,) + d y O S S + Si dt u fuioe ettoile defiit ell isieme S R ; Suddiidimo l isieme S i u eto umeo di ettgolii di e ifiitesim y, pedimo eto di essi i puti: P, y ), P, y ),, P, y ) e osideimo l somm ettoile: i, y i ) y i Nel limite i ui gli itellii dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle doppio: y P P i, y i ) y I P, y d d y 3 P 4 P 5 P 6 i y S S P P P 9 P y 7 8 P Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle Si dt u fuioe sle f defiit ell isieme R 3 ; Suddiidimo l isieme i u eto umeo di uetti più peismete di pllelepipedi) di olume ifiitesimo y, pedimo eto di essi i puti: P, y, ), P, y, ),, P, y, ) e osideimo l somm: f i, y i, i ) y i y Nel limite i ui i uetti dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle tiplo o itegle di olume): f i, y i, i ) y i I f, y, f, y, y d d d y d Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle II) Esempio : osideimo il olume:, y,) 3 ;,, y,,, l fuioe: e l itegle: I f, y,) d d d d y d Si h: { } f, y, * I d * d d y * d d * d y d * d* d y d d d y d * ) * ) * ) ) ) ) y 79 8

21 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle III) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle I) Siluppdo i loli, si h: I d d d y d d d y d d y d y d y Esempio : osideimo sempe il olume:, y,) 3 ;,, y,,, m, quest olt, l fuioe: e l itegle: I f, y, ) d y d Si h: { } y f, y, y d d y d I y * d * y d d y * d d * d y y d d d y y d * ) * ) ) ) y 8 8 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle ) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle I) Siluppdo i loli, si h: I y d d d y y d d d y y d y )d y d y3 3 * 3 ) 3 +, d y Esempio 3: osideimo il olume: /, y, l fuioe: f, y, e l itegle: I f, y,) d d d d y d 3 ;,, y,,, y * 3 ) +,. 4 5 Si h: / ), y + / ),. y / +. / y +. I d + + d. d y. d d d y d d d y d + * +.. * y 83 84

22 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle II) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle III) Siluppdo i loli, si h: I d d d y d d d y )* + y, y d y d y d y y ) +. *, d d ) +. *,. y Esempio 4: osideimo il olume:, y,) 3 ;,+, y,+,,+ y { } y l fuioe: f, y, e l itegle: I f, y,) d d d d y d Si h: ) + + ) + y + + y I d + + d d y d d d y d * * O Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle IX) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle X) Siluppdo i loli, si h: I d d d y d d d y + y y d y d y + Siluppdo i loli, si h: I d d ) 3 + * 3 ),. /. / 3 + * ) 3, ) ) 3 + * 3 ) *, ) *, d y y * y + )t. ) y +,. d + )t )t d ) / ) / * ) +,. d ) / 87 88

23 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle XI) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle XII) Esempio 5: osideimo uomete lo stesso olume, he possimo desiee he ome:,., y, ) 3 ; si os, y si si, os,,,, ) * +,.,) /.. l fuioe: f, y,) e l itegle: I f, y,) d d d d y d Pe eseguie l itegle i oodite sfeihe ooe siee l elemeto di olume d i oodite sfeihe:, y, d d dy d d d d,, Dte le tsfomioi t oodite tesie e oodite sfeihe: si os y si si os lo joio si sie: det, y,,, y,,), y, ) y y det si os os os si si si si os si si os os si 89 9 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle XIII) Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe Sle XI) Eseguedo i loli pe lo joio: si os os os si si, y,),,) det si si os si si os os si os det si )det os os os si si os si si si si si os + si si si os os si os ) + si si ) si os + si 3 si, y, ) d d dy d,, d d d si d d d Aemo petto, pe l itegle:, y, ) d d dy d,, I d d d y d + d d d si d d d si d d d +, + +. * +, +.. si d * )* d * d. * d d si d d d 3 3 si *. * ) )* + + d 3 + si d d / os + 3 * ) 3 d 3 3 * )

24 Itegle Tiplo o Itegle di olume di u Fuioe ettoile Si dt u fuioe ettoile defiit ell isieme R 3 ; Suddiidimo l isieme i u eto umeo di uetti più peismete di pllelepipedi) di olume ifiitesimo y, pedimo eto di essi i puti: P, y, ), P, y, ),, P, y, ) e osideimo l somm ettoile: i, y i, i ) y i y Nel limite i ui i uetti dieto ifiitesimi, l somm diet l itegle tiplo o itegle di olume): i, y i, i ) y i I y, y,) d d d y d, y, Itegle di Lie di u Fuioe Sle Si dt u fuioe sle f defiit i R 3 e si dt u u P, P) R 3, ete, pe estemi, i puti P e P; Pedimo, sull u P, P), u eto umeo di puti: P P, P,, P P, P), P i i, y i, i ) P, P) s P 7 6 P e osideimo l spet: s s s s P 6 3P 4 P P s s 5 5 P 3 4, P, P,, P, P i ui segmeti ho lughe: s P P, s P P,, s P P, s P P L somm dei podotti dell fuioe pe tli lughee, el limite i ui essi dieto ifiitesimi, diiee l itegle di lie: f i, y i, i )s i I s i f P) ds f, y, ) ds i P,P) P,P) P Itegle di Lie di u Fuioe Sle II) Itegle di Lie di u Fuioe Sle III) L u P, P) R 3, può essee defiit utilido u pmteo : { P 3 ; P P ),, } P L itegle di lie si lol quidi ome: P, P) s P 7 6 I f P) ds f P )) dp P d s s s s P 6 3P 4 P P,P) d P s s P Esempio: Cosideimo u semiiofee: {, y, ) 3 ; os, y si,,, } e l fuioe: f P) Si h: dp d î + y ˆ + ˆk si î + os ˆ + ˆk dp d si + os I f P) ds f P )) dp d d d d y 95 96

25 Itegle di Lie di u Fuioe ettoile Itegle di Lie di u Fuioe ettoile II) Si dt u fuioe ettoile defiit i R 3 e si dt u u P, P) R 3, ete, pe estemi, i puti P e P; Pedimo, sull u P, P), u eto umeo di puti: P P, P,, P P, P), P i i, y i, i ) P, P) P P 7 6 P e osideimo l spet: P P P P P P P P P P 3, P, P,, P, P P P 5 4 fomt di segmeti oietti: P P P, P P P,, P P P, P P P L u P, P) R 3, può essee defiit utilido u pmeto : { P 3 ; P P ),, } P L itegle di lie si lol quidi ome: P, P) P P 7 6 I P) i dp P )) i dp P d P P P P 3 P 6 5 P,P) d 4 P P P P 3 5 P 4 P L somm dei podotti sli dell fuioe pe tli segmeti, el limite i ui essi dieto ifiitesimi, diiee l itegle di lie: i, y i, i )i Pi Pi I P) i dp, y,) i dp i P,P) P,P) Itegle di Supefiie di u Fuioe Sle Itegle di Supefiie di u Fuioe Sle II) Si dt u fuioe sle f defiit i R 3 e si dt u supefiie R 3 ; Suddiidimo l supefiie i u eto umeo di supefii ifiitesime, pedimo su di esse i puti: P, y, ), P, y, ),, P, y, ) e osideimo l somm: f i, y i, i ) i Nel limite i ui le supefii dieto ifiitesime, l somm diet l itegle di supefiie: L supefiie R 3, può essee defiit utilido i pmeti e : { } P 3 ; P P,),,,, L itegle di supefiie si lol quidi ome: P f P) d d f P,)) P d i f i, y i, i ) I f P d 99

26 Itegle di Supefiie di u Fuioe Sle III) Itegle di Supefiie di u Fuioe Sle I) Cosideimo, pe esempio, l supefiie di u semisfe:,. P, y, ) 3 ; si os, y si si, os,,, *,. + /. ). Duque: P P si os î + si si ˆ + si os ˆk e l fuioe: f P) Si h: P P det î ˆ ˆk y y det î ˆ ˆk os os os si si si si si os ˆk si os î + si si ˆ + si os os + si os si si os î + si si ˆ + si os ˆk si 4 os + si 4 si + si os si 4 + si os si si + os si si d d P P d d si d d si d d si d d )* os +, + )d d )* +, Itegle di Supefiie di u Fuioe ettoile Itegle di Supefiie di u Fuioe ettoile II) Si dt u fuioe ettoile defiit i R 3 e si dt u supefiie R 3 ; Suddiidimo l supefiie i u eto umeo di supefii ifiitesime, pedimo su di esse i puti: P, y, ), P, y, ),, P, y, ) e osideimo l somm: P i i i ˆ P i ) Nel limite i ui le supefii dieto ifiitesime, l somm diet l itegle di supefiie: L supefiie R 3, può essee defiit utilido i pmeti e : { P 3 ; P P,),,,, } L itegle di supefiie si lol quidi ome: P)i ˆ d d P P,)) i) P *, d + i i ˆ P i ) P i I i ˆ d P 3 4

27 Itegle di Supefiie di u Fuioe ettoile III) Itegle di Supefiie di u Fuioe ettoile I) Cosideimo, pe esempio, l supefiie di u semisfe: + S P, y,) 3 ; si os, y si si, os,,, ), /, *. e l fuioe ettoile: P ˆk Si h: P P det î ˆ ˆk y y det î ˆ ˆk os os os si si si si si os ˆk si os î + si si ˆ + si os os + si os si si os î + si si ˆ + si os ˆk S Duque: ˆk P P * ˆk si os î + si si ˆ + si os ˆk ) si os si P)i ˆ d ˆk i ˆ d d ˆk P i) P *, d + S S S d si ) d d si ) d / os d d / os ) 4 3. d os. os 4 d Domeio Glli Diptimeto di Fisi domeio.glli@uio.it