ESAME DI STATO 2009 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI)

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1 4 9 Archimd ESAME DI STATO 9 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI) ARTICOLO Il cadidato risolva uo di du problmi rispoda a 5 di qusiti dl qustioario. Sia f la fuzio dfiita da PROBLEMA dov è u umro positivo.si vrifichi ch la drivata di f () è:.si dica s la fuzio f ammtt massimi miimi (assoluti rlativi) si provi ch, quado è dispari, f () pr ogi ral..si studi la fuzio g ottuta da f quado = s disgi il grafico. 4.Si calcoli gd ( ) f( ) = ,!! R. f'( ) =! s dia l itrprtazio gomtrica.. PROBLEMA I u sistma di rifrimto cartsiao ortogoal Oy, si cosidri la fuzio f : R R dfiita da f () = + k, co k paramtro ral..si dica com varia il grafico di f al variar di k (k positivo, gativo o ullo)..sia g() = γ il suo grafico. Si dimostri ch γ la rtta d quazio y = hao u solo puto P i comu. Si dtrmii l ascissa di P approssimadola a mo di, co u mtodo itrativo di calcolo..sia D la rgio fiita di piao dlimitata da γ dal grafico dlla fuzio ivrsa di g. Si calcoli l ara di D. 4.La rgio D è la bas di u solido W l cui szioi co piai prpdicolari alla bisttric dl primo quadrat soo tutt rttagoli di altzza. Si dtrmii la szio di ara massima. Si calcoli il volum di W. 95

2 ARTICOLO Archimd 4 9 QUESTIONARIO. Siao: < a < b [ b, b]. Si provi ch: a d= a + b.soo dati gli isimi A = {,,, 4} B ={a, b, c}. Tra l possibili fuzioi (o applicazioi) di A i B, c soo di surittiv? Di iittiv? Di biittiv?. Ua mota da uro (il suo diamtro è 5,75 mm) vi laciata su u pavimto ricoprto co mattoll quadrat di lato cm. Qual è la probabilità ch la mota vada a fiir itramt ad ua mattolla? (cioè o tagli i lati di quadrati). 4.«Esist solo u polidro rgolar l cui facc soo sagoi». Si dica s qusta affrmazio è vra o falsa si forisca ua saurit spigazio dlla risposta. 5.Si cosidrio l sguti sprssioi: ; ; ;. A quali di ss è possibil attribuir u valor umrico? Si motivi la risposta. 6.Co l aiuto di ua calcolatric, si applichi il procdimto itrativo di Nwto all quazio si =, co puto iizial =. Cosa si otti dopo du itrazioi? k 7.Si dimostri l idtità co k aturali > k. k + = k k + 8.Alla fsta di complao di Aa l tà mdia di partcipati è di ai. S l tà mdia dgli uomii è 6 ai qulla dlla do è 9, qual è il rapporto tra il umro dgli uomii qullo dll do? 9. Ni «Discorsi dimostrazioi matmatich itoro a du uov sciz», Galilo Galili dscriv la costruzio di u solido ch chiama scodlla cosidrado ua smisfra di raggio r il cilidro ad ssa circoscritto. La scodlla si otti toglido la smisfra dal cilidro. Si dimostri, utilizzado il pricipio di D A V C B Cavaliri, ch la scodlla ha volum pari al coo di vrtic V i figura.. «S du puti P Q dl piao giaccioo dalla stssa part risptto ad ua rtta AB gli agoli PAB QBA hao A somma mior di 8, allora l smirtt P AP BQ, prolugat adguata- mt al di là di puti P Q, si dvoo itrscar». Qusta proposizio è stata pr scoli oggtto di studio da part di schir di matmatici. Si dica B Q prché co quali risultati. b b. Durata massima dlla prova: 6 or. 96

3 4 9 Archimd È costito l uso dlla calcolatric o programmabil. No è costito lasciar l Istituto prima ch siao trascors or dalla dttatura dl tma. ARTICOLO RISOLUZIONE DEL PROBLEMA.La fuzio f, ssdo il prodotto tra u poliomio u spozial, è ovuqu drivabil. Applicado la rgola dlla drivata di u prodotto abbiamo ch: f'( ) = ! ( )! !! =!..Distiguiamo i casi pari dispari: a) s è pari, è positivo quidi f pr ogi ral (d f'() = '( ) =! solo pr = ); la fuzio f è quidi dcrsct i R o ha massimi o miimi (ha u puto stazioario i =, ma è u flsso a tagt orizzotal); b) s è dispari, f'() < pr >, mtr f'() > pr < d f'() = s = ; prtato f ha u massimo assoluto i = o ammtt miimi. Siccom f () =, il puto di massimo assoluto è (, ): cocludiamo ch, l caso dispari, f() pr ogi ral. Ossrviamo ch il fatto ch pr dispari si abbia f( ) = ,!! quival a dir ch ; lla figura soo illustrati i casi!! = d =. y Figura 97

4 ARTICOLO Archimd 4 9 Acciamo a ua proprità più gral ch si otti co gli sviluppi di Mac Lauri, ach s l argomto sula dai programmi dl Lico scitifico PNI. Lo sviluppo di Mac Lauri dll spozial è: = + R k! k= k + dov, utilizzado il rsto di Lagrag, R + ξ = ( + )! +. S è dispari, + è pari quidi R + è positivo prché + : prtato pr ogi.!! S ivc è pari, il rsto è positivo pr positivo, mtr è gativo pr gativo, quidi: !! pr mtr pr.!!.la fuzio g ( )= + + ha domiio R d è ovuqu positiva. lim + + ; = lim + + lim + + = = + prché l ordi di ifiito dll spozial è suprior a qullo di u qualsiasi poliomio. Sappiamo già ch g è dcrsct, ch ha u flsso a tagt orizzotal i (, ) ch la drivata prima è g '( ) =. ( ) La drivata scoda è g''( ) = : prtato, g è covssa i (, ) i (, + ), è cocava i (, ); oltr al flsso già trovato, c è u altro l puto di coordiat (, 5 ). Il grafico è illustrato i figura. 98

5 y Archimd ARTICOLO Figura 4.L itgral gd ( ) è l ara dl trapzoid tra i du puti di flsso (figura ). Itgrado pr parti, si trova ch succssiva itgrazio pr parti si otti: + + d= d = ( + ) C, + C, da cui, co ua quidi = = d +..La fuzio f() = + k è dfiita i R; siccom f( ) = f(), la fuzio è dispari il suo grafico è simmtrico risptto all origi. Ioltr lim f( ) =± qualuqu sia k. f() = s ( + k) = ; quidi f ha i ogi caso uo zro i =, ch è triplo s k =, altrimti è smplic; la fuzio o ha ultriori zri s k, mtr s k < ha altri du zri smplici i La drivata è f'() = + k ch è smpr positiva s k >, mtr si aulla i k =± s k. =± k. RISOLUZIONE DEL PROBLEMA ± 99

6 ARTICOLO Archimd 4 9 Quidi: a) s k >, ach pr k =, la fuzio f è crsct i tutto R; b) s k <, allora f crsc gli itrvalli k k, + mtr, dcrsc i k k,. La drivata scoda è f''() = 6 : quidi, pr ogi k, la fuzio f è covssa pr positivo d è cocava pr gativo; i = c è u flsso, co tagt di quazio y = k prché f'() = k. I grafici i casi k =, k =, k = soo disgati ll figur, 4, 5. y y y Figura Figura 4 Figura 5.Pr mostrar ch = ha ua sola soluzio, possiamo studiar gli zri dlla fuzio h() = +. Siccom h è cotiua lim h ( ) =±, com cosguza dl torma dgli ± zri, ssa ha almo uo zro; ssdo h crsct (prché somma di fuzioi crscti) lo zro è uico. La tablla sgut riporta i calcoli ffttuati pr trovar u valor approssimato co il mtodo di biszio, a partir dai valori a = b =. a b h(a) h(b) a b c = + ε= h(c),5,5,75,5,75,75,5,7875,5,75,75,7875,65,5,86,65,75,86,7875,6875,65,45 Ottiamo u valor approssimato c =,6875 co u rror ε mior di,.

7 4 9 Archimd.La fuzio ivrsa di g è g ( ) = ; i du grafici si itrscao, oltr ch ll origi, i puti (, ) (, ). Siccom i grafici soo simmtrici risptto alla bisttric dl primo trzo quadrat (figura 6), possiamo calcolar l ara richista raddoppiado qulla comprsa tra γ la bisttric. Nl tsto o è dl tutto chiaro s ci si dbba limitar al primo quadrat ovvro s vada cosidrata ach la rgio comprsa l trzo quadrat. S ci limitiamo al primo quadrat l ara di D è ARTICOLO 4 ( ) d= 4 = =. 4 h f Figura 6 4.L szioi dl solido W hao tutt altzza, quidi l ara è massima s è massima la bas. Cosidriamo la mtà dlla bas, cioè la distaza tra u puto (a, a ) di γ la bisttric dl primo trzo quadrat, dtrmiiamo pr qual a [, ] ssa è massima. Essdo y = l quazio dlla bisttric, la distaza è da ( ) =. I miimi di d i [, ] soo d() = d() = ; il massi- a a mo sist pr il torma di Wirstrass lo si trova aullado la drivata prima a =. Tdo coto dll limitazioi, si otti a =. Coclud- do, la szio di ara massima è qulla passat pr il puto,. Altrativamt, possiamo dtrmiar qusto puto crcado l tagti al grafico di g() = paralll alla bisttric. Impodo g'() = risolvdo l quazio =, ottiamo il risultato appa trovato.

8 ARTICOLO Archimd 4 9 Il volum dl solido W si trova moltiplicado l ara di bas pr l altzza; l ara di bas trovata l puto prcdt è /, l altzza misura : quidi il volum richisto è 6 (ovvro s si cosidra lla bas ach il trzo quadrat). RISPOSTE AL QUESTIONARIO. Il grafico dlla fuzio y = a si otti traslado di a vrso dstra il grafico di y =. Pr calcolar l itgral richisto possiamo smplicmt trovar l ar di du triagoli colorati i figura 7. y b A A a b Figura 7 b ( b a)( b a) ( a+ b)( a+ b) b + a a d= A+ A= + = b = a + b.. Itdiamo ch A sia il domiio dlla fuzio, cioè l isim dgli lmti a ciascuo di quali si associa uo u solo lmto di B. Allora sistoo fuzioi surittiv da A i B, cioè fuzioi i cui l immagi è B: u smpio è la fuzio tal ch a, b, c, 4 a. Qusta fuzio o è prò iittiva prché sia ch 4 hao com immagi a. I gral, siccom A B soo du isimi fiiti la cardialità di A è maggior di qulla di B, o sistoo fuzioi iittiv da A i B, quidi mmo fuzioi biittiv.. Fissiamo l attzio sulla mattolla i cui cad il ctro dlla mota. La mota o taglia i lati di quadrati s il ctro dlla mota dista dal bordo dlla mattolla più dl raggio dlla mota, com l caso C dlla figura 8. Il quadrato più itro, i cui dvoo cadr i ctri dll mot, ha com lato la diffrza tra il lato dlla piastrlla il diamtro dlla mota. La pro-

9 4 9 Archimd babilità richista è il rapporto tra l ara dl quadrato itro l ara dlla piastrlla: ARTICOLO (, 575) p = =, 55 C C Figura 8 Figura 9 4. Pr costruir u polidro è cssario ch i ogi vrtic covrgao almo tr facc pr «chiudr» il polidro è cssario ch la somma dgli agoli itri di qust facc sia mior di 6 (altrimti il polidro risultrbb cocavo). L facc di u polidro rgolar soo poligoi rgolari. Siccom u sagoo rgolar ha gli agoli itri di, accostado tr i modo ch abbiao u vrtic i comu (figura 9), la somma di tr agoli co qusti vrtici è 6 ; si cra così ua tassllazio dl piao, ma o si otti u polidro. 5.Si rivia alla risoluzio dl qusito co lo stsso umro l tma di ordiamto. 6.L quazio dlla rtta tagt al grafico di si l puto Q (, si) è y = si + cos ( ); tal rtta itrsca l ass i P si,, cos ovvro, cosidrado otto cifr dcimali, P (,454654, ). Calcolado l quazio dlla rtta tagt al grafico di si l puto Q (,454654, si,454654) trovado l itrszio co l ass, abbiamo: P, si, , cos, , cioè P (,45965, ). Lo zro di si ch abbiamo così approssimato è ovviamt π, l cui prim otto cifr dcimali soo proprio qull trovat.

10 ARTICOLO Archimd Si rivia alla risoluzio dl qusito co lo stsso umro l tma di ordiamto. 8.Idichiamo co il umro dgli uomii co A la somma dll loro tà, idichiamo poi co m il umro dll do co B m la somma dll loro tà. Il qusito chid il rapporto /m. Riscriviamo i dati: A dal fatto ch l tà mdia dgli uomii è 6 sgu ch = 6; B dal fatto ch l tà mdia dll do è 9 sgu ch m = 9; m A + Bm dal fatto ch l tà mdia complssiva è sgu ch =. + m Ricaviamo A B m dall prim du uguagliaz; sostitudo lla trza, ottiamo: =. Moltiplicado ambo i mmbri pr + m, abbiamo 6+ 9m + m 4 = m quidi m = 4. 9.Si rivia alla risoluzio dl qusito co lo stsso umro l tma di ordiamto.. La proposizio è il quito postulato di Euclid, praticamt lla stssa forma i cui v sprsso dal matmatico grco l a.c. gli Elmti. Esistoo dci di form quivalti dl postulato, tra cui qulla più comu è «Dati ua rtta r u puto P, c è al più ua rtta passat pr P parallla a r». Qusto postulato diffrisc dai prcdti ch sprimoo proprità sostazialmt ovvi pr la ostra ituizio; ciò giustifica gli sforzi ch si soo compiuti pr dimostrar l uicità dlla parallla. I umrosi ttativi di dimostrar il quito postulato a partir dai prcdti hao dato u icosapvol impulso alla ascita dll gomtri o uclid; ma fu solo lla prima mtà dl XIX scolo ch Gauss, Bolyai Lobacvskij misro fi a tutti i ttativi formalizzado ua gomtria i cui valgoo tutti i postulati tra il quito. I particolar, i gomtria iprbolica pr u puto stro a ua rtta passa più di ua rtta parallla alla rtta data, ovvro, riprddo la formulazio dl tsto, o è dtto ch l du smirtt citat si icotrio. CONSIDERAZIONI E COMMENTI Etrambi i problmi soo suddivisi i quattro parti idipdti l ua dall altr: qusto è u fatto positivo, ch, sbb prvisto dall idicazioi miistriali dl, o si ra smpr vrificato i prcdza. Il problma è u itrssat sussguirsi di risultati ch richidoo ua discrta padroaza dll Aalisi matmatica studiata ll ultimo ao dl Lico 4

11 4 9 Archimd scitifico. Il tsto, così com è formulato, part da u caso gral, ch smbra più complsso di quato o sia, pr arrivar i sguito allo studio di ua fuzio stadard. Pr o scoraggiar gli studti mo sicuri, sarbb stato fors prfribil partir dalla fuzio richista al puto proporr graduali gralizzazioi. Il problma offr ultriori sputi di idagi: oltr all ampliamto proposto lla soluzio dl puto, ossrviamo ch la succssio di fuzioi f covrg a, cioè lim f ( ). I fftti, sapdo ch =, si ituisc ch lim f ( ). Ua dimostrazio for- = ( ) = + + +!! + + k = = k + k=! mal di qusto fatto o è baal; tuttavia, sarbb itrssat impostar u attività di laboratorio ch guidi gli allivi alla scoprta dll proprità dlla succssio di fuzioi f attravrso la costruzio l splorazio di ua figura diamica com lla figura. ARTICOLO = = 4 = 7 = Figura Il problma è u classico, «la solita cubica». Il livllo di difficoltà crsc ma mao ch il problma va avati; l ultimo puto richid la capacità di comprdr il tsto, ua visio dlla situazio llo spazio, oltr al sicuro posssso dll tcich dl Calcolo. I gral ossrviamo ch trambi i problmi affodao l loro radici ll Aalisi matmatica la cosa o è usual; gli ai prcdti, i almo uo di ssi si chidva, s o altro lla fas iizial, di affrotar situazioi problmatich co gli strumti dlla Gomtria aalitica o dlla Trigoomtria. Qusti du rami dlla Matmatica o soo prsti mmo i qusiti, cosicché la loro importaza l prcorso scolastico smbrrbb uscir ridimsioata da qusto sam di Stato; sarà davvro così? I qusiti riguardao gralmt qustioi itr alla Matmatica; s scludiamo il qusito 8, o troviamo situazioi vrosimili o ch prdao sputo dal modo ral. Alcui qusiti soo sz altro accssibili pr gli studti di quita; i particolar: 5

12 ARTICOLO Archimd 4 9 l, ch richid ua comprsio grafica dll itgral proposto; il, la cui stsura sarbb stata da curar maggiormt (spcificado ch A è il domiio dlla fuzio), ma ch i fodo idaga solamt la comprsio di dfiizioi idubbiamt importati, ma ch o tutti i tsti foriscoo; il, ch ha solo l apparza di ua domada di probabilità, prché si traduc i u problma di gomtria; il 7, u baal coto di calcolo combiatorio ch o rivst u gra sigificato matmatico; l 8, ch è u bl qusito sull mdi, richid di sapr tradurr u problma o itro alla matmatica i sprssioi algbrich; pr arrivar al risultato soo ach cssari discrt capacità l maipolar i simboli. Altri qusiti si fodao su cooscz ch o smpr vgoo propost agli studti: i polidri rgolari, il mtodo di approssimazio co l tagti di Nwto, l gomtri o uclid, pr o parlar dl pricipio di Cavaliri. I particolar, il qusito, sull gomtri o uclid, cotrolla la cooscza di u clbr problma dlla storia dlla gomtria, ma o cost di tstar alcua abilità o comptza matmatica; ioltr è difficil da valutar prché o è chiaro qual sia la risposta attsa: gli studti potrbbro rispodr co du righ o co u itro trattato. Macao ivc argomti ch dovrbbro rivstir u ruolo importat lla matmatica ch si isga lla sprimtazio PNI: l trasformazioi gomtrich, l matrici, la probabilità (i casi o baali). Acora ua volta è quidi cssario sottoliar l imbarazzo da part di docti, ch o sao ch cosa isgar ai propri allivi pr dar loro la possibilità di affrotar sramt la prova ch, com ovlli idovii, crcao di ipotizzar dai tsti dgli sami dgli ai prcdti com sarà la prova dll ao succssivo. È da tmpo ch vi richisto u syllabus ch prcisi quali soo gli argomti su cui vrt la prova; qust ao ci soo stati sgali ch fao psar ch fors qualcosa si sta muovdo. Chissà ch l ao prossimo o ci siao ovità! Cristiao Daé Lico Scitifico A. Volta, Torio cristiao.da@virgilio.it 6