Chimica fisica superiore. Modulo 1. Recupero di matematica. Sergio Brutti

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1 Chimi fisi suprior Modulo Rupro di mtmti Srgio Brutti

2 Numri omplssi U umro omplsso è u sprssio mtmti ostituit d 3 lmti ( umri rli, l uità immgiri i: i i dfiiio R Im

3 Dti du umri omplssi: Algr di s i id Somm o sottrio: i id i d Prodotto: i id id i i d d id

4 Dto u umro omplsso Complsso oiugto i Il suo omplsso oiugto è: i i R Im Ch god dll sguti proprità: i R Im

5 Rpporto tr umri omplssi Dti du umri omplssi: i id Il rpporto tr i du è pri : i id d i d i d id i id id id d

6 Im() Digrmm di Argd E util rpprstr u umro omplsso om u puto su u pio idimsiol dtto di Argd l qul l ss riport R() l ss y Im() i θ R()

7 Digrmm di Argd Dto il umro omplsso rpprstto su u digrmm di Argd si dfiisoo: r modulo, mpi o mgitudi dl umro omplsso θ rgomto o fs dl umro omplsso r r os si r t

8 Espoil immgirio L spoil dll uità immgiri è possiil sprimrlo om: os isi i L dfiioi trigoomtrih dll mpi dll fs di u umro immgirio ostoo di srir: i r i r i si os Ch impli: * * * * ; * r r r r r r r r r i i i

9 Torm di D Moir Utilido utili fuioi trigoomtrih è possiil dimostrr h i os isi m os isi osm isim Cosidrdo il omplsso oiugto di : È possiil srir: * i os m i isi m im si i i i os i i

10 Numri omplssi ESERCIZI

11 Equio di u ttor Vttor Dto u quluqu puto di uo spio ttoril rtsio (o rsiori,y,) dfiito d u tr di oordit (,,) si dfiis ttor pplito ll origi (O) il sgmto oritto h ogiug O (,,). Equio di u ttor y Vttor Modulo di u ttor y Dist tr l origi il rti dl ttor O

12 Vttor-rig (o ttor olo) Vttori om mtrii U mtri dfiit d u sol rig (o olo) oro di dimsio N (o N) i dtt ttor-rig o ttor-olo. I ttori dl mpo di umri rli dfiiti d uo spio ttoril rtsio goo rpprstti om ttori-olo Equio di u ttor y Dsriio o u ttor-olo

13 Somm tr ttori Dti du ttori u di quio Dsritti di sguti ttori-olo Si dfiis somm tr ttori l sgut oprio lmtr: y y u u y u w Il risultto è u uoo ttor w o u dirso modulo, dirio rso.

14 Prodotto di uo slr pr u ttor Dto u ttori uo slr l Il prodotto dllo slr pr il ttor dfiis u uoo ttor k dto d: y l l l l l l l l y k

15 Prodotto slr tr ttori Dti du ttori u di quio Dsritti di sguti ttori-olo Il prodotto slr tr i du ttori è dto d: y y u u u u u g u g, os L du oprioi soo quilti il risultto è lo slr g.

16 Vttori ESERCIZI

17 Dtrmiti: mtodo di miori Dt u mtri o lmti ij Il suo dtrmit srà dto dll somm di dtrmiti di tutti i suoi miori (-) (-) ottuti lldo isu lmto j dll rig ( l orrispodt olo j ) moltipliti pr (-) +j j A Co i umro di rig j umro di olo dt dt dt dt A

18 Mtrii dtrmiti Dt u mtri B Il suo dtrmit srà dto dl prodotto ro tr i suoi lmti dt B Nl so di u mtri 33: dt y y y y dt y dt y y y y y y 3 dt y y

19 Mtri trspost Dt u mtri d L su mtri trspost si ottrrà smido l righ o l olo d Nl so di u mtri 33 il mismo è lo stsso: y trspost y y y y y

20 Mtri idtità dfiiio proprità Si dfiis mtri idtità u mtri i ui lmti soo tutti ulli tr qulli giti sull digol priipl. Qusti ultimi soo tutti uitri. L mtri idtità god di lu proprità prtiolri: Il suo dtrmit è uitrio dt L su mtri trspost è smpr pri ll mtri idtità trspost

21 Prodotto ttoril tr ttori Dti du ttori u di quio Dsritti di sguti ttori-olo Il prodotto ttoril tr i du ttori è dto dl dtrmit dll sgut mtri 33: y y u u y u w dt Il risultto è u uoo ttor h o pprti llo spio ttoril di prt

22 Prodotto ttoril tr ttori Dti du ttori llo spio rtsio Di orm (modulo) pri : Il modulo dl ttor ottuto dl prodotto ttoril di du ttori è dto d y y u u w I ui è l golo formto dll du dirioi/rsi di ppliio di du ttori. u s u w Similmt quto d pr il prodotto slr h l so dl prodotto ttoril l du formul h ostoo di rir il risultto ostoo di ottr idirttmt l golo tr i ttori.

23 Mtrii ESERCIZI

24 Prodotto tr mtrii d Dt mtrii Il prodotto dll du mtrii produ u uo mtri o u umro di righ pri l umro di righ dll mtri umro di olo pri l umro di olo dll mtri. Il prodotto tr mtrii è possiil solo s il umro di olo dll mtri orrispod l umro di righ dll mtri. g d g f f g h d h f h Ciò h si f è u somm di prodotti rig-olo ' d ' d' ' '... d d' d'' ' d d' ' '' '

25 Prodotto tr mtrii Dt mtrii o qudrt i ui il umro dll righ dll mtri orrispod l umro dll olo dll mtri. d d' ' d d Il prodotto dll du mtrii è d ' d ' ' d' ' ' d' ' ' d ' ' ' d d d ' ' ' L mtri fil è u mtri qudrt (smpr) h h om umro di righ olo il umro di righ dll mtri (o il umro di olo dll mtri )

26 Mtri irs Si dfiis mtri irs di u mtri qudrt, u dirs mtri qudrt di dimsioi h moltiplit pr l mtri di prt produ om mtri risultt l mtri idtità A ' ' ' d '' '' '' d f I grl o sist u lgoritmo smpli h ost di lolr qudo sist l irs di u dt mtri. Esistoo lgoritmi o li om qullo di ofttori o il Guss-Jord. Sodo il mtodo di ofttori pr l mtrii ( solo pr ss) l: d' ' f A ' d'' '' f '' dt A d

27 Mtri irs mtodo di ofttori A of Dt u mtri qudrt i j i j A,, dtmior A,i, j i j A, i,, j i, j L su mtri irs è dt d: dt A of of A, of A,, A, of A, I ui dt(a) è il dtrmit dll mtri A, T idi l oprio di trsposiio of(a, i,j ) è dfiito dll sgut rlio: dt(mior(a,i,j)) è il dtrmit dl mior dll mtri A ottuto lldo l rig i l olo j. i,, j i, j T

28 Mtrii ESERCIZI

29 Sri di Fourir U quluqu fuio f() può ssr rpprstt i spsio di Tylor purhè l fuio f() si diffriil - olt : f ( ) f!... Nl so i ui f()=g() si u fuio priodi l spsio di Tylor o è dgut rpprstrl. I qusto so è prfriil sfruttr l spsio i sri di Fourir: g( ) os... si os si......

30 Sri di Fourir L fuio g() di priodo π/ω è quidi rpprstil d u somm di trmii i so oso (rmoih) mo dll ostti, ω. N N g( ) os si E possiil dimostrr h i offiiti dll spsio i sri di Fourir possoo ssr dtrmiti mdit l sguti quioi: f os d f si d D ui si ddu h u fuio è spdiil i sri di Fourir s è itgril otiu tro il priodo.

31 Sri di Fourir L form più omptt o ui i idit l spsio i sri di Fourr iorpor l dsriio dll fuioi so oso mdit l spoil immgirio: g( ) i I ui offiiti soo lgti ll spsio i rmoih mdit: i Il tggio dll spsio spoil è h ss ost u grliio dll spsio di Fourir pr fuioi o priodih otiu. Pr ss iftti: f ( ) F i d

32 Trsformt di Fourir Dt u spsio di Fourir l suo limit l otiuo dsritt d: f ( ) F i d L fuio di offiiti F() è dt d: F( ) f i L fuio F() è dfiit l TRASFORMATA DI FOURIER di f(). Al otrrio f() è l ti-trsformt (o trsformt irs) di Fourir di F(). d

33 Trsformt di Fourir: smpio Cosidrimo qul è l trsformt di fourir di u ostt d k d k d f F i i i ) ( L itgrl di u spoil immgirio è u qutità ot: d i, Pri ll fuio dlt di Dir pr (-) h è smpr ull tr pr = lor pr il qul l. Dll prd:, ) ( k k k i k i k d k d k F

34 f() F() Trsformt di Fourir: smpio I trmii rtsii: k k/ k k F( ) k k f k, k ω

35 Trsformt di Fourir: smpio Cosidrimo qul è l trsformt di fourir dll fuio os() d d d f F i i i os os ) ( Riorddo l formul di Eulro: D ui: d d F i i i i os ) (,, 4 ) ( i i d F

36 f() F() Trsformt di Fourir: smpio I trmii rtsii: f 4π/ os F -/ / ω ( ),, L trsformt di Fourir è u sort di spttro dll osillio priodi di f().