03 FUNZIONI ELEMENTARI

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1 03 FUNZIONI ELEMENTARI I qusto paragrafo dfiiamo l più usuali fuzioi di ua variabil, a partir dall quali, co l oprazioi algbrich la composizio di fuzioi, si ottrrao la maggior part dgli smpi ch icotrrmo. L fuzioi ch adiamo a cosidrar sarao dfiit attravrso sprssioi aalitich, cioè algoritmi di calcolo ch comprdoo oprazioi algbrich. Tali algoritmi cosistoo i ua procdura ch, dato il umro ral i u opportuo isim, prscriv com si dbba calcolar il umro f(), cioè il valor cha la fuzio f assum i corrispodza dl valor assgato alla variabil idipdt. No bisoga cofodr la fuzio f co la procdura pr il calcolo di f(), ch chiamiamo sprssio aalitica. Ifatti, pr dar la fuzio f, pur dado pr scotato ch il suo codomiio sia R, bisoga dichiarar qual sia il domiio sclto, oltr ad assgar l sprssio aalitica ch coti la lgg di corrispodza richista pr compltar la dfiizio. Talvolta il domiio corrispodt ad ua crta sprssio aalitica o è sprssamt idicato: i tal caso, si assum com domiio il cosiddtto domiio atural dll sprssio aalitica, cioè il più grad sottoisim di R i cui tutt l oprazioi richist pr il calcolo di f() si possoo sguir. Fuzioi razioali L fuzioi dfiit da sprssioi aalitich ch cotgoo solo oprazioi algbrich (addizioi, moltiplicazioi, sottrazioi divisioi) soo i poliomi l fuzioi razioali. Chiamrmo poliomio di grado lla variabil l sprssio P( ) a a... a a a dfiita pr ogi ral, dov gli a 0, a 1,..., a2, a1, a0 soo umri rali dati, dtti cofficiti dl poliomio d itro atural maggior o ugual ad 1. Il grado dl poliomio è il massimo spot dlla potza di co cofficit o ullo. S a 1 a2 a si hao fuzioi dl tipo dtt fuzioi moomi. S a 1, si otti la fuzio potza itra a,. Pr 1 a0 0, posto a 1 a 0, si otti la fuzio liar L fuzioi a. a b,

2 Robrto Mai co a o ullo, si dicoo fuzioi affii. L fuzioi liari soo particolari fuzioi affii. L fuzioi affii liari soo strttamt mooto, quidi ivrtibili (crscti pr a 0 dcrscti pr a 0 ). Pr quato riguarda l fuzioi potza, pr dispari ss soo strttamt crscti su R ( quidi ivrtibili), mtr pr pari soo strttamt crscti l loro rstrizioi all isim 0,. L altr fuzioi razioali soo qull sprss com rapporto di poliomi, dtt ach fuzioi razioali fratt. Ua fuzio razioal fratta è dl tipo co P( ) ( ) P( ) Q( ) Q poliomi di grado qualsiasi, dfiita i D R : Q( ) 0 poiché l uica oprazio co cui si può trar i cotrasto è la divisio co divisor il poliomio Q( ). S Q( ) P( ) 1 si ha N, 1 1 o ach dfiita i R 0 ch forisc l potz ad spot gativo. Fuzio radic aritmtica fuzio potza razioal Pr ogi N, 2 pr ogi 0, si po y : y. La fuzio così dfiita è dtta fuzio radic aritmtica -sima. Dalla dfiizio si dduc ch, cioè ch la fuzio radic aritmtica -sima è l ivrsa dlla rstrizio dlla fuzio potza - sima all isim 0,. Ricordado ch l fuzioi potza è strttamt crsct i 0,, sia pr dispari ch pr pari, tal sarà ach la sua ivrsa, cioè la fuzio radic aritmtica - sima. Fuzioi lmtari 13

3 Robrto Mai È util ossrvar ch l fuzioi potza -sima pr dispari soo strttamt crscti su tutto R o solo i 0,. Pr qusto motivo si può stdr la fuzio di radic -sima l caso di dispari a tutto R, podo: l caso i cui 0. I modo dl tutto aalogo è possibil dfiir la fuzio potza razioal. I simboli, s r Q, p r co p Z q N 0, poiamo: q p r q q p pr ogi 0 0 s p 0. Fuzioi lmtari 14

4 Robrto Mai Fuzioi spozial, logaritmo potza co spot ral Siao a d du umri rali. Voldo dar sigificato alla scrittura a al variar di i R, è cssario supporr a 0. Ossrvato ioltr ch 1 1 pr ogi valor di, supporrmo ach a 1. La fuzio a ch i qusto modo rsta idividuata si chiama fuzio spozial. La fuzio spozial god dll sguti proprità: 1. a 0, pr ogi a 0, R a è strttamt dcrsct s 0 a 1 a è strttamt crsct s a 1 a a a pr ogi 1, 2 R Dall sam di grafici si dduc ch i ogi caso la fuzio spozial è biittiva su 0, quidi ivrtibil. La fuzio ivrsa dll spozial è dtta fuzio logaritmo: log : 0, R, co a 0, a 1. a I bas a quato dtto, si ha: y log y a a, pr ogi 0, y R. Ricordato ch l ivrsa di ua fuzio crsct è crsct, l ivrsa di ua fuzio dcrsct è dcrsct, si ha Fuzioi lmtari 15

5 Robrto Mai 1. log a è strttamt dcrsct s 0 a 1 2. log a è strttamt crsct s a 1 Tra l fuzioi spoziali i logaritmi rivst u ruolo importat qulla la cui bas è il umro 1 sup1 N dtto umro di Npro. Si tratta di u umro irrazioal il cui valor approssimato è 2, È possibil, ora, cosidrar l fuzioi spozial atural, dotato co il simbolo log o l. Siccom risulta 1, tramb l fuzioi logaritmo i bas, dtto logaritmo log soo strttamt crscti. Dfiiamo, ifi, la fuzio potza co spot ral fissado R 0 la fuzio. Sfruttado l proprità di logaritmi, si prova ch cosidrado pr ogi log. Fuzioi lmtari 16

6 Robrto Mai Fuzioi priodich Sia f : X R f priodica : T R ' f T X Suppoiamo ch T sia u priodo pr f. Risulta: f 2 T f T T f T quidi 2T è u priodo. Gralizzado si può dimostrar ch ach T è u priodo pr ogi i N. Ioltr: f T T f T T f T quidi T è u priodo, così com lo è T pr ogi i N. Ifi s T T ' T T ' T T ' soo u priodi. Ifatti: soo priodi, ach f T f T T ' f T T '. Prova ch f T T '. Si dduc ch l isim di priodi di ua fuzio strutturato co l usual oprazio di addizio è u sottogruppo di R. L fuzioi trigoomtrich so, coso, tagt qull da ss dducibili soo smpi di fuzioi priodich. Fuzioi lmtari 17

7 Robrto Mai OSSERVAZIONE La rstrizio dlla fuzio so all itrvallo, 2 2 è strttamt crsct, la rstrizio dlla fuzio coso all itrvallo 0, è strttamt dcrsct, la rstrizio dlla fuzio tagt all itrvallo, 2 2 è strttamt crsct. Sgu ch di qust fuzioi è possibil cosidrar l ivrs di sguito dfiit: arcsi : 1,1, 2 2 arcta : R, 2 2 arccos : 1,1 0, Ossrviamo, ioltr, ch l fuzioi arcoso d arcotagt soo strttamt crscti, mtr la fuzio arcocoso è strttamt dcrsct. Fuzioi lmtari 18