Il diagramma di dispersione è

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1 y Statistica - o caal (P-Z) - Prof.ssa M. Barbiri - a.a Il diagramma di disprsio L rlazioi tra variabili quatitativ possoo ssr mss i vidza attravrso ua opportua rapprstazio grafica. U diagramma di disprsio aiuta a studiar la rlazio tra du variabili quatitativ rilvat sull stss uità. Cosidriamo u rifrimto cartsiao i cui i valori di ua variabil compaioo sull ass orizzotal qulli dll altra variabil sull ass vrtical. I dati rifriti a ciascua uità vgoo rapprstati sul grafico com u puto di coordiat pari all modalità dll du variabili rilvat su qulla uità. Esmpio: I dati sguti si rifriscoo all tà (X) (i ai) d al przzo di vdita (Y) (i migliaia di uro) di automobili usat, di u crto modllo, soo stati ricavati dagli auci pubblicati su u gioral. X Y Il diagramma di disprsio è Esmpio: Pr ciascuo di 0 idividui ch ha sostuto u sam di Igls, cosidriamo il umro di ai di studio dlla ligua (X) d il voto ottuto (Y) X 5 5 Y Il diagramma di disprsio è Attravrso il diagramma di disprsio possiamo avr u ida dlla forma, dlla rlazio dlla forza dlla rlazio tra l variabili. Possoo ach ssr mss i vidza dviazioi dovut a dati aomali, cioè a spcifici valori ch si allotaao dallo schma gral, o la prsza di sottogruppi (clustrs) divrsi. Notiamo ch i trambi i casi appa cosidrati la forma dlla rlazio tra l variabili è approssimativamt liar, cioè i puti sguoo, più o mo, ua lia rtta. La forza dlla rlazio è dtrmiata da quato i puti si dispogoo lugo ua curva di forma dfiita (i casi spcifici ua rtta). La rlazio liar è fort s i puti soo vicii ad ua rtta, è dbol s soo piuttosto disprsi itoro ad ua rtta. I trambi i casi cosidrati l adamto liar è modratamt fort poichè i puti si distribuiscoo solo i modo vago itoro ad ua lia. Nl primo caso la rlazio liar è dcrsct (la rtta ha pdza gativa), l scodo è crsct (la rtta ha pdza positiva).

2 y Ad occhio è difficil giudicar quato ua rlazio liar sia fort. I du grafici sguti si rifriscoo agli stssi dati, ma hao scal diffrti y Il primo smbra idicar ua rlazio liar più fort. E cssario u idicator umrico. 5 La corrlazio liar Suppoiamo di volr studiar il lgam tra du variabili statistich X d Y tramb quatitativ, rilvat sull uità di u collttivo ( i,y i ) i =,,..., di mdia variaza µ, σ µ y, σy, rispttivamt. Si dic ch tra l variabili X d Y vi è cocordaza o ch soo associat positivamt s a valori di X ifriori alla mdia corrispodoo valori di Y ifriori alla mdia d a valori di X supriori alla mdia corrispodoo valori di Y supriori alla mdia. Cioè i prodotti ( i µ )(y i µ y ) soo i maggioraza positivi. Mtr vi è discordaza o soo associati gativamt s a valori di X ifriori alla mdia corrispodoo valori di Y supriori alla mdia d a valori di X supriori alla mdia corrispodoo valori di Y ifriori alla mdia. Cioè i prodotti ( i µ )(y i µ y ) soo i maggioraza gativi. 6 Ua misura sittica dll rlazioi quatitativ tra X d Y, ottuta com mdia aritmtica di tali prodotti, è la covariaza σ y = Cov(X, Y )= ( i µ )(y i µ y ). i= Esmpio: Suppoiamo di avr ossrvato i sguti dati X 6 - Y Il diagramma di disprsio mostra u associazio positiva 7 L mdi valgoo Allora µ = 6++ µ y = 5+5 = =. y µ y µ y ( µ )(y µ y ) Si oti ch la somma dgli scarti dalla mdia i trambi i casi è 0, com ci aspttavamo. Pr calcolar la covariaza basta dividr il total dll ultima coloa pr il umro dll uità sull quali soo stat ffttuat l ossrvazioi (bivariat), cioè =. Quidi σ y = =

3 U util formula altrativa pr il calcolo dlla covariaza è σ y = µ y µ µ y i cui µ y = iy i i= è la mdia dl prodotto dll du variabili. Ifatti: σ y = i= ( i µ )(y i µ y )= i= i y i i= i + µ µ y = µ y µ µ y. µ i= y i µ y S riprdiamo l smpio, si ha da cui y y µ y = iy i = 0 i= =0 σ y = µ y µ µ y =0 =8. 9 S si dispo dirttamt dlla distribuzio doppia di frquz, la covariaza si calcola com σ y = h k ( i µ )(y j µ y ) ij = i= j= = h k ( i µ )(y j µ y )f ij i= j= o attravrso la σ y = µ y µ µ y i cui la mdia dl prodotto è dfiita com µ y = h k iy j ij = h k iy j f ij. i= j= i= j= Esmpio: Data la distribuzio doppia /y 0 total total si ha µ = = 0.6, µ y = =, µ y =0 ( ) ( ) ( ) = 0.5 σ y = 0.5 ( 0.6) =0. 0 Ch tipo di dipdza tra X Y vi misurata dalla covariaza? Esmpio: Suppoiamo di avr ossrvato i sguti dati X Y co µ = ++ = µ y = =7. Si ota ua prcisa tdza dll du variabili a muovrsi isim: a valori gradi dlla X (cioè >µ ) corrispodoo valori gradi di Y (cioè >µ y ), mtr a piccoli valori dlla X (< µ ) corrispodoo valori piccoli di Y (< µ y ). Il prodotto dgli scarti tra i valori dll variabili la corrispodt mdia è smpr positivo la covariaza risulta positiva, ifatti: µ y = = σ y = µ y µ µ y = 7= La ditribuzio doppia di frquz rlativ è \y Total Total Il lgam tra X d Y i qusto caso risulta prfttamt liar: pr ogi ossrvazio si ha y i = 5+ i. S rapprstiamo graficamt l ossrvazioi su u diagramma cartsiao, si ota ch il lgam tra X Y è prfttamt rapprstato attravrso ua rtta co pdza positiva S ivc abbiamo ossrvato i dati co µ = µ y =7. X Y I qusto caso si ota ua prcisa tdza dll du variabili a muovrsi i dirzioi oppost: a valori piccoli dlla X (cioè <µ ) corrispodoo valori gradi di Y (cioè > µ y ), mtr a gradi valori dlla X (> µ ) corrispodoo valori piccoli di Y (< µ y ). Il prodotto dgli scarti tra i valori dll variabili la corrispodt mdia è smpr gativo la covariaza

4 z risulta gativa: µ y = = 0 σ y = µ y µ µ y = 0 7= La distribuzio di frquz rlativ cogiuta di X Y è \y Total Total Ach i qusto caso il lgam tra X d Y è prfttamt liar: pr ogi ossrvazio si ha y i = 9 i. S rapprstiamo graficamt la distribuzio su u diagramma cartsiao, si ota ch il lgam tra X Y è prfttamt rapprstato da ua rtta co pdza gativa S i dati ossrvati soo X Y co µ = µ y = 7, la distribuzio di frquz rlativ cogiuta di X Y è \y Total Total No si ota alcua tdza dll du variabili a muovrsi cogiutamt: a valori piccoli dlla X corrispodoo valori sia gradi ch piccoli di Y d a gradi valori dlla X corrispodoo sia valori piccoli ch valori gradi di Y. Alcui prodotti dgli scarti tra i valori dll variabili la corrispodt mdia soo positivi, altri gativi. Nl calcolo dlla mdia si compsao dado luogo ad ua covariaza ulla: µ y = = 6 9 = σ y = µ y µ µ y = 7=0 Tra X d Y o vi è u lgam liar, com si può otar ach dalla rapprstiamo grafica dlla distribuzio I fftti i qusto caso tra l du variabili o vi è alcu tipo di lgam, poichè X d Y risultao idipdti. Gli ultimi smpi cosidrati soo rifriti a situazioi strm. Di solito i casi rali abbiamo a ch far co situazioi itrmdi, i cui comuqu l motivazioi dlla formula ch dfiisc la covariaza rstao ivariat. 5 Nll smpio sull auto usat i vdita y y total 5 6 y y σ y = µ y µ µ y = = = Mtr ll smpio sull sito dll sam di Igls total y y σ y = µ y µ µ y = = =.5 6 La covariaza misura il grado co cui du variabili soo lgat liarmt. Tuttavia ha il diftto di dipdr dall uità di misura di X d Y di o avr u valor miimo massimo b dfiiti.

5 I gral l du distribuzioi margiali di X Y avrao prsumibilmt posizio variabilità diffrti (potrbbro ach ssr sprss i uità di misura divrs). E covit cosidrar i dati stadardizzati, cioè i µ σ y i µ y σ y. S calcoliamo la loro covariaza ottiamo il cofficit di corrlazio liar di Bravais-Parso r y = Corr(X, Y )= i= i µ σ y i µ y σ y ch, i modo quivalt, può ssr sprsso com r y = i= ( i µ )(y i µ y ) = σ σ y = σ y Cov(X, Y ) =. σ σ y Var(X)Var(Y ) 7 Esmpio: Nl caso, già cosidrato, i cui si abbiao i sguti dati X 6 - Y co diagramma di disprsio µ =, µ y =, σ y =8 pr l variaz si ha σ = 6+++ =8 σy = =6 da cui σ = 8=.8 σ y = 6 = d il cofficit di corrlazio val r y = 8.8 =0.7 8 Il cofficit di corrlazio liar r y è ua misura dl grado di dipdza liar tra l du variabili X Y ch god dll sguti proprità: r y d il suo valor o dipd dall uità di misura di du carattri (è u umro puro), quidi o cambia quado si cambiao l uità di misura di X, di Y odi trambi. il sgo di r y dipd dal sgo dlla covariaza σ y. S i du carattri variao llo stsso sso, sia r y ch σ y sarao positivi si dic ch i du carattri soo corrlati positivamt. S i du carattri variao i sso ivrso, sia r y ch σ y sarao gativi si dic ch i du carattri soo corrlati gativamt. S rapprstiamo i du carattri su u diagramma cartsiao, ogi uità sarà idividuata da u puto. Il sgo di r y è lgato alla dirzio mdia complssiva dl lgam liar, ch è qulla di ua rtta ch passa pr la uvola di puti. 9 Nll smpio sull auto usat i vdita y y total 5 6 y y Allora σ = =9.8 σy = =. σ = 9.8 =. σ y =. =.6 r y = σ y = σ σ y..6 = 0.8 ch idica u lgam liar gativo piuttosto fort tra l du variabili. 0

6 Mtr ll smpio sull sito dll sam di Igls 5 y y total 5 5 y y Allora σ = 0.5 =.05 σy = = σ =.05 =.0 σ y = 50. =. r y = σ y =.5 σ σ y. =0.9 ch idica u fort lgam liar positivo tra l du variabili. r y = 0 quado σ y = 0. Qusto avvi quado X d Y soo idipdti, ma ach quado la somma di prodotti dgli scostamti discordi si compsa co qulla dgli scostamti cocordi. I qusto caso i carattri si dicoo icorrlati. Attzio: s X d Y soo idipdti soo ach icorrlat, cioè tra loro o vi è ua dipdza di tipo liar, o ssdoci i raltà dipdza di qualsiasi atura. Ifatti s soo idipdti si ha µ y = µ µ y Poiché µ y = h k i= j= i y j ij = = h k i= j= i y i j j = h i= i i k j= y j j Dal momto ch σ y = µ y µ µ y, sgu ch σ y = r y =0. s X d Y soo icorrlat o è dtto ch siao idipdti. L assza di dipdza liar o sclud la prsza di dipdza di atura divrsa tra l du variabili. D altra part il fatto ch σ y = r y =0 cioè ch µ y = µ µ y o implica ch pr ogi possibil coppia di valori i d y j si abbia ij = i j. Esmpio: Cosidriamo la distribuzio di frquz rlativ doppia y\ 0 Total Total Dal momto ch, ad smpio, f =0 = f f l du variabili o soo idipdti. Tuttavia µ = = µ y =0 µ y =0, da cui σ y = r y =0, cioè X d Y soo icorrlat liarmt. r y val + o solo quado i du carattri soo lgati da u prftto lgam liar dl tipo y i = α + β i. I particolar r y =+sβ>0 r y = sβ<0. Ifatti s y i = α + β i, allora µ y = α + βµ, σy = β σ σ y = β σ. Ma σ y = i= ( i µ )(y i µ y ) = i= ( i µ )(α+β i α βµ )= β i= ( i µ ) = βσ. Quidi r y = σ y σ σ y = βσ σ β σ = β β, cioè r y =sβ>0 r y = sβ<0. Esmpio: S riprdiamo i dati X Y sappiamo ch µ =, µ y = 7 σ y =. Ioltr σ = ++9 =, σ =, σ y = =, σ = r y = σ y / = =. σ σ y (/)(/)

7 y Mtr s riprdiamo i dati X Y sappiamo ch µ =, µ y = 7 σ y =. Ioltr σ = σ y =, σ = σ y = r y = / (/)(/) =. il valor umrico di r y sprim la forza dl lgam liar, cioè la misura dll itsità dlla rlazio liar tra X d Y. r y o distigu il ruolo dll du variabili. Nl misurar la corrlazio o fa diffrza qual variabil chiamiamo co X qual co Y. r y (0 r y ) è ua misura dlla viciaza dlla uvola di puti alla rtta ch la attravrsa prché, a prscidr dal sgo, il suo valor crsc co l addsarsi di valori ossrvati attoro a tal rtta. 5 r y sprim il grado di prvdibilità liar di ua variabil risptto ad u altra. S il valor (assoluto) di r y è lvato, la cooscza ad smpio di X aiuta lla prvisio di Y : il valor di Y si posiziorà, co bassa variabilità, itoro al valor dtrmiato da qullo di X dalla rtta ch passa pr la uvola di puti. S r y è molto vicio a zro, tutti i puti sarao itoro ad ua rtta parallla all ass dll asciss: la cooscza di X o aiuta a prvdr Y. Esmpio: I u collttivo di = 5 famigli è stato misurato il rddito X d il cosumo msil pr sps alimtari Z (trambi i Euro). Dfiiamo la variabil Y = 00 Z/X, la quota prctual di sps pr cosumi alimtari i z i y i La rapprstazio dlla distribuzio su u diagramma cartsiao è Calcoliamo il cofficit di corrlazio liar µ = i = 089 i= µ y = y i =8 i= σ = i= i µ = 57 σ = σy = i= y i µ y = 9.98 σ y =.965 σ y = iy i µ µ y = i= Allora r y = σ y = σ σ y = 0.96 ch idica la prsza di u fort lgam liar tra i du carattri: quado X crsc, Y td a dimiuir vicvrsa. 7 com mdia variaza, r y o è u idicator robusto: può ssr ifluzato dalla prsza di outlirs. S il diagramma di disprsio mtt i vidza la prsza di dati aomali, bisoga far attzio all itrprtazio di r y. Esmpio: Suppoiamo di avr ossrvato i sguti dati pr i quali si ha 5 i y i 0 5 µ =.5, µ y =.5, σ =.5, σy =0.75, σy =0.75, r y = 0.75 = Notiamo ch, s togliamo i dati rilvati sull ultima uità r y =0. 8

8 Mdia variaza di combiazioi liari di variabili Dat du variabili X Y du costati rali α β, s cosidriamo αx + βy, pr la proprità di liarità dlla mdia µ αx+βy = αµ X + βµ Y. I particolar µ X+Y = µ X + µ Y µ X Y = µ X µ Y. Qusta proprità è di particolar importaza poiché ci cost di calcolar il valor mdio di ua variabil, dfiita com combiazio liar di altr variabili, sza ch sia cssario dtrmiar la distribuzio. La proprità prcdt, valida pr la mdia, o è vra pr la variaza: var(αx + βy )=α var(x)+β var(y )+ +αβcov(x, Y ). 9 I particolar var(x + Y )=var(x)+var(y )+cov(x, Y ) var(x Y )=var(x)+var(y ) cov(x, Y ). Ifatti, ad smpio, var(x Y ) = [( i y i ) µ X Y ] = i= = [ i y i µ X + µ Y ] = i= = [( i µ X ) (y i µ Y )] = i= = ( i µ X ) + i= (y i µ Y ) + i= ( i µ X )(y i µ Y )= i= = var(x)+var(y ) cov(x, Y ) S X d Y soo icorrlat cov(x, Y )=0 var(x + Y )=var(x)+var(y ) var(x Y )=var(x)+var(y ). 0 Esmpio: Riprdiamo i dati X 6 - Y co µ =, µ y =, σ =8σ y =6 σ y =8. Suppoiamo ch Z = X + Y, allora Z da cui µ z = +7 5 = σz = +7 +( ) +( 5) =0 ch avrmmo ach potuto ottr, sza ricavar splicitamt i valori di Z, com µ X+Y = µ X + µ Y =+= var(x + Y )=var(x)+var(y )+cov(x, Y )= = =0. S ivc cosidriamo V = X Y, allora µ V =µ X µ Y = = var(v )= var(x)+( ) var(y )+ + ( )cov(x, Y )= = ( ) 8=80.