FUNZIONI REALI TRASCENDENTI FRT. 1. Potenza a esponente reale

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1 FRT FUNZIONI REALI TRASCENDENTI Potz spot rl Sppimo ch l fuzio rdic qudrt di è l'ivrs dll rstrizio dll fuzio ll'itrvllo [ 0 + [ mt l fuzio rdic cubic di è l'ivrs dll fuzio I modo o possimo iir l fuzio 4 rdic qurt di com l'ivrs dll rstrizio dll fuzio 4 ll'itrvllo [ 0 + [ l fuzio rdic quit di com l'ivrs dll fu zio (fig) 4 L fuzio f : IR IR + iit d co pri o è mootò L fuzio f : IR IR iit d co dispri è str mootò f [ 0 + [ f 4 (fig) I grl pr + il domiio dll fuzio rdic sim di : è IR + 0 (isim di umri rli o gtivi) oppur tutto IR scod ch si pri o dispri Nll scrittur si dic idic dll rdic; si dic rdicdo Poimo covziolmt

2 L cosidrzioi prcdti costoo di iir l gruppo (IR + ) l potz co spot i Pr ogi IR + ogi m + m m m m 0 ESEMPI 7 7 π π Si dimostr ch pr l potz spot rziol cotiuo vlr l proprità dll potz ch già cooscimo D qust si dduc u'importt proposizio rltiv ll'ordimto idotto ll'isim { r / r } dll rlzio i Pr ogi IR + ogi r s : ( > r < s ) r < s ( 0 < < r < s ) r > s 0 Omttimo pr brvità l dimostrzio Or rst soltto d iir l gruppo (IR + ) l potz co spot irrziol S α è u qulsisi umro irrziol llo scopo di iir i modo pproprito α cosidrimo l'isim: α { V α / } costituito di vlori pprossimti pr diftto di α mo di 0 Ovvimt α è u isim limitto supriormt (oltr ch ifriormt) prché qulsisi pprossim zio pr ccsso di α è u mggiort di α ESEMPIO S α 446 llor: {4; 4; 44; 44; 44; 44; } Cosidrimo l potz r pr ogi IR + ogi r α Nl cso > l crscr dll'spot r l potz r crsc su volt Quidi s r r r soo vlori pprossimti pr diftto vi vi più prcisi di α llor r < r < r < L'ccrscimto di r tuttvi o è illimitto Iftti idicto co s u qulsisi vlor pprossimto pr c csso di α comuqu si prd r è r < s Ciò prov ch l'isim α è limitto supriormt suggrisc di iir α com l'strmo suprior dll'isim { r / r α } crtmt sistt pr l'ssiom di com pltzz dl cmpo IR Pr ogi IR + > ogi α IR : α sup { r / r α } ESEMPI S α 446 llor sup { } S 4 α 496 llor 4 π sup { }

3 Nl cso 0 < < è > Quidi podo pr iizio α α si ritor l cso prcdt Pr ogi IR + 0 < < ogi α IR : α α ESEMPIO ( ) ( ) sup { ( ) 4 ( ) 4 ( ) Nl cso pr ogi umro irrziol α si po α } L potz l gruppo (IR + ) d spot rl ( rziol o irrziol ) mti l ciqu proprità fodmtli ch cooscimo: Pr ogi b IR + ogi α β IR : c ( b) α α b α ( α α b ) b b α α β α+β α d α β β ( α ) β α β Omttimo pr brvità l dimostrzioi EP FRT / Clcol: () 6 4 () 84 () 7 (4) 7 () 4 4 (6) Idic quli dll sguti sprssioi ho sigificto () ( 7) 4 () ( ) 4 () ( ) (4) π ( ) () Dfiisci l sguti potz d spot irrziol () π () 7 π () ( ) (4) ( π ) π () (6) ) (7) ) ( (7) ( π (8) π 0 SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI () () 7 () 9 (4) () 9 (6) 6 (7) Ho sigificto l sprssioi: () () (6) (7) () sup { ; 4 ; 4 ; 4 7 ; } () sup {( ) ; () ( ) 6 ; ( ) 646 ; ( ) 648 ; }

4 4 L fuzio spozil L fuzio spozil isim ll su ivrs l fuzio ritmo è u dll fuzioi lmtri più importti dll'lisi mtmtic Fissto u IR + {} si chim fuzio spozil i bs l fuzio p : IR IR + iit d: p () Nl sguito qudo o vi si possibilità di quivoco scrivrmo p i luogo di p () Il grfico dll p chimto curv spozil qudo > è dl tipo rpprstto i fig Si trtt di u curv itrmt cotut l smipio dll ordit positiv ch divt smpr più ripi d l crscr di Y Gr( p ) Y Gr( p ) (fig) (fig) O X X Nl cso 0 < < pr ogi IR risult quidi p () p ( ) Ciò cost di ffrmr ch i grfici dll fuzioi p p / soo simmtrici risptto ll'ss Y (fig) Vdimo lcu proprità fodmtli dll fuzio p p (0) IR + {} b Nl cso > l p è strttmt crsct: IR < p < p Di più qudo vri d 0 + si può dimostrr ch p () ssum tutti i vlori dll'itrvllo [+ [ divtdo grd quto si vuol; qudo vri d 0 ivc p () si vvici i iitmt 0 cioè ssum i ordi dcrsct tutti i vlori dll'itrvllo ] 0] c Pr ogi IR + {} ogi y IR + sist uo u solo IR tl ch p () y Quidi l fuzio p è bijttiv Di più si h: IR p ( + ) p p Quidi l fuzio p è u isomorfismo dl gruppo (IR+) l gruppo (IR + ) Fuzio ritmo Poiché l fuzio spozil è bijttiv ss mmtt IR IR + p l'ivrs p : y chimt fuzio ritmo i bs Pr ogi IR + {} poimo llor: p y

5 Il umro (y) p (y) si lgg ritmo i bs di y Nl sguito qudo o vi si possibilità di quivoco scrivrmo spsso y i luogo di (y) Si chim fuzio ritmo i bs l fuzio ch ogi y IR + f corrispodr l'spo t cui bisog lvr l bs positiv divrs d pr ottr y Il grfico dll fuzio chimto curv ritmic è il simmtrico risptto ll bisttric dl primo tr zo qudrt di qullo di p (figur 4 ) Y Y X X ( fig4 > ) ( fig 0 < < ) L fuzioi ritmo ch s'icotro ll ppliczioi ho bsi mggiori di ; volt si prd 0 L fuzio 0 comumt idict co Log prd il om di fuzio ritmo dciml Vdimo lcu proprità fodmtli di () 0 IR + {} b Nl cso > l fuzio è strttmt crsct: < < Iftti dl grfico si ricoosc subito ch: qudo vri d 0 (mtdosi prò mggior di zro) ssum i ordi dcrsct tutti i vlori dll'itrvllo ] 0] Qudo vri d + divt grd quto si vuol cioè ssum crscdo tutti i vlori dll'itrvllo [0+ [ c Pr ogi IR + {} ogi IR + : () ( ) + () (Il ritmo di u prodotto è ugul ll somm di ritmi di fttori Il ritmo di u quozit è ugul ll diffrz di ritmi dl dividdo dl divisor) Dim Poimo y y ossi y + y Moltiplicdo l du ugugliz dl sistm mmbro mmbro si otti E' llor ( ) y + y + Quidi () Dividdo l prim ugugliz pr l scod mmbro mmbro si otti y y E' llor ( / ) y y Quidi () y y

6 6 d Pr ogi IR + {} ogi IR + α IR: α α (Il ritmo di u potz è ugul l prodotto dll'spot pr il ritmo dll bs) Dim Poimo y ossi y ( ) Elvdo mbo i mmbri dll ( ) ll'spot α si otti α αy Quidi α α y α Formul pr il cmbimto dll bs Pr ogi b IR + {} ogi IR + : b b Dim Poimo b y ossi b y ( ) Prddo il ritmo i bs di mbo i mmbri dl l ( ) pr l proprità prcdt si h y b Quidi y b Ossrvimo ch l formul pr il cmbimto dll bs cost di clcolr i ritmi i bs b u vol t ch sio oti i ritmi i bs I ltr prol: è sufficit cooscr l fuzio ritmo i u cr t bs pr cooscr l fuzio ritmo i u qulsisi ltr bs 4 Il umro di Npir Cosidrimo l'isim: { + / } costituito dgli ifiiti umri rli ( positivi ) ch si ottgoo sostitudo ll vribil ll'sprssio + i umri turli Qusto isim è vidtmt l'immgi dll fuzio f di i IR + iit d f () + L tbll ch riportimo suggrisc ch f è strttmt crsc ( + ) t Di qusto importt risultto o prstimo l dimostrzio limitdoci ossrvr ch dl puto di vist litico sso è poco ituitivo Iftti ssgdo vlori smpr più grdi l bs dll potz + cioè + dimiuisc ( prcismt si vvici pr vlori u po' più grdi di ) mtr l'spot umt o è subito chiro qul di qusti fftti prvlg Di più si può dimostrr ch l fuzio f è limitt supriormt quidi il suo isim immgi pr l'ssiom di compltzz h l'strmo suprior Qusto umro di strordiri importz pr b l'alisi vi trdiziolmt idicto co l lttr chimto umro di Npir Poimo llor: sup { + / } Aggiugimo soltto ch è u umro irrziol ( com π il umro di Archimd ) ch vi soo divrsi mtodi ch costoo di pprossimrlo co l prcisio dsidrt Sz idugir su di ssi ci limiti mo idicr l'pprossimzio pr diftto di mo di 0 0 : V

7 7 L fuzio spozil i bs vi idict smplicmt co p chimt fuzio spozi l turl; l su ivrs idict co l si dic fuzio ritmo turl È llor pr iizio: p() l p Vdimo subito du importti proposizioi ch chimo i cus p l L fuzioi: α (fuzio potz spot rl qulsisi) α l soo uguli pr ogi α IR Dim Ossrvimo ch comuqu si prd α l du fuzioi ho lo stsso domiio IR + lo stsso codomiio IR + È ioltr α α l pr ogi ( ) Iftti pr l proprità (d) di ritmi si h: l α α l ( ) l α l α l l α l α l ( ) d ssdo l fuzio ritmo turl iittiv dll ( ) ( ) cogiutmt sgu l ( ) L fuzioi: (fuzio spozil i bs ) l soo uguli pr ogi IR + {} L dimostrzio dl tutto ll prcdt è propost com srcizio EP FRT / 4 Dtrmi il domiio dll sguti fuzioi trcci il grfico idic gli itrvlli di mootoì () f() () f() () f() (4) f() l( ) () f() l() (6) f() l Applicdo l iizio di ritmo clcol: () () 7 () 6 4 (4) 004 () 64 (6) 4 8 (7) (8 ) (8) (9 ) (9) l (0) l () Log 000 () Log 000 Dtrmi il umro IR + tl ch: () 7 ( ) 4 () Log (4) l 0 () ( 6) ( 7) 9 (8) (9) 4 (0) 4 4 Us l clcoltric pr dtrmir il vlor rrotodto mo di 0 4 di sguti ritmi () () π () 07 (4) 8 (π) () π (6) π (7) ( ) (8) π Sz usr l clcoltric dtrmi il vlor dll sguti sprssioi () 6 + () () + 6 Pr ogi b IR + {} ogi IR + vrific ch: () () () () b (4) b

8 8 7 Sz usr l clcoltric dtrmi il vlor dll sguti sprssioi 6 () 4 8 () 4 () 6 Log 0 (4) 8 + l l () Pr ogi IR + vrific ch: 9 Dtrmi il domiio dll sguti fuzioi () f() p( ) () f() () f() l (6) f() l (9) f() l () f() si( (0) f() ) (4) f() + + () f() l( ) (4) f() (7) f() l( ) (8) f() 4 l l () f() () f() ( ) ( ) l l () f() p l ( cos ) (6) f() t (7) f() l( + ) (8) f() l( ) (9) f() l + si (0) f() l( ) + l(4 ) () f() SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI () () () / (4) ; () / (6) / (7) 7 (8) / (9) 0 (0) () () / () 49 () 6 () 00 (4) () ; (6) 64 / 7 (7) ; (8) ; (9) / (0) 4 () 9; () 040; () 0787; (4) 0888; () 4678; (6) 4679; (7) 04; (8) 086 () 4; () ; () 7 () 4 () 8 () 0 (4) 890 () ( ) 9 () IR {} () IR {0} () ] [ (4) ] [ ] + [ () [ + [ (6) ] [ ] + [ (7) [ 0[ (8) ] 0 [ ] + [ (9) IR {0 ±} (0) IR {0 ± } () ]0 [ ] + [ () IR () IR {} (4) ] 0 [ ] + [ () ] 0 [ ] + [ (6) IR + IR { + k π / k } (7) ] ] [ + [ (8) ] 0 [ (9) ] 8 + [ (0) ] 4 [ () IR π Clssificzio dll fuzioi F U N Z I O N I R E A L I E L E M E N T A R I F A L G E B R I C H E F T R A S C E N D E N T I itr: fuzioi poliomili rzioli frtt: quoziti di fuzioi poliomili irrzioli Rdici -sim di fuzioi poliomili o di quoziti di fuzioi poliomili Fuzioi circolri: cos si t cot; ciclomtrich: rc cos rc si rc t; spozili ritmo