LIUC ebook. Analisi Matematica. Anna Maria Mascolo Vitale

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1 LIUC Boo Aals Matmatca Aa Mara Mascolo Vtal

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3 LIUC Boo

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5 Aals Matmatca Aa Mara Mascolo Vtal LIUC Uvrstà Cattao Castllaza

6 Aals matmatca Aa Mara Mascolo Vtal Coprght Uvrstà Carlo Cattao - LIUC Cso Mattott - Castllaza (VA) Data d pubblcazo: Novmbr - ISBN

7 Prazo Nll -Boo s prsta ua raccolta d srcz d prov scrtt complta d soluzo corrdata ach da alcu opportu rcham d tora co lo scopo d orr u valdo cotrbuto alla prparazo dll sam d Aals Matmatca Il cotuto dll -Boo prmtt allo Studt d mttr alla prova l propr cooscz l rlatv capactà applcatv ruscdo oltr a comprdr modo adguato prcso la tpologa d prova scrtta ch lo attd I l -Boo o sosttusc l lbro d tsto adottato o l srczaro cosglato ma lo s può cosdrar com ua dspsa ch l tgra l complta u saggo compago d vaggo lugo l prcorso vrso la prova d sam Aa Mara Mascolo Vtal

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9 Izamo da qu CONCETTI PRIMITIVI coctt matmatc dtt prmtv propro pr vdzar ch o soo rcoducbl a ozo pù lmtar I coctt prmtv soo cosdrat matto prmar mdat qual s dscoo tutt gl altr coctt matmatc I pù comu coctt prmtv soo qull d: sm umro atural puto rtta pao spazo rlazo tra sm INSIEMI U sm è ua collzo d oggtt b dt dtt lmt modo ch sa smpr possbl armar co charzza s u dato lmto appartga o o all sm U sm può ssr rapprstato du mod: pr lcazo ossa dado l lco d suo lmt posto tro parts gra com sgut smp: A C { } B { 7 } { a o u} D { } Ism vuoto / { } ({ } / ) N { } { ± ± } Z 7

10 oppur mdat proprtà carattrstca val a dr prcsado alcu proprtà ch dstguoo modo quvocabl suo lmt Allora gl sm dgl smp prcdt dt qusto scodo modo dvtao: A sm d umr par da a B C D { } { sm d umr prm da a } { sm dll vocal dlla lgua talaa} { sm d umr atural } { sm prvo d lmt} { sm d umr atural} Ism vuoto N Z { sm d umr tr} DIAGRAMMI DI EULERO-VENN Smbolo d Pao s lgg appart s lgg o appart A : appart ad A A : o appart ad A B B 8

11 Altr smbol: Smbolo " sst " pr og" almo u lmto" Sgcato! " sst uo d u solo lmto" / " o sst alcu lmto" (:) " s allora" " s solo s" AND ( cotmporaamt) -coguzo tra proposzo- OR (oppur) -dsguzo tra proposzo- tal ch L mplcazo p q può ssr ltta du mod quvalt: p è codzo suct pr q q è codzo cssara pr p La doppa mplcazo p q s lgg ach: p è codzo cssara suct prché valga q 9

12 INCLUSIONE A è u sottosm d B s scrv A B smbol: A B A è u sottosm propro d B A B ( : A B) ( : B A) L rlazo godoo dll sgut proprtà: rlssva: A A atsmmtrca : A B B A A B trastva : A B B C A C

13 UNIONE: è l sm dgl lmt ch appartgoo ad A o a B A B {: A B} A B INTERSEZIONE: è l sm dgl lmt ch appartgoo ad A a B A B {: A B} A B

14 DIFFERENZA: la drza tra A B è u sm dcato co A B costtuto dagl lmt d A ch o appartgoo a B A A B B S com accad spsso l sm rsptto al qual s rrscoo tutt l oprazo è l sm U domato sm uvrso allora l oprazo drza tra U d A è dtta : COMPLEMENTAZIONE s dca co: C U A U A CARDINALITA O POTENZA DI UN INSIEME Du sm A B s dcoo d ugual cardaltà o potza s possoo ssr mss corrspodza buvoca tra loro ossa s sst ua lgg ch assoca ad og lmto d A uo d u solo lmto d B vcvrsa Du sm A B d ugual cardaltà s dcoo qupott U sm s dc umrabl s ha la stssa cardaltà dll sm N d umr atural

15 NUMERI NATURALI Do ha crato umr atural; tutto l rsto è opra dll uomo { } N Lopold Krocr (8-89) N soo dt du oprazo tr (co l rlatv proprtà): moltplcazo: l addzo la m N : m N m N S dca co N l sm d atural prvato dllo zro prtato { } N PROPRIETA : ) Esstoo N du lmt ch soo lmt utr pr l addzo pr la moltplcazo rspttvamt coè: m N : m m m; m m m ) Val oltr la lgg d aullamto dl prodotto : m N : m m o ) I N val la rlazo d ord l sso ch pr og coppa d umr atural m d val ua d ua sola dll sgut altratv: m ; m < ; m > )Ad og umro atural corrspod u altro uco ch è dto l succssvo d dcato co

16 { } Z : N Z NUMERI INTERI RELATIVI I Z la drza d du umr rlatv è smpr u tro rlatvo; cò è dovuto al atto ch: b Z Z : b ; l umro s dsc opposto d b s scrv: b Dzo: s dc valor assoluto dl umro rlatvo a smbolo a l umro o gatvo così dto: a a a s s a a < qud: a Z : a a a Esmpo: ; ; ( ) m Q: ± co m N NUMERI RAZIONALI N Z Q m p S m p q N ( q ) s ha : m q p q ( prtato u umro razoal è rapprstato da t razo) I partcolar s po m p S ha oltr < m q < p q Nll sm Q d umr razoal è smpr possbl la dvso s l dvsor è dvrso da zro ossa: a b Q co a b : a Q cò s dv al vrcars dlla sgut proprtà: a Q l umro co a Q : a ; s dc vrso d a s scrv a a

17 PROPRIETA' DI DENSITA' : a b Q maggor d co a < b a mor d b; sstoo t razoal a b a c basta prdr c c cc Esstza d umr rrazoal: d Torma Il umro d msura dlla dagoal dl quadrato d lato tal ch d o è razoal Dmostrazo: pr assurdo suppoamo ch d tal ch d sa razoal; m sa qud d co m d prm tra loro m d m duqu m è par prcò m è par ; m ( tro) m è par prcò ach è par I du tr m d soo allora tramb par cotraddzo co l pots ch sao prm tra loro

18 Dzo: umro ral è u qualsas allamto dcmal (prodco o o) dotato d sgo L sm d tal allamt sarà dcato co R; Q è u sottosm propro d R I umr ral o razoal s dcoo umr rrazoal S dc ch l sm d ral R ha la potza dl cotuo quato è possbl stablr ua corrspodza buvoca tra put dlla rtta l sm stsso d ral REALI RAZIONALI IRRAZIONALI R Q (RQ) Q (RQ) O/ Alcu umr rrazoal : ( rapporto tra la crcorza d l damtro) bas d logartm"dtta bas atural t dlla succsso a φ ( rapporto auro)

19 Valor assoluto Pr og umro ral l valor assoluto d dcato co è dto da s s < dalla dzo d valor assoluto sgu ch: Proprtà dl valor assoluto: R a : < a a < < a ( dsuguaglaza tragolar) RELAZIONE D'ORDINE TOTALE R < o o > PROPRIETA' D'ORDINE : ) z R z z ) a > co a R a a CONSEGUENZE : a) a < co a R a a ; b) < > ; c) < d) < u < v < ; u < v 7

20 R amplato R * L sm d umr ral R co l agguta d du lmt (put): { } { } * prd l om d R amplato s dca co R { } { } R E possbl rapprstar vsvamt l sm R * ; att mttdo corrspodza buvoca put dlla rtta ral R co qull d ua smcrcorza prottado qust ultm dal ctro C dlla smcrcorza sulla rtta R s ossrva ch a put A B strm dlla smcrcorza o corrspod su R alcu puto S stablsc ch: { } è l corrspodt dl puto A { } è l corrspodt dl puto B 8

21 INTERVALLI Dzo Dat du umr ral a b s chama trvallo d strm a b uo d sgut sm: a b sm d umr ral : a b [ ] [ a b) sm d umr ral : a < b ( a b] sm d umr ral : a < b ( a b) sm d umr ral : a < < b Gl trvall sopra dt soo sm tat S chamao trvall ltat ad smpo l smrtt: b sm d umr ral : < b ( ) [ a ) sm d umr ral : a oppur l tra rtta ( ) Itoro d u puto R: è u qualuqu trvallo aprto ch ha com puto mdo ; s dca l toro co: U r r r > ( ) Itoro dstro d u puto R: è u trvallo aprto mtà d u toro complto; s dca l toro dstro co: ( r) r > U Itoro sstro d u puto R: è u trvallo aprto mtà d u toro complto; s dca l toro sstro co: U ( r ) r > Puto d rotra U puto s dc d rotra pr u sottosm A d umr ral s og suo toro cadoo sa put d A ch dl complmtar d A S ossrva ch u puto d rotra può appartr od ach o appartr al sottosm A Puto tro U puto s dc tro pr u sottosm A d umr ral s appart ad A o è d rotra Puto stro U puto s dc stro pr u sottosm A d umr ral s o appart ad A o è d rotra 9

22 Ism tato suprormt U sm A s dc tato suprormt s sst u umro ral tal ch: a A rsult a I smbol: : a A a L lmto s dc maggorat dll sm A Ism tato rormt U sm A s dc tato rormt s sst u umro ral h tal ch: a A rsult a h I smbol: L lmto h s dc morat dll sm A Ism tato h : a A a h U sm A s dc tato s rsulta ssrlo sa rormt ch suprormt Estrmo supror dll sm A S dsc strmo supror dll sm A l mmo d maggorat s dca co Sup A S Sup A appart ad A allora prd l om d massmo d A s dca co M Estrmo ror dll sm A S dsc strmo ror dll sm A l massmo d morat s dca co I A S I A appart ad A allora prd l om d mmo d A s dca co m Ism o tat S l sm A R o è tato suprormt (rormt) s dc ch sup A ( A ) qud s può armar ch: og sm A R o vuoto è dotato d strmo supror d ror; sup A ( A) è u umro s A è tato suprormt (rormt) altrmt è ( )

23 Il smbolo d sommatora : Il smbolo d sommatora s utlzza pr rapprstar la somma d u sm co u umro to d lmt assgat scodo ua squza logca Esmpo Assgato l sm: { 8 } { a : 8 N} A la somma dgl lmt dll'sm A s dca utlzzado l smbolo d sommatora l modo sgut: 8 8 s lgg: somma pr da a 8 d s dsc: argomto dlla sommatora 8 è u umro atural s dsc: dc dlla sommatora I gral s scrv: a a a a a a

24 Cas partcolar S l prmo valor dll dc è ugual all ultmo o s ha ua somma qud: a a Esmpo: S l argomto a dlla sommatora è dpdt dall dc l valor massmo dll dc stablsc quat volt l argomto è sommato prtato: c c c ( umro d addd dlla ) Esmpo: L sprsso ( ) è utlzzata pr rapprstar l altraz d sgo Iatt s ha: ( ) s s è è par dspar Esmp: ( ) ( ) La somma d u umro to d umr dspar può ssr scrtta dcado l grco umro dspar co oppur co Esmpo: oppur

25 Proprta dl smbolo d sommatora ) La lttra dal smbolo Esmpo: d co sommatora cu s dota l'dc può ssr sosttuta co ua vcvrsa : ) Prodotto pr ua costat: og costat moltplcatva può ssr "portata da a ( c a ) a c a qualsas altra lttra : dtro a uor" ) Somma d sommator o proprtà assocatva : Esmpo: ( a ± b ) a ± b ) Scomposzo d ua sommatora : Esmpo: 9 a h h a h h a ) Traslazo d dc : Esmpo : 7 h a h m a m m

26 ) Prodotto m m a b a b : lla sommatora doppa scrtta cu trm dpdoo uo dall'dc l'altro dall'dc prma d sommator : s calcola la sommatora tra sommatora stra acdo varar tdo sso acdo varar po s calcola la Esmpo : ( 8 7) Calcolo d alcu somm )Somma d prm tr postv: S ( ) S può usar l sgut artco : s prd cosdrazo ua doppa somma S scrtta l sgut modo: S S [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] d utlzzado ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) 99 opportuamt la proprtà assocatva s così s può cocludr ch : 99 Esmpo: 99 9 ha : da cu s ott

27 ) Somma d trm d ua progrsso gomtrca d rago q : q q q q q pr q s ha: q volt ) ( ; pr q s ha: q q q Dmostrazo: Dall uguaglaza q q q q q moltplcado tramb mmbr pr q s ha: q q q q q q q sottrado po rspttvamt prm d scod mmbr dll du uguaglaz s ott: ( ) q q q da cu s rcava la ormula: q q q Esmpo: ( ) ( ) [ ] 9 9 8

28 ) Somma d quadrat d prm umr: ( )( ) S omtt pr brvtà la rlatva dmostrazo Esmpo: 9 8

29 7 Esrcz Tst S dtrm l valor dll sprsso: S dtrm l valor dll sprsso: ( ) S dtrm l valor dll sprsso: log S dtrm l valor dll sprsso: 9 S dtrm l valor dll sprsso: S dtrm pr qual valor dl paramtro ral s vrca la sgut uguaglaza: 7 7 S calcol oprado ua opportua smplcazo la somma: 8 S dtrm utlzzado la proprtà d traslazo dgl dc l valor dll sprsso: 8

30 8 Soluzo ) ( 9 ( ) 8 log log 7 9 log 7 log log log log log

31 Fattoral d Dzo Co attoral d s td: l prodotto d prm tr postv s dca co! (s lgg attoral ) ( )! Il umro! crsc molto rapdamt al crscr d com s può vdr calcolado alcu valor:! 7! 7! 88 Pr dzo! Proprtà )! ( )! ) s < < att :! ( )! dov l prodotto dcrsct! ( )! ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) è l prodotto d ; ( )( )( ) attor partdo da!! Esmp: ; ! 98! 9

32 Ua parts: umr prm U umro atural è dtto prmo s è dvsbl soltato pr s stsso pr l utà S dmostra ch og umro atural può ssr scrtto com prodotto d sol umr prm S s psa a umr atural com ad u aalogo artmtco dll molcol chmch tut sm dal lgam dlla moltplcazo tal aaloga umr prm svolgoo l ruolo dgl atom Torma L sm d umr prm è ltato suprormt ossa sstoo t umr prm La dmostrazo ch è qu rportata rsal ad EUCLIDE vssuto crca a addtro EUCLIDE così ragoò: suppoamo ch ssta u umro to d prm I tal caso uo d ss chamamolo P sarà l pù grad Costruamo l attoral dl umro P! P cosdramo po l umro Q ugual al attoral d P aumtato d ossa: Q ( P ) dalla composzo dl umro Q s dduc ch: Q > P d oltr è vdt ch sso o è sattamt dvsbl pr ssu tro da a P quato ogua d tal dvso lascrbb u rsto ugual ad S hao du possbltà pr l umro Q : - Q o è prmo d allora dv ssr sattamt dvsbl pr qualch prmo maggor d P; - Q è prmo qud lo stsso Q rsulta ssr u prmo maggor d P I cocluso: tramb l possbltà dscrtt mplcao l sstza d u umro prmo pù grad d P assuto zalmt com umro prmo pù grad d tutt Cò sgca ch l pots d umro prmo pù grad d tutt o è cosdrabl

33 Coct bomal Dzo S dsc coct bomal l sprsso : ( ) ( )( ) ( )! ad smpo : coct; calcolo d sprsso ch è utl pr l! può scrvr ach : s attoral dl proprtà Pr la Ioltr : Pr dzo!!! c Proprtà ! ad smpo : ) ad smpo : )

34 Potza dl bomo ( ) a b a b a b a ab b b a b a c b a ( ) ( ) ( ) b a b a c b a Esrcz co soluzo S rsolva l quazo: ( ) ( ) > ( ) ( )( ) ( ) S rsolva l quazo: ( ) > ( ) ( )( )

35 Nllo svluppo dl bomo: s calcol l coct dl trm ( ) ( ) ( ) prtato l coct dl trm è 9 Nllo svluppo dl bomo: 7 s calcol l coct dl trm 7 ( ) prtato l coct dl trm è

36 m m q : rtta grca dl pao; a) d paralllsmo b) d m : ass dll ascss; : rtta parallla all'ass dll ascss; RETTA : rtta passat pr l'org ( tra l'ass dll m ( ) : rtta d coct agolar m passat pr l puto ( ) a b c : coct agolar dlla rtta passat pr put : quazo d ua Cosdrat du rtt avt rspttvamt coct agolar m prpdcolartà m m m : ass dll ordat; h rtta grca R :rtta parallla all'ass dll ordat; ); A ( ) B( ) m d m ; ; s hao l du codzo : CIRCONFERENZA ( ) ( ) r : crcorza d raggo r ctro ( ) r : crcorza d raggo r ctro a b c l ctro d l raggo soo lgat a paramtr a b a b r c a : quazo d ua b c > l'org; crcorza grca R a b c dall rlazo : ; a b ELLISSE : quazo dll'llss rrta al ctro co smass a b a a ( a ) b c : parabola col vrtc l puto PARABOLA : parabola col vrtc ll'org d ass d smmtra d ass d smmtra d quazo ; b b ac v v a a b a IPERBOLE :prbol qulatra avt pr astot gl ass cartsa

37 SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE E RELATIVE SOLUZIONI S rsolva gracamt l sstma: ( )( ) prcsado l umro dll soluzo d dcadol co ua lttra ( )( ) ( ) ( ) A B Il sstma ammtt du soluzo: soo put A B trszo dlla crcorza: co la parabola ( ) la rtta S rsolva gracamt l sgut sstma dcado co ua lttra og vtual soluzo: ( ) ( ) No sstoo vc trszo tra la crcorza ( ) A B B Il sstma ammtt du soluzo

38 A S dtrm quat soluzo ammtt l sstma : ( )( ) ( )( ) ± < hao soluzo :o s l sstma ammtt du soluzo: B A B S rsolva co mtodo algbrco l sgut sstma spccado l umro dll soluzo: ( ) ( ) 9 ( )( ) ± ral; o sstoo soluzo 9 ± ± ± cocluso l sstma ammtt quattro soluzo: D C B A

39 POTENZA CON BASE REALE ED ESPONENTE NATURALE La dzo d potza sma d u umro ral a è data podo a R: a a a a a a a volt ( a ) ( N ) a d soo rspttvamt bas d spot dlla potza Il smbolo è prvo d sgcato S possoo dmostrar l sgut proprtà: a b R m N a a m a m a : a m a m ( s m ) m m ( a ) a a b ( a b) a : b ( a : b) S a s attrbusc sgcato ach alla potza co spot tro gatvo podo: a a da cu a a qud a è l'vrso d a RADICI ARITMETICHE Sa a u umro ral postvo ( a R ) d u umro atural s dsc radc -sma artmtca d a la s dca col smbolo a qul umro ral postvo ( ch sst d è uco ) tal ch a a a S po oltr a Pr dzo ( ) a Pr s scrvsmplcmt a Co par s ha: a R a a Pr l radc artmtch valgoo l sgut proprtà: m r mr ) a a ; ) a b a b a : b a : b ; m m m m ) ( a ) a ; ) a a ; ) a < b a < b POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE La potza co bas ral d spot razoal s dsc soltato s la bas a è ral postva a R m N co s po a a a a Pr l potz co bas ral postva d spot razoal cotuao a valr l proprtà dll potz gà lcat pr l potz ad spot tro m m 7

40 EQUAZIONI IRRAZIONALI L quazo rrazoal soo quazo ll qual compaoo radcal cott l cogta; pr rsolvrl occorr lbrarl da radcal pr ar qusto s applca l prcpo d quvalza: A A ( ) B ( ) quval a A( ) B( ) pr dspar ( ) B ( ) gral o quval a A( ) B( ) pr par Prtato ottut l soluzo dll quazo rrazoal o s sgu la vrca dll soluzo ll quazo d partza o s corotao l soluzo co l codzo d raltà d radcal DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Ua dsquazo è rrazoal s cot radcal cott l cogta S s cosdra l caso cu la dsquazo rrazoal cot soltato u radcal s dstguoo sgut du cas: s l radcal ha dc dspar s ha : ( A A ( ) B( ) A( ) B ( ) ( ) B( ) A( ) B ( ) ) ; s l radcal ha dc par (poamo ) s hao du sottocas: a) A( ) < B( ) A B A ( ) ( ) > ( ) < B ( ) ; b) A ( ) > B( ) B A ( ) ( ) B A ( ) > ( ) > B ( ) 8

41 EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO Soo quazo dl tpo: ( ) A( ) B( ) cc A Rcordado la dzo d valor assoluto A ( ) A ( ) s A( ) A( ) s A( ) < s ha ch : A ( ) pr cu ha sgcato A( ); prtato l'quazo A ( ) R è mpossbl s < è quvalt ad A ( ) ± s DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO S cosdrao sgut du cas partcolar: A ( ) la dsquazo è vrcata s la dsquazo è quvalt ad A ( ) oppur ad A( ) s > A ( ) la dsquazo è mpossbl la dsquazo è quvalt s < a A ( ) s 9

42 EQUAZIONI ESPONENZIALI S dcoo quazo spozal l quazo cu l'cogta compar all'spot S rcorda ch pr gl spozal valgoo l proprtà dll potz ad spot ral partcolar: a a a > R a > L' quazo spozal a b co a > a è mpossbl s b ammtt u uca soluzo s b > PROPRIETA' DEI LOGARITMI a b c > a valgoo l sgut proprtà: log b c log b log c ; a b loga log ab logac ; c r log b r log b r R ; a a a a log b log a c b c logca ; s b c loga b ; logb a log b loga c b c a PROPRIETA': s a > a > a > DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE s < a < a > a < CONSEGUENZE: > s a > log > log a a > > s < a < log > log a a <

43 EQUAZIONI DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI CON SOLUZIONI Esrcz svolt S rsolva l quazo: è soluzo dll'quazo 9 ± S rsolva la dsquazo: < < < < < prtato la dsquazo è soddsatta: : < < log S rsolva la dsquazo: log > > N log : < log > > D > log > log > > / la dsquazo qud è soddsatta : ( ) [ ) S rsolva la dsquazo: ( ) log( ) log la dsquazo è quvalt al sstma: > < < log log prtato la dsquazo è soddsatta: [ log log )

44 S rsolva l sstma d dsquazo: > > log : è soddsatto sstma prtatol log 7 > < < > > > > S rsolva l sstma d dsquazo: > > 8 prtatol sstma è soddsatto [ ] 7 S rsolva l sstma d dsquazo: ( ) ( ) < log ( ) ( ) < < < < < log qud l sstma è soddsatto : < 8 S rsolva l sstma d dsquazo: ( ) > < s log ( ) < < > < R s log prtato l sstma è soddsatto

45 9 S rsolva l sstma d dsquazo: ( ) ( ) 9 log log ( ) ( ) : log log < < > > > ( ) 9 9 > > ; prtato: ( ) ( ) 9 log log : sstma è soddsatto l qud < S rsolva l sstma d dsquazo: 9 > 9 9 < < < < > > prtato l sstma è soddsatto ( ] [ ) :

46 Msura d u agolo radat l lughzza dll arco AB r raggo dlla crcorza S dsc msura radat dll agolo ab: l/r l s r Rlazo ra msura grad msura radat: α

47 Crcorza trgoomtrca Ctro O raggo Nl I o quadrat: s PQ cos OQ PQ TA ta TA OA OQ OA I gral: s ordata d P cos ascssa d P tag ordata co sgo d T P (cos s ) s cos s ta cos cos

48 Agol otvol α s cos ta / / / / / / / / / / 9 / / 8 7 / /

49 Grac d s cos ta s cos ta 7

50 8

51 s cos ta Domo ( ) ( ) / Ism dll mmag [ ] [ ] ( ) Smmtr dspar par dspar Prodctà Rlazo ra grac d s cos : (traslazo orzzotal vrso sstra d ) cos s ( ) 9

52 Alcu ormul trgoomtrch Formul d addzo sottrazo s ( ± ) s cos ± cos s cos ( ± ) cos cos m s s Caso partcolar: ormul d duplcazo s s cos cos cos s Formul d bszo s cos cos cos Formul paramtrch t s (co t ta ) t t cos t

53 NUMERI COMPLESSI U umro complsso può ssr rapprstato lla orma: a b dov a b soo umr ral d è u smbolo ch soddsa alla proprtà: Il umro complsso a b può ach ssr rapprstato mdat la coppa ordata (a b) dsgato com puto dl pao dtto: pao d Gauss Im a b a R Nl pao d Gauss: l ass dll ascss è dto: ass ral l ass dll ordat è dto: ass mmagaro put sull ass ral soo: umr ral put sull ass mmagaro soo: umr mmagar pur dl tpo z b D cosguza l umro complsso: corrspod al puto ()

54 Forma algbrca d u umro complsso La scrttura è dtta orma algbrca d umr complss; a s chama part ral d z s dca co R(z) z a b b s chama part mmagara d z s dca co Im(z) Uguaglaza tra umr complss Du umr complss a b c d soo ugual s: a c b d val a dr s sa l loro part ral sa qull mmagar soo ugual Somma drza d du umr complss La somma la drza d du umr complss soo ottut sommado sottrado rspttvamt l loro part ral l loro part mmagar: Prodotto d du umr complss ( a b) ( c d) ( a c) ( b d ) ( a b) ( c d) ( a c) ( b d ) Il prodotto d du umr complss è dto modo ch l rlatv proprtà commutatva dstrbutva rmagao vald: ( a b) ( c d) a ( c d) b ( c d) d ssdo: s ha : ( a b) ( c d) ( ac bd ) ( ad bc) ac ad bc bd Modulo dl umro complsso S chama modulo dl umro complsso a b la sua dstaza dall org S usa la otazo: z a b a b Cougato dl umro complsso S dsc cougato dl umro a b l umro complsso a b Il cougato è dcato co: z a b

55 Proprtà z z hao la stssa part ral la part mmagara opposta ; ( z) z z b Im( ); z z a R z z z ; z z z ; z z z z z Forma trgoomtrca d u umro complsso z a b b z θ arg(z) a O Dato l umro z a b ssdo: (*) a ρ cos θ b ρ sθ l umro complsso z può ssr scrtto lla orma: z ρ( cosθ sθ ) dtta: orma trgoomtrca d umr complss L rlazo vrs dlla (*) soo: a ρ a b cosθ sθ a b a b b

56 TEOREMI DI DE MOIVRE Prodotto d du umr complss Assgat: s ha: ρ ( cosθ θ ) z ρ ( cosθ θ ) z s s z z ( θ sθ ) ρ ( cosθ sθ ) ρ ρ [ cos( θ θ ) s( θ )] ρ cos θ qud l prodotto d du umr complss è u umro complsso ch ha pr modulo l prodotto d modul pr argomto la somma dgl argomt S ossrva ch com caso partcolar dl prodotto s ha la ormula d D Movr pr la potza: z [ cos ( θ ) s( θ )] ρ Quozt d du umr complss Assgat: s ha: ρ ( cosθ θ ) z ρ ( cosθ θ ) z s s z z ( cosθ sθ ) ( cosθ sθ ) ρ ρ [ cos( θ θ ) s( θ θ )] ρ ρ qud l quozt d du umr complss è u umro complsso ch ha pr modulo l quozt d modul pr argomto la drza dgl argomt

57 Dzo RADICI -ESIME Dato u umro complsso ω s dc ch z è ua radc -sma (complssa) d ω s rsulta: Torma z ω Sa ω C ω tro Esstoo radc -sm complss z z d ω ; z posto s ha: z ( cosϕ sϕ) ω r ( cos θ sθ ) ρ ρ r ϕ θ RADICI QUADRATE COMPLESSE Sa ω C ω Esstoo radc -sm complss d ω; posto ω r ( cosϕ sϕ) z ρ ( cos θ sθ ) s ha: Prtato s dvduao: ϕ ϕ z rcos s z ϕ ϕ r cos s z ρ r ϕ θ

58 L quazo d scodo grado EQUAZIONI DI SECONDO GRADO az bz c co coct a b c C s rsolv co la solta ormula: b b ac z a dov s td la radc b ac calcolata sso complsso Ossrvazo: s può omttr l sgo ± davat alla radc poché l smbolo l campo complsso dota du umr uo opposto dll altro Dal torma sull radc -sm s dduc ch l campo complsso C l quazo: ammtt sattamt radc z a ( a C) E possbl gralzzar tal rsultato d ucar qud l sgut: U quazo polomal dl tpo Torma odamtal dll algbra ( a ) a az a z co coct complss qualsas ammtt prcsamt radc C s ogua d ss v cotata co la sua moltplctà * * Dzo d moltplctà S P (z) è u polomo z d grado z è ua sua radc s dc ch z è ua radc d moltplctà ( tro ) pr P (z) s val la ormula: dov Q (z) è u polomo tal ch Q (z ) P ( z) ( z z ) Q( z)

59 FORMULA d EULERO La ormula d Eulro sprm u lgam campo complsso tra l uzo trgoomtrch (so coso) la uzo spozal: cos s R La ormula d Eulro cos s cost d trasormar la orma trgoomtrca d umr complss lla orma spozal l modo sgut: z ρ ( cosθ sθ ) ρ θ θ ( cosθ sθ ) Uso dlla ormula d Eulro z ( cos s ) z [ cos( ) s( ) ] ( cos s ) cos s cos ( ) s( ) cos s / / cos s ( ( ) ) 7

60 ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI TESTI Dato l umro complsso z z a) s calcol s scrva orma algbrca α ; z b) dopo avr scrtto z orma trgoomtrca s calcol succssvamt s scrva orma algbrca z Dopo avr scrtto l umro complsso α orma trgoomtrca s calcol w α s dcho l radc scod d w Dato l umro complsso ω s calcolo s rapprsto l pao d Gauss l radc complss w Assgato α s calcol z α S dtrmo po tutt l radc trz d z S calcolo l radc trz d z 7 S dtrm s dsg sul pao d Gauss l sm d umr complss ch soddsao l quazo: complss w w tal ch: z z z S dvduo po ll sm dtrmato du umr 7 Assgato α s calcol ( ) R( w ) R w z α S dtrmo po tutt l radc quart d z 8 S dtrmo s rapprsto l pao d Gauss put z ch vrcao l uguaglaza: z z z z 9 S dtrmo l pao d Gauss put z ch vrcao l quazo: ( z z ) z S rsolva l pao complsso l quazo: z z S dtrm pr qual valor d z C l umro: rsulta ral postvo ( z ) z z z 8

61 Dopo avr scrtto orma trgoomtrca umr complss : α ( ) β s dtrmo z α β α z z β α dado succssvamt la rapprstazo ach orma algbrca S rsolva l campo complsso utlzzado l trvallo ( ] ( z ) 8 s scrvao l soluzo ach orma algbrca S rsolva l campo complsso l quazo: z 8z S dtrmo put z ch vrcao l quazo: ( z z ) z l quazo: S dtrmo s rapprsto l pao d Gauss put z ch vrcao l uguaglaza: a) z z z SOLUZIONI z ( ) α ; z b) z ρ cosθ sθ tgθ θ z cos s z cos s cos s orma algbrca z ( ) ( )( ) α ρ θ α cos s w α cos s w cos s 9

62 s cos ω ( ) s cos s cos s cos ρ ρ ρ ω ρ [ ) θ θ θ ρ α cos s s cos s cos s cos s cos 8 s cos 8 s cos z a z a ρ ρ ρ ρ co s cos s cos 7 7 z ρ ( ) ( ) s cos s cos s cos ρ ρ ρ

63 z z z da z z s ha: ( ) 9 > l sm d put dtrmato è ua crcorza d ctro ( ) C raggo r ; pr dvduar po du umr complss w w rchst s dv trscar la crcorza co la rtta s rsolv l sstma: ± 9 ottdo qud w w rapprstat l sgut graco: 7 ( ) s cos ta s cos α θ θ θ θ ρ α ( ) 8 s cos z α s cos s cos s cos s cos s cos w w w w z w w w

64 8 z z z z z z ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A rspttvamt Gauss pao d sul rapprstat put ottgoo s ± z z z z z z 9 ( ) z z z z z ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) : ottgoo l soluzo s 8 ± z z z z ( ) ( ) s cos arg z z z ± ± ± A B

65 ( ) ( )( ) ( ) ( ) z z z z rsulta ral postvo s: : s qud > < > ( ) ( ) ( ) ( ) s cos s cos 8 s cos s cos s cos 8 s cos ± ± α β α β α β α ( ) z 8 8 d cubca radc z ( ) ( ) [ ] s 8 cos 8 s cos 8 l quazo ( ) z 8 ammtt qud l tr sgut soluzo: s cos s cos s cos z z z

66 ( ) s cos s cos s cos : da cu co s cos ha s s cos 8 ssdo8 8 calcoladol radc cubch d 8 rsolvqud l'quazoz s 8 z l soluzo da cu 8 8 ì z ì z ì z z z z z z z ( ) z z z z z ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) : l soluzo così ottgoo s cu da soluzo sza :quazo z z ± ± R ( ) ( ) B A Gauss pao d l rapprstat put ottgoo così s d ha s pr mtr qud ha s pr > < z z z z

67 TRASFORMAZIONI DELLE FUNZIONI ( ) ( R) ordat prcsamt l graco d ( ) s ott da qullo d ( ) : dtrma ua traslazo dl graco dlla uzo lugo l ass dll co ua traslazo d utà vrso l basso s < co ua traslazo d utà vrso l alto s > ( ) ( R) ascss prcsamt l graco d ( ) s ott da qullo d ( ) : dtrma ua traslazo dl graco dlla uzo lugo l ass dll co ua traslazo d utà a dstra s < co ua traslazo d utà a sstra s > ( ) : dtrma u graco d uzo par; pr costrur l graco dlla uzo ( ) s lasca altrato qullo l smpao dstro lo s rbalta smmtrcamt rsptto all ass dll ordat ( ) : dtrma u graco d uzo co put d ordata o gatva; pr costrur l graco dlla uzo ( ) s lascao altrat put d ordata o gatva mtr qull d ordata gatva vgoo trasormat loro smmtrc rsptto all ass dll ascss ( ) : dtrma u graco d uzo ottuto da qullo d ( ) attoro all ass dll ordat ( ) : dtrma u graco d uzo ottuto da qullo d ( ) attoro all ass dll ascss 7 ( ) : dtrma u graco d uzo ottuto da qullo d ( ) l ordat d ( ) prcsamt l graco s modca lla drzo vrtcal 8 ( h ) : dtrma u graco d uzo ottuto da qullo d ( ) l ascss d ( ) prcsamt l graco s modca lla drzo orzzotal Esmpo Cosdrata la uzo l dopo u rbaltamto dopo u rbaltamto moltplcado pr tutt moltplcado pr h tutt s possoo applcar su d ssa l otto trasormazo dscrtt

68 l l l ( ) l( ) l

69 l l ( ) l 7

70 7 l 8 l Rsolvr gracamt l quazo: RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA EQUAZIONE ( ) g( ) sgca dopo avr dsgato l graco dll uzo ( ) g( ) dvduar s sstoo valor dlla varabl pr qual l du uzo assumoo ugual ordat S rsolvao gracamt l quazo: ; 8

71 α l quazo è soddsatta pr α (< α < ) α β l quazo è soddsatta pr α (α < ) pr β ( < β < ) 9

72 RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE Rsolvr gracamt la dsquazo: ( ) g( ) ( ( ) g( ) ) sgca dopo avr dsgato l graco dll uzo ( ) g( ) dvduar pr qual valor dlla varabl dom dll du uzo l ordat dlla uzo ( ) s matgoo maggor od ugual dll ordat dlla uzo g( ) (l ordat dlla uzo ( ) s matgoo mor od ugual dll ordat dlla uzo g ) ( ) S rsolvao gracamt l dsquazo: ESERCIZI PROPOSTI CON SOLUZIONI cos α la dsquazo è soddsatta α ( < α < / ) log( ) α β la dsquazo è soddsatta : < α β 7

73 log( ) α β la dsquazo è soddsatta : < α β l( ) < α la dsquazo è soddsatta : < < α co < α < 7

74 la dsquazo è soddsatta : α < β α O β la dsquazo è soddsatta : α < β 7 l( ) > α β la dsquazo è soddsatta : < < α > β co < α < < β < 7

75 NOZIONI DI TEORIA RICHIAMATE ED UTILIZZABILI NELLA SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SULLE SERIE a q CARATTERE DELLA SUCCESSIONE GEOMETRICA { q } q q q q q o sst s s s s q > q q < q Esmp : ( ) o sst a α Esmp : α N CARATTERE DELLA SUCCESSIONE POTENZA α { } s α > s α s α < α α ( ) α GERARCHIA DEGLI INFINITI ( α > > q > )! q α log I partcolar s dmostra ch: a (log a ) α q α 7

76 IL NUMERO DI NEPERO Cosdramo la succsso: ( ) a N ( ) ( ) ( ) ( ) < 9 < < < S dduc qud ch la succsso a è: strttamt crsct tata rormt I smbol: a > a N a Ioltr s può vrcar ch la succsso a è tata ach suprormt; att s s corota la succsso a co la succsso: s vdza ch: o ) a < b N ; < o ) b è ua succsso strttamt dcrsct S può allora scrvr: b b > b > b a < cocludr ch la succsso a a trm postv suprormt covrg ossa ammtt t to S dmostra ch l t d a è l umro rrazoal: dtto umro d Npro s scrvr strttamt crsct tata 7

77 CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA La sr gomtrca è la sr: q q q q q S dmostra ch la sr gomtrca ha l sgut carattr: covrg dvrg d ha pr somma S q a s q è rrgolar s q s q < Ossrvazo: s q < q q q CONDIZIONE DI CONVERGENZA PER OGNI SERIE Codzo cssara aché ua sr tsmo ossa a a covrga è ch l trm gral a sa α CARATTERE DELLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA α la sr covrg s α > la sr dvrg s α 7

78 Sao a b CRITERIO DEL CONFRONTO du sr a trm o gatv tal ch: a b dtvamt la sr la sr allora valgoo l du sgut mplcazo: a b è dtta morat maggorat a ) s la sr maggorat b è covrgt lo è ach la sr morat a ; a ) s la sr morat a è dvrgt lo è ach la sr maggorat b CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO (PER SERIE A TERMINI POSITIVI) a soo astotch S l du succsso a trm postv { } { } allora l corrspodt sr: b a b a b hao lo stsso carattr coè: o soo tramb covrgt o soo tramb dvrgt CRITERIO DEL RAPPORTO (PER SERIE A TERMINI POSITIVI) Assgata a co a > s sst to l t dl rapporto ossa l > a l s hao sgut tr cas: a la sr dvrg a a l < la sr covrg l ulla s può cocludr 7

79 SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE Data la sr a a trm ral o gatv R s s cosdra la sr d modul a : qusta è ua sr a Torma S la sr d modul a è covrgt allora ach la sr a è covrgt Dzo Ua sr a s dc assolutamt covrgt s covrg la sr d modul a Ossrvazo: la covrgza assoluta mplca la covrgza (ordara) dtta ach covrgza smplc; l vcvrsa o è smpr vro SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO CRITERIO DI LEIBNIZ Sa data la sr a trm d sgo altrato: ( ) a co a > N S ) la succsso { a } è dcrsct ) allora la sr è covrgt : a 77

80 SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO: APPROSSIMAZIONE DELLA SOMMA Sa ( ) a co: a > a < a S cosdr l sgut caso: a a 7 a a a a a 7 la rlatva rapprstazo sulla rtta ral s s s s s s s 7 ( ) a s ( ) a 7 > s s ( ) a 8 < s s ( ) a 8 > s s ( ) a < s s ( ) a > s 7 s ( ) a < s 7 Dalla rapprstazo R dll somm parzal s dduc ch: og somma parzal d dc dspar approssma la somma dlla sr pr dtto mtr og somma parzal d dc par approssma la somma dlla sr pr ccsso 78

81 SUCCESSIONI E SERIE TESTI S dspogao ord crsct d to l sgut succsso: log Dat l succsso a ( log ) b 8 a a) s calcol l ; b b) s dca gustcado la rsposta s a è astotca a b S calcol la somma dlla sr: S calcol la somma dlla sr: ( ) S dtrm l carattr dlla sr: d caso d covrgza s calcol la somma Sao: a) s calcolo s s ; d a s a b) s dtrm l carattr dlla sr a 7 Cosdrata la sr: a) s calcol l ; b) s stablsca l carattr dlla sr gustcado la rsposta 79

82 8 S stud l carattr dlla sr: 9 S stablsca l carattr dlla sr: log S dtrm l carattr dlla sr: Assgata la sr: ( ) R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la sr è covrgt; b) pr valor ral trovat rlatv alla covrgza s scrva la somma ) Assgata la sr gomtrca: [ log ( ) ] R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la sr covrg; b) s dtrm l carattr dlla sr pr Assgata la sr: ( log ) R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la sr covrg; b) s dtrm l carattr dlla sr pr ; c) pr s calcol la somma ( log ) S cosdr la sr: 8 sa s la succsso dll su somm parzal; a) pr α s calcolo s d s ; α ( α > )

83 b) s dtrm l carattr dlla sr al varar dl paramtro ral α > S dtrm l carattr dlla sr: α α R al varar dl paramtro ral α Assgata la sr: ( ) R a) s dtrmo valor dl paramtro ral pr qual è soddsatta la codzo cssara d covrgza; b) pr s stablsca l carattr dlla sr 7 S stud l carattr dlla sr: ( ) α α R al varar dl paramtro ral α 8 Assgata la sr: ( a) a R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral a la sr covrg; b) s calcol pr qual valor dl paramtro ral a la somma dlla sr è 9 Assgata la succsso: S log a ( ) a) s calcol al varar dl paramtro ral l a ; b) s dtrm l carattr dlla sr a al varar dl paramtro ral Assgata la succsso: a R 8

84 a) s calcol l t dlla succsso al varar dl paramtro ral ; b) s stud l carattr dlla sr a pr pr Assgata la succsso: a R a) s dtrm l carattr d a al varar dl paramtro ral ; b) s stud l carattr dlla sr a al varar dl paramtro ral Assgat l succsso: a b a a a) s dtrm l carattr dlla sr a ; b) s calcol l t d b ; c) s dtrm l carattr dlla sr b com t dlla succsso dll somm parzal S dtrm l valor dll sprsso: ( ) S dtrm gustcado la rsposta l carattr dll sgut sr: a) ( ) ( ) ; b) ; c) log ( q ) ( q > ) 8

85 SOLUZIONI Gl t ord crsct soo: log I partcolar è to d ord ror a ( log ) prché: ( > ) ( ) a a) ; b 8 8 a b) a o è astotca a b prchè ; s ossrva ch a b b S tratta d ua sr gomtrca d rago q / qud covrgt: ( ) a La sr assgata è ua sr gomtrca d rago q / qud la sua somma è: 9 S / somma: a) s : è ua sr gomtrca d rago q qud è covrgt d ha pr s a a b) la sr è a trm postv; a ; S / 7 ; s s a sr data ha lo stsso carattr dlla sr armoca gralzzata ; prtato pr l crtro dl coroto astotco la qud è covrgt 8

86 7 a a) a ; b) la sr è a trm postv qud è rgolar; è dvrgt pr l crtro dl coroto astotco: att ha lo stsso carattr dlla sr / 8 a la sr data è a trm postv qud è rgolar; pr l crtro dl coroto astotco ha lo stsso carattr dlla sr 9 S tratta d ua sr a trm postv: qud è dvrgt log la sr data pr l crtro dl coroto astotco ha lo stsso carattr dlla sr gomtrca d rago q / qud è covrgt a la sr data è a trm postv qud rgolar; pr l crtro dl coroto astotco ha lo stsso carattr dlla sr gomtrca d rago q > qud è dvrgt ( ) ( ) a) è ua sr gomtrca d rago q ( ); ssa covrg s solo s: < < < < < ; b) : < < s ha: S ( ) 8

87 [ log ( ) ] R a) la sr è gomtrca d rago q log ( ) ; ssa covrg s solo s: > > log( ) > log( ) < > ( ) > / log < < < prtato valor d pr qual la sr è covrgt soo: < < ; b) pr s ott log ( ) log 9 > qud la sr è dvrgt ( log ) è ua sr gomtrca d rago q log a) La sr è covrgt s solo s: log > log < < log < < < log log < > > b) pr la bas dlla sr è: log prtato è rrgolar; c) la sr gomtrca dvta ( ) ( ) :att prm cto trm s ldoo a du a du rma solo l' ultmo ; α a) pr α : a s ; a a ; s s a α α b) ( α > ) α la sr data è a trm postv qud rgolar; pr l crtro dl coroto astotco ha lo stsso carattr d ; prtato: α la sr è covrgt pr α > coè pr < α < ; la sr è dvrgt pr α 8

88 a pr α > α : ; sα < : a s α ; la sr è dvrgtprchè o soddsa la codzocssara d covrgza; : prα > : a s α la sr dvrg s α > la sr covrg α α / a) La codzo cssara d covrgza pr ua sr a è ch a a ( ) pr > > b) la sr è a trm postv qud è rgolar; s la sr a ha lo stsso carattr d tal sr è ua sr armoca gralzzata co α 7 prtato covrgt 7 La sr è a trm postv qud rgolar; α ( ) α α / s α > coè α > la sr data covrg; s α la sr data dvrg ( a) a 8 S tratta d ua sr gomtrca l cu trm gral è : a a a) la sr è covrgt s solo s: < < < a < < a < ; b) S a (valor accttabl) a a ; 7 : / a 9 S a log a) pr : a ; pr > : b) la sr a s > : a a ; è a trm postv qud è rgolar; pr a o è tsma qud a è dvrgt; pr > la sr è covrgt prché ha lo stsso carattr dlla sr 8

89 a a) s : l umratorè to d ord roral domator a ; s < : a ; s > : a ; b) la sr a è a trm postv qud è rgolar; pr : a prtato la sr dvrg a poché o è soddsatta la codzo cssara d covrgza; pr : a pr l crtro dl coroto astotco la sr è covrgt a) La succsso è covrgt pr partcolar: s coè allora a è costat a ; s > coè < allora a ; s < coè > b) la sr è a trm postv qud rgolar; a allora a ; s > coè < la sr è covrgt s coè la sr è dvrgt a a) a è ua sr armoca gralzzata dvrgt; / b) b : b ; c) s b b b L b s la sr b è covrgt s ha : b L 87

90 ( ) ( ) a) o soddsa b) modul ( ) ( ) ( ) log ( q ) ( ) co α > c) la codzo cssara pr la covrgza prtato la sr dvrg a qud la sr ( q > ) col crtro dl rapporto s ha la sr è a trm d sgo altrato la sr covrg assolutamt pochè la sr d la sr è a trm postv l trm gral a ( ) la sr è a trm postv log( ) ( q ) ( q ) log covrg ach smplcmt; log ( q ) pr q > covrg pr < q < dvrg pr q dvrg ssdo covrg ssdo ua sr armoca gralzzata a < pr q > qud la sr : q log ( q ) ; log qud 88

91 DEFINIZIONE SUCCESSIONALE DI LIMITE Sa I ( a b) c I ( a b) ( ) sa ua uzo d varablraldta I salvo al pù l puto c S dc ch l t d () pr ch td a c dalla dstra è l ( to o to) s scrv: c ( ) l ( oppur ( ) l pr c ) s pr qualuqu succsso { } d put dl domo d () covrgt a c maggor d c la succsso dll mmag { ( )} td a l 89

92 CASI DI NON ESISTENZA DEL LIMITE s o sst S cosdro l du succsso: pr s o sst N s prché o soddsa la dzo succssoal d t ( ) s s ( ) ( ) s s ( ) s qud l s o sst S cosdro l du succsso: pr ( ) s s ( ) ( ) s s( ) s( ) qud l N ( ) s s s o sst prché o soddsa la dzo succssoal d t 9

93 Torma LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA S è cotua g è cotua ( ) allora la uzo composta [ ( ) ] g è cotua Esmp : log ( cos ) ; log cos log ; ; ; 8 8 LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA (cambo d varabl l calcolo dl t) [ g( ) ]? All tro dl t s può cambar varabl podo: t g ( ) g ( ) t pr g ( * t R ) ( ) S può ucar l sgut torma: s: ) o g è dta u toro d ( salvo al pù stsso) ) pr g ( ) t allora: g t [ ( )] ( ) t t 9

94 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI COMPOSTE ( FORME SIMBOLICHE ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) l l ( ) l ( ) l( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

95 LIMITI NOTEVOLI Pr s ta cos s ta cos Pr ± Pr ( ) s s ( ) ( ) ta ( ) ( ) cos ( ) ( ) s ta cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l α oltr: l ( α > ) α oltr : ( α > ) 9

96 ± Da tal t s dducoo altr otvol : ) ± l ) ( ) ) l ( ) ( ) l ) ( ) ± ( ) ( ) ) ( ) ± ( ) l ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) l ( ( ) ) ( ) l ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

97 FORME DI INDECISIONE ESPONENZIALE L orm d dcso spozal provgoo dal calcolo d t dll uzo dl tpo: ( ) g( ) soo l sgut: Gralmt s trasorma la uzo: lla orma spozal: ( ) g( ) g ( ) log ( ) l dcso così appar all spot sotto orma d prodotto: Esmp: :è la orma d dcso log log :è la orma d dcso log log ( ) :è la orma d dcso l t è ( s rcoosc l t otvol ) Ossrvazo: o è ua orma d dcso att log 9

98 ASINTOTO OBLIQUO m q P Q ( ) ( ) [ m q] PQ ( ) P Q m q 9

99 Assgata ua uzo dta u trvallo (a ) s vrch ch: ( ) Può accadr ch ua stuazo com qusta ssta ua rtta d quazo: ( ) m q m tal ch: (*) [ ( ) ( m q) ] La (*) sgca ch: la dstaza dl graco d dalla rtta td a zro pr Dzo S s vrca ch: s dc ch la rtta d quazo [ ( ) ( m q) ] m q è astoto oblquo pr la (pr ) CONDIZIONI PER L ESISTENZA DELL ASINTOTO OBLIQUO Il vrcars ch: [ ( ) ( m q) ] è quvalt alla coppa d codzo: ) ( ) m ( m ) ) [ ( ) m] q Ossrvazo: ) m è la pdza t dl graco d ; ) q è l ordata all org dll astoto ; ) codzo cssara prché ua uzo ammtta astoto oblquo è ch pr sa u to dl ord 97

100 DEFINIZIONE DI: MASSIMO (MINIMO) E PUNTO DI MASSIMO (MINIMO) Sa : D R R M M è massmo d D è puto d massmo s: ( ) ( ) D ; m è mmo d D è puto d mmo s: ( ) m ( ) D DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO Sa : ( a b) R c ( a b) c s dc ch la uzo è cotua c s ( ) ( ) ( ) c c ossa pr c l t sstro d è ugual al t dstro d tal t uguagla l valor dlla c TEOREMA DI WEIERSTRASS S è cotua su [ b] Esstoo qud [ a b] du put tal ch: M m a a allora ha massmo mmo assolut [ b] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] b a TEOREMA DEGLI ZERI Sa: ) cotua [ a b] ) ( a) ( b) < Allora sst c ( a b) tal ch ( c) S ossrva ch lo zro è uco qualora è ach strttamt mootoa DEFINIZIONE DI DERIVATA E CALCOLO DELLE DERIVATE CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI CRITICI O SINGOLARI Puto agoloso Puto a tagt vrtcal Cuspd DEFINIZIONE DI PUNTO DI MASSIMO (MINIMO) LOCALE Sa : D R R D S dc ch è u puto d massmo local s sst u toro U ( ) ( r r) tal ch pr og d tal toro dl domo d s ha: ( ) ( ) S dc ch è u puto d mmo local s sst u toro U ( ) ( r r) tal ch pr og d tal toro dl domo d s ha: ( ) ( ) 98

101 TEOREMA DI FERMAT Sa dta u trvallo [a b] S ha u massmo o u mmo local u puto (a b) dov è drvabl allora: '( ) qud è u puto stazoaro TEOREMA DI LAGRANGE Sa [ a b] R : co: ) cotua [ a b] ) drvabl ( b) ( ) ( ) ( b) ( a) c a b : ' c a allora b a TEST DI MONOTONIA Sa : a b R drvabl Allora crsct ( ) ( a b): d crsct '( ) '( ) TEST DI CONVESSITA Sa du volt drvabl u trvallo (ab) S avrà: a) b) '' '' ( a b) covssa ( a b) ( a b) cocava ( a b) DEFINIZIONE DI PUNTO DI FLESSO : a b R a b Sa ( ) ( ) ( ) ( ) è puto d lsso pr la uzo è cotua ammtt rtta tagt ( ) sst u toro dstro (sstro) d s: cu è covssa u toro sstro (dstro) d cu è cocava Ossrvazo: ) la rtta tagt u puto d lsso attravrsa l graco dlla uzo; ) u puto d lsso s la uzo è drvabl du volt s ha ''( ) 99

102 CONDIZIONE SUFFICIENTE DI DERIVABILITA Sa ( ) pr pr > S po allora la sgut domada: è drvabl R? Scuramt la uzo è cotua drvabl pr og qud s può calcolar '( ) : pr < '( ) pr > Pr vrcar la drvabltà dlla s utlzza l sgut procdmto: s vrca s è cotua S o è cotua allora o è v drvabl; s è cotua s calcolao sgut t: '( ) '( ) s t sstoo t s dmostra ch: '( ) ' () '( ) ' () la la u zo rsulta allora drvabl s () ' () ' Rprddo l smpo zal s ha: ( ) ( ) prtato è cotua pr < '( ) pr > '( qud ) '( ) ' () ' () '() Ossrvazo: - s uo od tramb t soo t la uzo o è drvabl ma è ota la pdza ch s dsc ta ; - s almo uo d du t o sst o s può dr ulla crca la drvabltà dlla uzo

103 TEST DELLA DERIVATA SECONDA Sa dta (ab) drvabl du volt S abba oltr '( ) qud è u puto stazoaro pr Torma Codzo suct aché sa d strmo local pr è ch sa: ' I partcolar: s '' '( ) ( ) > allora è u puto d mmo local ( ) < allora è u puto d massmo local s '' Ossrvazo: s ''( ) o s può dr ulla sulla atura dl puto Esmpo: assgata ( ) atura s vrch ch è u puto stazoaro s dvdu la ( ) D ( ) '( ) ( '( ) '' '' ( ) ( ) ( ) ( ) < è puto d massmolocal )

104 GRAFICO DELLA FUNZIONE DERIVATA PRIMA S dtrma l domo dlla uzo drvata prma s studao t agl strm dl domo Pr dsgar l graco dlla uzo drvata prma oltr s t coto ch: - dov è crsct ' è postva; - dov è dcrsct ' è gatva; - dov ammtt u puto stazoaro ' è ulla; - dov è covssa ' è crsct; - dov è cocava ' è dcrsct; - pr uzo drvabl o al scodo ord u puto d lsso dlla rsulta ssr u puto stazoaro pr la ' Assgata la uzo: ESERCIZI SULLE FUNZIONI TESTI ( ) s cos a) s vrch ch l puto è u puto stazoaro pr la uzo ; b) s dtrm utlzzado l tst dlla drvata scoda la atura dl puto stazoaro Assgata la uzo: a ( ) cos a R a) s dtrm l paramtro ral a sapdo ch è u puto stazoaro; b) s dtrm utlzzado l tst dlla drvata scoda la atura dl puto stazoaro Assgata la uzo: ( ) a) s vrch ch la uzo soddsa l pots dl torma dgl zr ll trvallo [ ] b) s dtrm s la uzo è drvabl l puto ;

105 Assgata la uzo: ( ) log( ) a) s dtrm l domo dlla uzo; b) s dtrm utlzzado l tst d mootoa l pù ampo trvallo cott cu la uzo è vrtbl; c) s scrva l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto Assgata la uzo: ( ) R < a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la uzo è cotua succssvamt s vrch s la stssa è ach drvabl ; b) pr l valor dl paramtro ral dtrmato al puto a) s rsolva l quazo: ( ) ll trvallo [ ] Assgata la uzo: ( ) cos < > a) s tracc l graco; b) s stablsca dov la uzo o è cotua o o drvabl; c) s dtrmo gl vtual put d massmo mmo local

106 7 Assgata la uzo: ( ) a) s dtrmo: l domo t agl strm dl domo d vtual astot; b) s gustch l armazo: la uzo ammtt massmo mmo ll trvallo ; c) s dtrmo l massmo d l mmo d vtual put d massmo mmo local dlla uzo ll trvallo 8 Assgata la uzo: ( ) a) s dtrmo: l domo t agl strm dl domo d vtual astot; b) s scrva l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto 9 Assgata la uzo: a b < s cos ( ) a b R a) s dtrm pr qual valor d paramtr ral a b la uzo è cotua drvabl ; b) s dca gustcado la rsposta s pr a b la uzo soddsa l pots dl torma d Lagrag ll trvallo [ ] Assgata la uzo: log < ( ) R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la uzo è cotua s vrch s pr tal valor d la stssa è ach drvabl ; b) s scrva l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto

107 Assgata la uzo: a b < ( ) a b R a) s dtrm pr qual valor d paramtr ral a b la uzo è cotua drvabl ; b) pr valor d paramtr dtrmat al puto a) s vrch s la uzo ammtt drvata scoda s l puto è u puto d lsso Assgata la uzo: dta ll trvallo ( ) log ( s ) a) s vrch gracamt ch: s > ; b) s utlzz l tst d mootoa pr gustcar l vrtbltà dlla uzo ll trvallo ; l ( Al valor dll ordata log corrspod l' ascssa ) SOLUZIONI c) s dtrm la drvata dlla uzo vrsa ( ) puto log ( ) s cos a) b) '' '( ) s cos s '( ) è u puto stazoaro pr la uzo ; ''( ) cos s cos ( ) > prtato è u puto d mmo rlatvo pr la uzo

108 a ( ) cos a R a a) '( ) cos s '( ) a a ; ( ) b) pr a '( ) cos s ''( ) cos s cos ( ) ( ) utlzzado l tst dlla drvata scoda s ha ''( ) > qud è u puto d mmo local ( ) a) ( ) la uzo è cotua ll'trvallo [ ] pr pr < att è cotua gl trvall [ ) ( ] ( ) ( ) oltr ( ) < ( ) 8 > m pots dl torma dgl zr ll trvallo [ ] b) ' ( ) ' prché uzo lmtar; s ha : ; prtato la uzo soddsa l pr < pr < ; ' ' ( ) ( ) '( ) ( ) allora s può armar ch l puto ( ) log( ) è u puto agoloso a) D ( ) ssdo > R < ; b) pr utlzzar l tst d mootoa s studa l sgo dlla drvata prma dlla uzo '( ) '( ) < pr < '( ) > pr > ; è strttamt dcrsct ll trvallo ( ) d v vrtbl è strttamt crsct ll trvallo ( ) d v vrtbl prtato l pù ampo trvallo cott cu la uzo è vrtbl è l trvallo [ ); c) ( ) log '( ) l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto è: log log :

109 7 ( ) R < a) ( ) ( ) ( ) ( ) ; pr è cotua uz la ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ch rsulta ssr u puto agoloso pr la uzo; la uzo o è drvabl ' ' ' < < < b) ( ) [ ] ( ] [ ] ( ] quato o accttabl soo soluzo soluzo accttabl quato 9 8 ± ( ) > < cos a)

110 b) ( ) ( ) ( ) o drvabl ; ' ( ) s ' ( ) ( ) < < > cos la uzo o è cotua qud ' ( ) s '( ) la uzo è cotua prtato la uzo o è drvabl così è u puto agoloso c) dal graco s dduc ch: è u puto d massmo local è u puto d mmo local pr < 7 a) ( ) ( ) D ( ) ( ) pr > la rtta è astoto oblquo pr att ( ) ( m q) la rtta è astoto oblquo pr att ( ) ( m q) ( ) m la rtta è astoto vrtcal pr ; m m b) la uzo ammtt massmo mmo ll trvallo pr l torma d Wrstrass: att la ( ) è cotua ll trvallo chuso tato ; ' 8

111 c) ' ' ( ) '( ) ( ) > pr < < '( ) < pr < < è puto d massmo local global ( ) ( ) qud M m ll'trvallo 8 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) è l' astoto oblquo pr D codzo cssara pr l' sstza dll'astoto oblquo m m ; m è astoto vrtcal; ( ) l' astoto oblquo; m b) '( ) ( ) '( ) è u to dl prmo ord d è qud soddsatta ( m ) q l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto è: a b s cos < 9 a) ( ) a b R ( ) ( ) ( ) a b b ( ) la uzo è cotua a R a < '( ) cos s cos > ' pr b b ' ' ' ' ' ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b ; prtato la uzo è drvabl pr a / b b) pr a b [ ] la uzo o soddsa l pots dl torma d Lagrag è cotua qud o drvabl puto tro all trvallo la poché o 9

112 a) ( ) R < log ( ) ( ) ( ) ( ) pr è cotua la uzo ( ) log < ( ) log ' > < ( ) ( ) ( ) ( ) agoloso; u puto è così ch uzo o è drvabl la qud log ' ' ' ' b) ( ) ( ) ' prtato l quazo dlla rtta tagt al graco dlla uzo l puto d ( ) è : ascssa a) ( ) R < b a b a ( ) ( ) ( ) ( ) ; pr è cotua uzo allora la pr b a b b b a R ( ) < a ( ) ' > < a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; tagt ammtt la rtta qud pr prtato la uzo ammtt drvata prma pr ' ' ' ' ' ' b a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ' ' ' ' ' ' '' '' > < b) ( ) ( ) lsso pr la uzo è puto d allora è covssa pr ' ' pr è cocava pr ' ' pr oltr: ; prtatola uzo o ammttdrvata scoda > > > < < <

113 ( ) ( ) s log è dta ll trvallo a) s s > > s b) ( ) > è strttamt crsct s cos ' ; qud la uzo è vrtbl ; c) ( ) [ ] ( ) [ ] s cos log D D

114 STUDIO DI FUNZIONE TESTI Assgata la uzo: ( ) ( ) s dtrmo: l domo d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) log s dtrmo: l domo d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual ' ' ; s tracc astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local ( ) ( ) u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) log( ) s dtrmo: l domo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) ( ) a) s dtrmo: l domo gl zr d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo crscr dcrscr d vtual put d strmo local ; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo; b) al varar dl paramtro α R s dtrm l umro dll soluzo ral dstt dll quazo ( ) α Assgata la uzo: ( ) s dtrmo: l domo d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local cocavtà covsstà; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) log( )

115 s dtrmo: l domo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local cocavtà covsstà; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo 7 Assgata la uzo: < ( ) R a) s dtrm pr qual valor dl paramtro ral la uzo è cotua ; b) s vrch l vtual drvabltà dlla uzo ; c) pr l valor dl paramtro dtrmato al puto a) s stud la uzo S dtrmo: l domo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local cocavtà covsstà d vtual put d lsso; s tracc po u graco qualtatvo dlla uzo 8 Assgata la uzo: ( ) ( ) ( ) s dtrmo: l domo l trszo co gl ass d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local vtual put d lsso; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo 9 Assgata la uzo: ( ) log( ) s dtrmo: l domo l trszo co l ass dll ordat t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local cocavtà covsstà d vtual put d lsso; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) a) s dtrmo: l domo l trszo co l ass dll ordat t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr vtual put agolos d vtual put d strmo local cocavtà covsstà; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo; b) s dca gustcado la rsposta s la uzo vrca l pots dl torma dl valor mdo (d Lagrag) ll trvallo [ ] Assgata la uzo: ( ) s dtrmo: l domo d l sgo dlla uzo t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr d vtual put d strmo local covsstà cocavtà; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) log( )

116 s dtrmo: l domo l trszo co l ass dll ordat t agl strm dl domo d vtual astot crscr dcrscr vtual put agolos d vtual put d strmo local cocavtà covsstà; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) s dtrmo: l domo l trszo co l ass dll ordat t alla rotra dl domo d vtual astot crscr dcrscr vtual mm massm local cocavtà covsstà vtual put d lsso; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) a) s dtrmo: l domo l sgo l trszo co gl ass t agl strm dl domo d vtual astot vtual put agolos vtual put d strmo local cocavtà covsstà d vtual put d lsso; s tracc u graco qualtatvo dlla uzo; b) s dtrm l domo dlla uzo drvata ' s tracc u graco probabl utlzzado ach qullo dlla uzo Assgata la uzo: ( ) a) s dtrmo: l domo d l sgo t agl strm dl domo d vtual astot ' ' ; s tracc u crscr dcrscr d vtual put d strmo local ( ) ( ) graco qualtatvo dlla uzo; b) s dtrm l domo dlla uzo drvata ' s tracc u graco probabl utlzzado ach qullo dlla uzo SOLUZIONI ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ± ) ( ) > ( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) è astoto orzzotal ( o sst l' astoto oblquo );

117 ' ' ( ) ( ) '( ) ( ) > ( ) '( ) < ( ) ( ) qud s può cocludr ch è puto d mmo local mtr pr è puto d massmo local d assoluto ( ) ( ) log ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) < ( ) ; D ( ) ± è astoto vrtcal log m ± ( ) la uzo o ammttastoto oblquo pr ; log ( ) ( log ) ' '( ) log '( ) < ( ) log ( ) ( ) '( ) > ( ) d ( ) è puto d massmo local; ( ) ' ' ( ) ( ) ( log ) ( log ) ( ) ( log ) log ( log ) ( log ) ; log log log log