Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 4

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1 Corso di laura i Fisica - Ao Accadmico 07/08 Aalisi Matmatica I Soluzioi dl tutorato 4 A cura di David Macra Esrcizio ( i) Domiio di dfiizio: La fuzio o è dfiita s è tal ch l argomto sotto radic sia gativo, cioè s > o <. Prciò il domiio di dfiizio di f è l itrvallo [,]. Simmtri: prciò la fuzio è pari. f ( ) ( ) f () Cotiuità: f è cotiua su tutto [,] prchè è il prodotto di u modulo di ua fuzio il cui grafico è ua smicircofrza di raggio, d tramb soo fuzioi cotiu. Diffrziabilità: Calcoliamo la drivata di f : f () d + d d d + dov, ricordiamo, sg() è la fuzio dfiita su \ {0} s > 0 sg() s < 0 sg() Ossrviamo quidi ch f è dfiita pr ogi {,0,}. Quidi f è diffrziabil s < <, 0. Asitoti: Essdo f ua fuzio cotiua dfiita su u itrvallo compatto, pr Wirstrass è itata ammtt massimo miimo, prciò o può avr ssu tipo di asitoto. Puti critici: Abbiamo già visto ch la drivata si aulla i 0. Vdiamo s ci soo altri puti l domiio di f i cui si aulla la drivata. S 0, dato ch abbiamo visto ch la fuzio è pari, è u puto critico s solo s lo è, quidi possiamo rstrigrci al caso di > 0. S è positivo quidi f () f () 0 s dalla simmtria dduciamo quidi alla fi ch i puti critici soo 0 ±/. Discutiamo adsso la atura: i 0 la fuzio o è diffrziabil quidi, i particolar, o ha drivata scoda. Tuttavia possiamo studiar a mao l adamto di f i u itoro di 0: pr positivo f () + > 0 s 0 < <

2 quidi la fuzio è crsct i (0,/ ). Dato ch la fuzio è pari, pr simmtria sarà dcrsct ll itrvallo ( /,0) Prciò la fuzio è dcrsct a siistra dllo 0 crsct a dstra, quidi 0 è u miimo. Adsso vdiamo la atura di ±/. Com già dtto, pr simmtria ci bastrà studiar la atura soltato di uo di du, l altro avrà la stssa atura. Vdiamo quidi cosa succd i +/ : la drivata scoda di f pr positivo è f () d d + 4 4( ) ( )( + ) ( + ) Ifi f ( ) quidi ±/ soo trambi massimi ( ) 3/ 3 + < 0 ( ii) Domiio di dfiizio: Possiamo riscrivr la fuzio com f () ( ) poichè il radical coivolto ha grado dispari, o ci soo problmi di sgo dll argomto, prciò la fuzio è dfiita su tutto. Simmtri: prciò la fuzio è dispari. f ( ) ( ) / (( ) ) / / ( ) / f () Cotiuità: La fuzio la composizio di ua radic quita di u poliomio. Visto ch sia la fuzio radic quita ch i poliomi soo fuzioi cotiu su, f è cotiua su tutto. Diffrziabilità: La drivata di f è f () d ( ) d d [( ) ] 4/ d (( ) ) ( ) + ( ) 4/ ( ) ( ) + 4 4/ ( ) 3/ 4/ ( ) 3/ 8/ 3/ I puti dov la fuzio o è diffrziabil soo duqu qulli dov si aulla il domiator dlla drivata: 0 ±. Asitoti: ( ) ±

3 quidi la fuzio o ha asitoti orizzotali. Ioltr, dato ch ssa è ovuqu dfiita cotiua, o può avr ach asitoti vrticali. No rsta ch cotrollar la prsza di asitoti obliqui: f () ( ) o( ) + o( ) + o() (f () ) co ( ( ) ) r () ( ) 4 ( ) 4 0 ora, applicado il prodotto otvol ch coosciamo, ( ( ) ) ( r () ) ( r () ) ( r () 4/ + r () 3/ + r () / + r () / + r () ) r () 4/ + r () 3/ + r () / + r () / + r () r () 4/ + r () 3/ + r () / + r () / + ( ) r () 4/ 43 r () 4/ dov ll ultima uguagliaza abbiamo lasciato al domiator solo il trmi domiat. Cotiuado il coto ( ) r () 4/ r () 4/ r () 4/ 3 r () 4/ + 3 o(r () 4/ ) 0 r () 4/ r () 4/ r () 4/ 4/ dov abbiamo usato il fatto ch r () mtr 3 + 0, quidi + 3 o(r () 4/ ) Prtato, l asitoto obliquo pr f s ± è la rtta y. Puti critici: La drivata di f si aulla dov si aulla il suo umrator: 0 ± Dato ch f è ua fuzio dispari, ci basta studiar la atura di uo solo di qusti puti critici pr ddurr qulla dll altro. Studiamo quidi di f i u itoro di / (la drivata scoda vi strmamt complicata): sia ε > 0 molto piccolo + ε + ε + ε f + ε + ε 4/ + ε 3/ + ε 4/ + ε 3/ ε + ε + ε 4/ + ε 3/ 3

4 Il umrator di qusta frazio è positivo prchè abbiamo prso ε > 0. Il domiator, tuttavia, è < 0 prchè Prciò, s ε è abbastaza piccolo, 4/ + ε > 0 smpr pr la positività di ε, ma 3/ + ε < 0 s ε è abbastaza piccolo f + ε ε + ε + ε 4/ + ε 3/ < 0 Ioltr, co u calcolo simil a qullo svolto pr / + ε, ottiamo ch f ε ε ε ε 4/ ε 3/ Qui s ε è abbastaza piccolo il umrator ε ε è gativo, prchè ε va a zro più vlocmt di ε s ε td a 0. Ioltr ε 4/ > 0 s ε è abbastaza piccolo, 3/ ε < 0 s ε è abbastaza piccolo. Prciò, quado ε è sufficitmt piccolo, f ε ε ε ε 4/ ε 3/ > 0 Da qusto dduciamo ch la drivata di f è crsct subito prima di / dcrsct subito dopo. Da ciò dduciamo ch / è u massimo local. Dal fatto ch la fuzio è dispari, dduciamo ach ch / è u miimo local. Adsso vdiamo com si comporta la fuzio i itori di puti icui o è diffrziabil, 0 ±. Prso ε > 0 piccolissimo, f (±ε) (±ε) (±ε) 4/ ((±ε) ) 3/ ε ε 4/ ((ε) ) 3/ s ε è abbastaza piccolo, sia il umrator ch il domiator di f soo gativi, prciò f (±ε) > 0 la fuzio è crsct i u itoro di 0. Co u coto dl tutto simil si vrifica ch gli altri du puti i cui f o è diffrziabil, ± soo, rispttivamt, u miimo u massimo rlativo. 4

5 ( iii) Domiio di dfiizio: Il logaritmo è ua fuzio dfiita solo s l argomto è positivo, prciò la fuzio è dfiita solo pr gli tali ch + > 0 ( ) + > 0 s 0, l ultima disuguagliaza è vra prchè 0 s 0, > 0, prciò ( ) 0 ( ) + > 0. S ivc < 0, abbiamo ch < >, quidi, a maggior ragio, ( ) >, cioè ( )+ > 0. Quidi l argomto dl logaritmo è smpr positivo la fuzio è dfiita su tutto Simmtri: f ( ) log( + ) ±f () quidi la fuzio o è è pari è dispari. Cotiuità: La fuzio è la composizio di u logaritmo co ua combiazio liar di spoziali, sia logaritmi ch fuzioi liari ch spoziali soo fuzioi cotiu l loro domiio di dfiizio, prciò f è cotiua su tutto Diffrziabilità: La drivata di f è f d () + d ( + ) + dato ch pr quato visto prima il domiator è smpr divrso da 0, la fuzio è diffrziabil su tutto Asitoti: La fuzio o ha asitoti vrticali prchè è ovuqu dfiita cotiua. + log( + ) + log( + ) 0 quidi la fuzio ha u asitoto orizzotal s. Vdiamo s ha u asitoto obliquo pr : log( + ) log( ( )) + + log( ) + log( ) o() [log( + ) ] [log( ( )) ] + quidi f ha la rtta y com asitoto obliquo pr +. [ o() ] 0 + Puti critici:la drivata si aulla dov si aulla il suo umrator, ossia pr gli tali ch 0 log( ) log( ) log() + log() Prciò l uico puto critico di f è log(). Calcoliamo adsso la drivata scoda di f f () d d + (4 )( + ) ( ) ( + )

6 ( + ) ( + ) valutiamola i log() (dato ch siamo itrssati uicamt al sgo di f ( log()) dato ch il domiator è positivo, è sufficit guardar solo al umrator): ( ) log() 3log() + 4 log() log() log(/3) + 4 log(/) log(/) > 0 quidi log() è u miimo. Ioltr, dato ch sso è l uico puto i cui la drivata cambia sgo, ch la fuzio td dal basso a 0 s a + s +, si tratta di u miimo assoluto. Esrcizio (i) Pr ogi 0 fissato, < D altro cato, s < 0 sistrà u N dipdt da pr cui, N, + + < (s è positivo, qusto N è proprio ). Prciò, N N + + < prchè somma di ua somma fiita di ua sri domiata da ua gomtrica di ragio mior di. Quidi, pr ogi, la sri covrg assolutamtr, quidi ach smplicmt. (ii) S, log + quidi la sri o covrg, mtr, s <, log( + ) < quidi, pr cofroto asitotico, la sri covrg ( qui assolutamt o smplicmt o fa diffrza). (iii) S <, quidi la sri o covrg. S, / + + prtato ach i qusto caso la sri covrg. S ivc >, + < 0 quidi la sri covrg prchè è maggiorata da ua sri gomtrica di ragio / <. Ach i qusto caso, ssdo smpr positivo, o c è alcua diffrza tra covrgza smplic assoluta. 0 6

7 ( iv) Nota: è vuto fuori ch pr risolvr qusto srcizio bisoga ricorrr alla formula di Stirlig, ch voi o avt visto a lzio. Essa affrma ch π! Applichiamo la formula al trmi gral dlla sri: S > (!) ( ) π π ( ) quidi la sri o covrg. S ivc prtato la sri covrg. Ifi, s < ( ) π / π < / π π 0 prciò la sri covrg. Dato ch ach qusta sri è a trmii positivi pr ogi, o c è distizio tra covrgza smplic assoluta. Esrcizio 3 ) Pr dimostrar ch f è bittiva, facciamo vdr ch è cotiua strttamt mootoa. Cotrolliamo iazitutto la cotiuità i di f : log() log( + ) ( + o( ) ( ) o( ) + quidi la fuzio è cotiua i. Ioltr f è cotiua pr ogi positivo divrso da, prchè è il prodotto di ua fuzio razioal il cui domiator o si aulla pr u logaritmo. Adsso cotrolliamo la mootoia: f () + log() ( ) log() + ( ) log() log() log() log() ( ) ( ) Il domiator di qusta fuzio è smpr positivo. Ma s è positivo, ach il umrator lo è, dato ch log()+ s > 0. Quidi la fuzio è cotiua mootoa crsct, quidi é bittiva. ) f ()f log() log () log() ( log()) log () ( ) log ( ) 7

8 Dobbiamo quidi dimostrar ch g() : log () ( ) < s Dal puto prcdt, sappiamo ch g() f ()f f () Ioltr, dato ch log() o( ) pr log () g() ( ) log () o() 0 log () g() 0 0 ( ) 0 log () log La drivata di g è g () ( log ()) 0 log () + log() ( ) log () ) ( ) 43 log () + log() log () log() log () log()[ log()( + ) ] ( ) 3 ( ) 3 La drivata si aulla quidi s log() 0 oppur log()( + ) 0. Vdiamo ch tramb l fuzioi si aullao quado il logaritmo si aulla soltato pr qul valor. Vdiamo s h() log()( + ) si aulla pr qualch altro valor di (0, + ): dato ch log()( + ) > dfiitivamt h() ( log()( + ) ) 0 h() ( log() log() ) + 0 prchè log() 0 log() 0 0. Calcoliamo adsso h : h () + Dato ch stiamo cosidrado la fuzio su (0,+ ) ( + ) log() log() h () < 0 (+) log() < 0 log() < 0 log() < log() > Ma s > 0, > log(), quidi, dall ultima disuguagliaza log() > log() > log() ( )log() > 0 Ma s <, allora sia ch log() soo strttamt gativi, prciò il loro prodotto è strttamt positivo. S ivc è mior di, l du fuzioi soo tramb strttamt positiv quidi ach il loro prodotto è strttamt positivo. Quidi h() si aulla solamt i da qusto sgu ch g() ha u com uico puto critico il puto. Ma dato ch, com abbiamo visto prima, g() td a 0 sia s ch s 0, allora sgu ch g() è il suo massimo assoluto, lo raggiug soltato i. Dato ch g(), g() <. 8