LE DERIVATE. derivata di un monomio (1) D a x = a x = na x ESEMPI. derivata di un monomio con n = 1. (2) D a x. ESEMPI, D x =

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1 LE DERIVATE. GENERALITÀ Dfiizio.) La drivata è u oprator ch ad ua fuzio f associa u altra fuzio ch obbdisc all sguti rgol: () D a a a D 6 D 0 D drivata di u moomio () D a a 0 0 drivata di u moomio co D , D D 0 0, () D drivata di u moomio co a 0 () D c 0 D 0, D 0 0, D 0 drivata di ua costat () D drivata di u moomio co a 0 Più i gral risulta: (.) D ( ral qualsiasi)

2 Ricordado l rgol dll potz: a) a a b) a c) a a a sguoo vari proprità applicat i sguti D D, D, D 8 8, D, S allora si ha: D ch si può scrivr, i modo più smplic, com sgu: (6) D D, D, D drivata dlla radic -sima Più i gral si otti: (7) D f D f ' f drivata dlla radic -sima di ua fuzio

3 D 6 D D a f b g a D f b D g drivata dlla somma (o diffrza) liarità (8) D 7 6 D D 7D 6D D 6 6 6D D D 6D 8 D 7 D 7D 7 (9) D f g f g f g f g drivata dl prodotto D 0 D D (0) f f f g f g D g g g, g 0 drivata dl quozit

4 D D D 6 () D f g f... g... f g g drivata di fuzioi compost D 8 D D 6 D 7 7 f f () D f D D drivata di fuzioi spoziali

5 D 6 6 D 0 () D f D l f drivata di fuzioi logaritmich f l 6 l D D l 0 0 Ossrvazio: ritiamo opportuo richiamar l attzio dllo studt su alcu proprità di logaritmi ch si rivlrao particolarmt utili soprattutto pr lo studio di fuzioi: log b c log b log c co a, b 0 a a a a b loga loga b loga c c co a, b, c 0 a loga loga b b log b co a, b 0 a itro positivo a loga b co a, b 0 a itro positivo log a a co a 0 a log a 0 co a 0 a log a 0 co a 0 a log b N loga N formula dl cambio di bas co N itro positivo log b a

6 Ioltr, sfruttado la dfiizio classica di logaritmo, è facil vrificar l quivalza dll sguti sprssioi: z log a b ; a z b ; a log a b b ; I gral si è soliti idicar co l o ach co log il logaritmo atural o Npriao, cioè i bas.. TABELLA DELLE DERIVATE PIÙ COMUNI Riportiamo qui di sguito ua tablla riassutiva dll drivat di alcu fuzioi lmtari, scrivdo a siistra la fuzio, lla stssa lia, a dstra, la sua drivata: c ' 0 ', ', 0 ' ' m, m si ' cos ' m m cos ' si tg ' cos ctg ' si ' tg cotg a, a 0 ' a loga ' l l, 0 ' log a, 0, a 0, a ' log a 6

7 arcsi, arccos, 0 arctg arcctg ' ' ' ' Riportiamo adsso u lco di drivat di fuzioi lmtari ottuto dalla tablla prcdt sostitudo alla variabil idipdt ua crta fuzio applicado poi la rgola di drivazio dll fuzioi compost: f f ' f di cui si coosca la drivata d ' f f ' f ' f f m ' m f m si f ' cos f f ' cos f ' si f f ' tg f ctg f arcsi f arccos f arctg f arcctg f ' ' ' f f ' cos si f f ' ' ' ' f f f f f ' f ' f ' f ' 7

8 f a f l f log a f f ' f ' f ' a l a f ' ' ' f f ' f f g log a f ' g g ' f g' log f f f ' 8

9 ESERCIZI PROPOSTI Calcolar l drivat dll sguti fuzioi poliomiali: + [6] + 7 [] [] 6 + [6 6] + [ + ] [8] + + [ + ] [ ] [] [8] + [8] + [ + 8] + + [ + ] + 7 [ + ] [0 7 ] 9 [ + + ] ( + )( + ) [ ] ( )( + ) [ + ] ( + ) [0( + ) ] ( ) [ ( + )( ) ] ( + )( ) [6 0 + ] ( ) ( 7) [( )( 7) ( )] ( + )( + ) [ ] ( )( + ) [ 8 + ] 9

10 ( )( ) [( )] ( + )( + ) [( )] (8 ) 0 [80(8 ) 9 ] ( ) ( ) [( )( )] ( + )( ) [( )( )] ( ) ( + ) [( + )( ) ] ( ) ( + ) [( )( )] ( ) ( + ) [( + )( ) ( )] ( + + ) ( ) [( + + ) ( ) (0 + + )] ( 6 + )( + ) 8 [6( + ) 7 ( )] ( + ) ( ) 7 [( )( + ) ( ) 6 ] ( + ) ( + ) [( + )( )] ( + ) + ( + )] [( + ) (7 + ) + ( + )] Calcolar l drivat dll sguti fuzioi razioali fratt: 0

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13 Calcolar l drivat dll sguti fuzioi spoziali logaritmich: l l + [ + ] [(+) ] l [l + ] l + [l + + ]

14 l l l + [ ( + + )] ( ) [ ( )] ( + 7) [ ( + + 6)] l l + 6l 6 [l ] (l) [(l) (l + )] l 6 l [ 8 l 0 l + l + 0l] l l (l ) [(l )(l + )] l [(l + )] l [(l + )] l [l (l + )] l l l 7 l l l l l l 6 l l l( 7 7 8) 78 l l l l

15 l 8 l 8 l l l l l l l l l l l