Serie. 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: e n n + e n. n 3 n2 n e n 2 sin 1 n n log n. e 1 n. ( 2 + sin n 4. n + 1. sin(sin 1 n ) 10) 11)

Transcript

1 Sri. Studiar il carattr dll sguti sri: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) =4 + ( ) 3 si log ( + si 4 + log λ, λ > 0 si(si )! ( si λ, λ R cos(π)

2 . Stabilir pr quali valori dl paramtro ral λ covrg la sri Pr i valori trovati calcolar la somma. (λ. 3. Scrivr la succssio dll somm parziali dlla sri Dtrmiar il carattr la somma. (λ + λ ). 4. Stabilir, al variar dl paramtro ral positivo λ, il carattr di 5. Stabilir pr quali valori dl paramtro ral a covrg la sri + ) a. (λ + λ. ( + 6. Stabilir il carattr di log. 7. Stabilir, al variar dl paramtro ral a, il carattr di 8. Stabilir il carattr di ( ) si + cos. 9. Stabilir, al variar dl paramtro ral λ, il carattr di 0. Stabilir il carattr di. Stabilir il carattr di ( log. cos( π).! a. + log + λ si.. Dopo avr stabilito la covrgza dll sguti sri, calcolar la somma: ) ) ( 3 +

3 3) 4) Traccia dll soluzioi. ) Sri a trmii positivi, ) Sri a trmii positivi, 3) Sri a trmii positivi, 4) Sri trmii positivi, 3), covrg. ( + ( = ( si log, covrg. 0, divrg. 0, divrg. 3 log 3 dfiitivamt ( 5) Sri a trmii positivi,, covrg. ( ) + si ( ) 3 6) Sri a trmii positivi,, covrg ) Sri a trmii positivi, + = + +, divrg. 8) Sri a trmii positivi, log λ = log λ log λ, quidi s < λ < covrg pr il critrio dlla radic; s λ =, divrg (è l armoica), gli altri casi la sri divrg pr il critrio dlla radic. 9) Sri a trmii positivi (N.B. 0 < si < si(si ) > 0), si(si ), divrg. ( + )! 0) Sri a trmii positivi, ( + ) :! + = la sri covrg pr il critrio dl rapporto. 3 ( + ( + ) =,

4 ) Sri a trmii di sgo variabil, si ( ), covrg assolutamt, quidi ach smplicmt. ) Sri a trmii di sgo variabil, λ 0 s solo s λ ; λ = λ λ, duqu, pr il critrio dlla radic, s λ < la sri covrg assolutamt quidi ach smplicmt; s λ = la sri divrg (è l armoica), s λ = la sri covrg pr il critrio di Libiz; s λ > la sri o covrg prché il trmi gral o td a zro. 3) Sri a trmii di sgo variabil, il critrio di Libiz. cos(π) = (, covrg pr. Sri gomtrica, covrg s λ <, cioé pr < λ <, λ 0 ha pr somma λ. 3. Sri tlscopica, S = λ + ; la sri covrg s < λ ha pr somma - s λ, 0 s λ = ; divrg s λ > ; è irrgolar s λ. 4. Sri a trmii positivi, s λ >, (λ +, covrg; s λ λ (λ), (λ +, divrg (sri armoica gralizzata). λ λ 5. Sri a trmii positivi: = ( + ) ( + ) + + +, la sri quidi covrg s a >. log 6. Sri a trmii positivi, poiché lim = 0, dfiitivamt si ha + ch log, cioè log, la sri allora covrg pr il critrio dl cofroto. ( + )!( + )a 7. Sri a trmii positivi, :!a ( + + = ( + )a ( + = ( + )a a ( + ), la sri covrg pr ogi valor di a, pr il critrio dl rapporto. 4

5 8. Sri a trmii di sgo variabil, cosidriamo la fuzio f(x) = si x + cos x, drivado si trova ch il massimo di f(x) val ( ) si + cos ; allora (, ch è il trmi gral di ua sri gomtrica covrgt. La sri data covrg assolutamt, pr il torma dl cofroto, duqu ach smplicmt. + log 9. Sri a trmii di sgo variabil, + λ si + log + λ, 3 covrg assolutamt, quidi ach smplicmt pr ogi λ. ( log 0. Sri a trmii di sgo variabil. La sri divrg assolutamt ) s 3 ; pr studiar la covrgza smplic applichiamo il critrio di Libiz, log è dfiitivamt dcrsct, ifatti la fuzio y = log x ha drivata gativa x pr ogi x >, quidi la sri covrg smplicmt.. Sri a trmii di sgo variabil. S è pari, = k, cos π = cos kπ = ( ) k ; s è dispari cos π + = 0. Duqu cos π ( ) k = ; la sri k= k covrg pr il critrio di Libiz.. ) Sri gomtrica, = ( ) = ) Sri gomtrica, = ( 3 3) 3 = 3 ( ) 3) Sri gomtrica, = = 4) sri tlscopica, a = ( + ), la succssio dll somm ( + )( + parziali è S = ( 6 )+( 6 )+( 0 )+...+( ( + ) ( + )( + ); la sri covrg a 5