ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI. a n := 2n + 3 3n 7. n n cos 2 n + 2. (3) Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione

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1 ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI VALENTINA CASARINO Esrcizi pr il corso di Aalisi Matmatica, Iggria Gstioal, dll Iovazio dl Prodotto, Mccaica Mccatroica, Uivrsità dgli studi di Padova) ) Vrificar, attravrso la dfiizio, ch la succssio covrg a a := + ) Vrificar, attravrso la dfiizio, ch la succssio covrg a 0 a := 5 + cos + ) Dimostrar, attravrso la dfiizio, ch la succssio divrg a pr + a := 4 4) Stabilir s l sguti succssioi soo itat: a) b) c) + 5 5) Pr ciascu dll sguti succssioi cos d) ) ) π ) a) ) cosπ) ; b) 5 ; c) cos π ) stabilir quali dll sguti proprità soo vrificat dfiitivamt: ) i trmii soo positivi; ) i trmii soo miori di u crto M > 0; ) i trmii soo maggiori di u crto m > 0

2 VALENTINA CASARINO 6) Stabilir quali fra l sguti succssioi soo mooto π a) si ); b)! ) Calcolar i iti dll sguti succssioi: a) + 5 b) c) cos d) ) ) π f) ) π ) ) 8) Calcolar il it dlla succssio + + ) + + g) + ) ) )+ h) [ ] ) i) π) ) 4 l) + ) ) ) m) M ) + 5 9) Ricordiamo la formula di Stirlig ch prmtt di approssimar il fattorial di quado è molto grad:! ) π pr + Calcolar, attravrso tal formula, il sgut it log!) + 0) Calcolar il it dlla succssio al variar di a > 0 + )!!) a

3 VALENTINA CASARINO Soluzioi dgli srcizi ) Ossrviamo iazitutto ch la succssio {a } è dfiita pr ogi N Occorr ora dimostrar ch pr ogi umro ral ε > 0 sist u umro atural ε tal ch > ε a = + < ε Svolgdo i calcoli, si otti + = ) Allora la codizio a < ε quival a < ε, cioè acora ) > ε No è rstrittivo supporr, così ch ) may b writt as > 9ε + A qusto puto, scgliamo ε, pr smpio, ugual a [ + 9ε ] +, dov [ ] dota la part itra Ciò coclud la dimostrazio ) Ossrviamo ch b è dfiita pr ogi N Dobbiamo provar ch pr ogi umro ral ε > 0 sist u umro itro ε tal ch > ε b 0 = b < ε I qusto caso, covi smplificar il problma attravrso dll stim Ossrviamo ch 5 + cos + = 5 + cos così ch < ε cos + < ε Ci siamo quidi ricodotti a dtrmiar u umro itro ε tal ch > ε 4 + < ε 5 Ossrviamo ora ch = = 4, prchè pr si ha 5

4 4 VALENTINA CASARINO A qusto puto, il problma è stato ultriormt smplificato, d è sufficit dtrmiar u umro itro ε tal ch > ε 4 < ε Scglido, pr smpio, ε ugual a [ 4 ε] +, dov [ ] dota la part itra, ricordado ch x < [x] x pr ogi x R, si otti ifi la tsi ) Occorr dimostrar ch pr ogi A > 0 sist u umro atural A tal ch > A implichi a < A Sia A > 0 La codizio a < A quival a 4 < A, cioè A 4 > 0 Qusta disquazio è soddisfatta pr < A A +6 ma qusto caso o va cosidrato, prchè o sist ssu umro atural siffatto) oppur pr > A+ A +6 Scglido, pr smpio, A := si vrifica allora ch > A a < A [ A + ] A + 6 +, 4) Ricordiamo ch ua succssio {a } si dic itata s sist u umro M 0 tal ch a M pr ogi dom{a } a) Dimostriamo ch la succssio { } o è itata È sufficit mostrar ch pr ogi M > 0 sist u idic M N tal ch a M > M La codizio a > M quival a > M, cioè M > 0 È allora sufficit scglir u umro atural M > M+ M +8, pr avr a 4 M > M b) Ossrviamo iazitutto ch la succssio è dfiita pr ch pr val > Posto poi a :=, razioalizzado si otti a = + Poichè a + pr ogi, la succssio è itata Ossrvazio: i qusto caso, potrmmo ach cocludr ossrvado ch la succssio è covrgt a 0), quidi itata

5 VALENTINA CASARINO 5 c) La succssio è itata prchè pr ogi val + 5 = d) La succssio è itata prchè pr ogi val cos ) La succssio è itata prchè pr ogi 0 val ) ) ) π π 5) a) Ossrviamo ch la succssio è data, pr = k, k N, da a := ) cosπ) a k := ) k coskπ) =, mtr pr = k +, k N, si ha a k+ := ) k+ cosk + )π) = ) = Allora a = pr ogi N La succssio è quidi smpr positiva ) ) soo baalmt soddisfatt b) Posto b :=, ossrviamo ch 5 5 pr Ioltr si ha 5 0 = 5 5 < 5 pr ogi, così ch {b } soddisfa ) co M = 5 Ifi, pr 4 {b } è a trmii strttamt positivi b = = =: m 5 4 Quidi ) è soddisfatta pr 4 c) Ossrviamo ch la succssio π ) c := cos è data, pr = k +, k Z, da mtr pr = 4k, k Z, si ha c k+ = 0, c 4k = coskπ) =

6 6 VALENTINA CASARINO pr = 4k +, k Z, si ha c 4k+ = coskπ + π) = Allora ) o è soddisfatta dfiitivamt, prchè c 4k+ = coskπ + π) = pr ogi k Z; ) è soddisfatta pr M >, mtr ) o è soddisfatta prchè c 4k+ = 6) a) La succssio { si π ) } o è mootoa, prchè, posto a := si π ), pr N pari si ha a = 0, pr dispari a val altratamt o b) Sia ora b := Vrifichiamo ch la succssio è crsct, cioè ch pr ogi! val b b + Qusta codizio è quivalt a ch si può scrivr com cioè acora smplificado! + )!! + )+ + )!, + )+, + )+ + ) Si otti ifi ) + ) + =, ovviamt vrificata pr ogi ) a) Raccoglido la potza di grado più lvato al umrator al domiator si otti + 5 = ) + 5 ) = + 5 +, dal momto ch + la frazio td a pr + b) Razioalizzado, si otti = ) = + = + + = td a pr +, la succssio data covrg Poichè l sprssio a zro c) La succssio data covrg a 000 pr + si ragioa com i a)) 9 )

7 d) La succssio { pr ogi cos VALENTINA CASARINO } td a zro, prchè cos ) La succssio { ) π ) } covrg a zro, prchè Si ricorda ch la succssio ) ) ) π = π π {α } covrg a zro s α <, divrg a + s α >, covrg a s α = d è idtrmiata s α I qusto caso, α = <, da cui la tsi π ) } f) La succssio { ) è idtrmiata, prchè pr pari il trmi simo è ugual a ) π, pr dispari a { π ) } g) Poiamo Pr = k, k N, si ha a := + ) ) )+ a k := k) = k π Pr = k + si ha ivc pr ogi k N Poichè a k+ = 0 k + ) = 0 a k 0, la succssio covrg a zro pr + h) Ossrviamo ch pr > si ha 0, ), da cui [ ] = 0 Allora pr > si ha [ ] =, quidi la succssio data covrg a zro i) Ricordiamo ch dati k i N il cofficit biomial k ) è dfiito da k ) =! k! k)!

8 8 VALENTINA CASARINO Allora ) ) = 4! 4! 4)!! )!! = 4! 4)!! ) ) 4)! = 4 ) ), così ch π) 4 ) ) = π) 4 ) ) 4 l) Poiamo b := + ) ) ) I qusto caso, pr = k, k N, si ha Pr = k + si ha ivc a k := k = 4k a k+ = 0 k + ) = 0 pr ogi k N La succssio è quidi idtrmiata m) Ricordiamo ch pr ogi x R val Allora pr ogi N, da cui 0 Mx) < 0 M ) < 0 M ) + 5 La succssio covrg quidi a zro 8) Ossrviamo ch ) = + + = Poiché +) + = +, si ha + Val ioltr )/ )/ + + )/ ) + +) + + ) = ; ) ) + +) + +) =

9 possiamo quidi cocludr ch + VALENTINA CASARINO 9 + ) = + + 9) Sostitudo l it la formula di Stirlig! ) π pr +, si otti log!) = + + = + log π ) ) log π ) + log = ) = log π ) + log + + log π ) + log ) ) log π ) + log log = + dov gli ultimi iti si risolvoo co la grarchia dgli ifiiti = + log π ) 0) Applichiamo il critrio dl rapporto proviamo a calcolar + + ))!!) a [ + )!] a + )! + log ) = 0, + ))! =!) + )! [ + )!] + ) + ) + ))!!) = + )! [ + )!] a = + ) + ) + ) a + + ) = + ) + ) + ) a + + ) = a + + ) = a N dduciamo ch, s a >, la succssio covrg a 0, s a < td a + S a =, il critrio dl rapporto o ci prmtt di cocludr I qusto caso, sostitudo l it la formula di Stirlig! ) π pr +, si otti + )!!) ) = + 6π = ) + = 0 π 6π ) ) π ) ) a a +