ϕ (non necessariamente in numero finito), e in

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1 Spazi di uzioi ll sciz gograich, i particolar i godsia, vgoo studiat dll gradzz isich uzioi di puto sulla suprici trrstr, ad smpio il campo dlla gravità o l odulazio dl goid Qust uzioi soo i lia di pricipio diit i ogi puto, quidi su u cotiuo, possoo quidi ssr applicat ad ss l rgol dl calcolo iiitsimal; tuttavia, i gr soo misurat quidi soo ot soltato su u umro iito di puti, quidi, pr ssr rapprstat lla loro globalità, dvoo ssr dtrmiat pr itrpolazio Tutt l tcich di itrpolazio, tuttavia, comportao u crto grado di arbitrarità, i ogi caso richidoo ch la uzio itrpolat vga sclta i ua class ristrtta, i gral diita da u umro limitato di paramtri da stimar U procdimto atural è qullo di imporr ch la uzio crcata sia combiazio liar di u umro iito di uzioi opportuamt sclt (uzioi di bas) Ovviamt qusta sclta è giustiicata s si riti ch l isim dll uzioi ra l quali si compi la sclta sia compltamt rapprstato o adguatamt approssimato da tali combiazioi Il primo problma ch ci si po è quidi qullo dlla rapprstazio dll approssimazio Si scgli ua squza di uzioi di bas { (t)} prima istaza si cosidrao l loro combiazioi liari iit ϕ (o cssariamt i umro iito), i ϕ ( t) Si stabilisc quidi ua corrispodza ra la uzio (t) diita l cotiuo gli coiciti D altra part, s l uzioi di bas soo i umro iiito, può accadr ch ua crta uzio (t) o sia rapprstabil sattamt com combiazio liar iita, ma sia approssimabil smpr mglio (scodo u critrio da spciicar) da ua squza di combiazioi liari iit co u umro di trmii idiitamt crsct Allora si capisc ch ha u sso o porr u limit al umro dll uzioi di bas, ach s i pratica i calcoli umrici richidoo l uso di combiazioi liari iit L smpio classico di situazio di qusto tipo è lo spazio dll uzioi a quadrato itgrabil ll itrvallo [, ] t) < L ([, ]) L uzioi di bas sclt soo {,si t,cos t } ( Qusto spazio è solitamt idicato co : { } Il critrio sclto pr valutar la qualità dll approssimazio è la mdia quadratica dgli scarti: sri di Fourir ϕ ( t) Il risultato odamtal è il sgut: L proprità di qusta rapprstazio soo dscritt dalla toria dll data lim L ([, ]), posto a cos t, b si t a + a cos t + b si t, allora

2 D altra part, issato, si vriica ch la sclta di coiciti a, b vista sopra è qulla ch rd miimo a + a cos t + b si t La dimostrazio di qust ultima proprità si basa sull sguti uguagliaz di grad importaza pr il sguito: cos t cos t si t si t δ ; cos t si t Si può vriicar ch sistoo uzioi i ([, ]) L (pr smpio t ) ch hao iiiti coiciti a, b o ulli Di cosguza ss o soo sprimibili com combiazioi liari iit dll uzioi di bas, ma soo approssimabili da tali combiazioi co scarti i mdia quadratica arbitrariamt piccoli Di cosguza ss possoo ssr itrprtat com somma dlla sri: quadratica a + a cos t + b si t l sso dlla covrgza i mdia OTA: la covrgza i mdia quadratica o implica covrgza putual i tutti i puti 4 g ( t) xp t, { } Si cosidri ad smpio la succssio g ( t) i [ ] 4 u u xp( t ) du < du La succssio quidi td a i mdia quadratica, ma i divrg, mtr lim g () () + l sguito i risultati sopra uciati vgoo risamiati i ua ormulazio più gral più astratta, ch cost di dar u illustrazio più saurit Spazi di Hilbrt Prmssa: com è oto, i R è diito il prodotto scalar: v, w a ( v, v w i Qusta oprazio vriica l sguti proprità: i) ( v, v) ; ( v, v) v ii) ( v, ( w, v) iii) ( λ v, λ( v, iv) v + v, ( v, + ( v + ) ( w Si diisc orma dl vttor v l sprssio i) v ; v v, ii) λ v λ v Val la disuguagliaza di Schwarz: ( v v w v ( v, v) / Sgu ch:,, da cui sgu la disuguagliaza triagolar : v + w v + w ( ach v w v w ) Da qust ultima disuguagliaza si vriica ch, s v v (ossia v v ), allora v v Ioltr è ach vro ch v v ( v, ( v, pr ogi w : iatti ( v v, v v w i

3 Si cosidri ora lo spazio liar dll combiazioi liari iit di {,cos t, si t} ch pr l uzioi di tal spazio l oprazio prodotto scalar OTA: la proprità (, g) g( t) Si vriica soddisa l proprità dl è crtamt vra pr l uzioi di qusto spazio, ch soo cotiu, ma o i gral Pr avr itgral ullo basta ch la uzio sia ulla quasi ovuqu, ossia a mo di u isim di misura ulla (pr smpio, u umro iito di puti) Quidi, aiché l proprità di qusto prodotto scalar siao soddisatt ach i spazi più ampi, ch cotgao ach uzioi discotiu, bisoga ch ua uzio o ulla soltato su u isim di misura ulla sia idtiicata co la uzio idticamt ulla I sostaza, tutt l uzioi ch diriscoo ra di loro su isimi di misura ulla vgoo mss isim i ua class di quivalza cosidrat com s ossro u uica uzio Co qusta covzio, a rigor, o è più possibil diir pr ua uzio il valor (t) i u sigolo puto t S prò i ua class di quivalza c è ua uzio cotiua, qusta è uivocamt dtrmiata co i suoi valori i tutti i puti La amiglia {,cos t, si t}, pr quato visto sopra, è costituita da uzioi mutuamt ortogoali (ossia i loro prodotti scalari soo ulli); la orma è pr la uzio, pr l altr Dividdo l uzioi pr la loro orma si ottgoo uzioi ormalizzat, ossia di orma /,(/ )cos t,(/ ) si t costituisc u sistma ortoormal La amiglia { } Sia ora {,L} u sistma ortoormal costituito da iiiti lmti, sia { v } ua ( ) succssio ral, si cosidri la succssio di vttori v v Iazitutto si vriicao l sguti proprità: ( ) ( ) i) (, ) ( ) (, ) v v v ( ) ( ) ii) v v v (, ) Ci si chid ora sotto quali codizioi { } ( ) lim v v Si ricordi ch i tal caso ch la sri v v v v ha limit pr, ossia sist v tal ch v, quidi codizio cssaria pr l sistza dl limit è covrga, v v Qust ultima uguagliaza è dtta idtità di Parsval o è prò dtto ch la codizio sia ach suicit; tutt al più si può dir ch la succssio { } ( ) ( M ) v è di Cauchy, dato ch v v v, M + v covrg I uo spazio astratto di dimsio iiita, tuttavia, la codizio di Cauchy o è suicit pr la covrgza I trmii cocrti, llo spazio L (, ]) la qustio quival a chidrsi s sist tal ch [

4 lim a + a cos t + b si t risultato odamtal ch si vuol ottr, ch, com visto i prcdza, è proprio il Uo spazio i cui tutt l succssioi di Cauchy covrgoo ad u lmto dllo spazio stsso di dic complto ; uo spazio dotato di prodotto scalar complto si dic spazio di Hilbrt La qustio o vi qui ultriormt approodita Basti dir ch ([, ]) di Hilbrt, è grato dalla bas ortoormal { /,(/ )cos t,(/ ) si t} L è ttivamt, o è crto saurito dall combiazioi liari iit dgli lmti di bas (ad smpio, com si è già visto, la L,, posto, com sopra, uzio x ha iiiti coiciti o ulli) Quidi, s ([ ]) a cos t, b si t, l sri, a b covrgoo, ttivamt lim a + a cos t + b si t L combiazioi liari iit dgli lmti dlla bas o costituiscoo vidtmt l itro spazio, ma soo u isim dso, ossia ogi lmto dllo spazio è approssimabil co accuratzza arbitraria da combiazioi liari iit di lmti dlla bas OTA S si cosidra u sottoisim di { () } (ad smpio si prdoo solo gli idici pari, L [ ]) { } o, l caso di (,, solo ( / )cos t ), si ha acora u sistma ortoormal, ch prò o è ua bas, ossia o gra l itro spazio I tal caso, dato u vttor v, il vttor ( ) ( ) co v, ( ) v v è qullo ch approssima mglio v llo spazio grato da { } ( ) ( ) Lo si vriica immdiatamt miimizzado v c v c ( v, ) + c risptto ai c Si ossrvi ch i qusto caso, s si amplia il sottospazio aggiugdo uovi lmti dlla bas a { } ( ) ), pr ottr la miglior approssimazio o occorr ricalcolar i coiciti dgli (, ch rstao ivariati, basta calcolar i coiciti dgli lmti di bas aggiuti Qusto risultato è dovuto all ortogoalità dlla bas () ESEMPIO Pr la uzio coiciti si otti a b a cos t si t / pari dispari { } - t < t, applicado l ormul pr il calcolo di quidi la sri di Fourir è + si( + ) t ( + ) Si oti ch il trmi costat ½ è la mdia di su [, ] ; la uzio è dispari

5 ( ( t) ) di cosguza ha uo sviluppo di soli si Si cosidri ora la uzio si( + ) t g( t) + ( ) si( + ) t L somm parziali dlla sri, g ( t) possoo ssr calcolat splicitamt + ( ) dg i(+ ) t i(+ ) t Iatti cos( + ) t ( + ) si( + ) t (l squz di si t spoziali soo gomtrich, d è quidi ota la ormula pr il calcolo dlla somma) t ( ) ( ) si( + ) τ Quidi, tdo coto ch g (), si ha g ( t) d τ siτ Valgoo i sguti risultati: dg dg ) lim +, t, prolugata pr cotiuità i, ha massimo assoluto i g ( t) ha oscillazioi ch dimiuiscoo di ampizza da t a t / ; il massimo assoluto è l puto t /( + ) Pr valutar qusto massimo, si ossrvi ch /( ) ( ) si( + ) τ si u g > τ + δ + d τ du, co δ > idipdt u 4 si u da (qust ultima uguagliaza può ssr vriicata ossrvado ch il graico di u sta smpr sopra il sgmto ch cogiug i puti (,) (,) ) ( ) ( ) Di cosguza, la uzio g ( t) +, ch covrg a (t) i mdia quadratica, assum u valor più grad di + δ i u puto ch si avvicia smpr di più a t al crscr di I altr parol, l oscillazioi di itoro al valor limit i, matgoo u ampizza o tdt a i prossimità di t, ch è u puto di discotiuità pr (t) (omo di Gibbs) Rgolarità rapidità di covrgza [ ] Dato ch si cosi soo uzioi limitat cotiu su tutto R, s i coiciti di ua sri di α Fourir tdoo a almo com, α >, la sri covrg totalmt, quidi uiormmt Di cosguza, la sua somma è ua uzio cotiua su tutto R Ioltr ssa è ovviamt priodica di priodo ; di cosguza la sua rstrizio all itrvallo [, ] vriica la codizio ( ) ( ) α S poi i coiciti tdoo a almo com, α > ach la sri ottuta drivado trmi a trmi covrg uiormmt; quidi la somma è drivabil co cotiuità Esist quidi u lgam ra la rapidità di covrgza di coiciti la rgolarità dlla uzio somma dlla sri I risultati visti sopra mostrao ch ua crta rapidità di covrgza è codizio suicit pr ua crta rgolarità La discussio ch sgu mostra ch si possoo ach stabilir codizioi cssari di rgolarità

6 Pr iiziar, si ossrvi ch, s è possibil applicar la rgola di itgrazio pr parti (il ch avvi crtamt, ad smpio, s (t) è drivabil co drivata i L ([, ]) cotiua cctto ch i u umro iito di puti, dov la drivata prsta ua discotiuità a salto ossia i limiti dstro siistro sistoo soo divrsi ( ) ( ) ) si otti ( t)cos t si t '( t)si t ( t)si t cos t + '( t)cos t '( t) si t '( t) cos t α da cui si ricava ch, s i coiciti di Fourir di '( t) soo iiitsimi di ordi, qulli di ( +) (t) soo iiitsimi di ordi α Si può poi vriicar dirttamt ch ua uzio costat a tratti ha coiciti di ordi ; ioltr si vriica acilmt ch, s ua uzio prsta u umro iito di discotiuità a salto, ad ssa si può applicar la rgola di itgrazio pr parti i tutti gli itrvalli limitati dai puti di discotiuità, i suoi coiciti soo almo di ordi Tutt qust cosidrazioi si applicao a uzioi diit su tutto R priodich di priodo ; quidi, s ( ) ( ), qusto dà luogo a discotiuità si riltt sulla rapidità di covrgza di coiciti L, hao coiciti di ordi almo : Si ossrvi ch o tutt l uzioi di ([ ]) 4 / 3 iatti, ad smpio, dato ch la sri covrg, la sri di Fourir / 3 cos t dv covrgr i L (, ]) a causa dlla compltzza di qusto spazio Sri di Fourir i orma complssa [ Aziché usar si cosi, si può utilizzar l sprssio it it co I qusto modo prò si passa l campo complsso, vao ridiit l proprità dgli spazi di Hilbrt I particolar, pr uzioi a quadrato itgrabil a valori complssi il prodotto scalar si it g g( t), g g, Pr l uzioi di bas val diisc com (, ) ; quidi it imt l ortogoalità: δ m S (t) è ral, allora Dall b ot rlazioi ra spoziali complssi uzioi trigoomtrich è acil trasormar l sri di Fourir da orma complssa a orma trigoomtrica vicvrsa OTA L rlazioi ra rgolarità dll uzioi adamto di coiciti valgoo ovviamt ach s si adotta la bas complssa Si richiamao i sguti risultati: L uzioi di ([, ]) qull tali ch L pr cui sist la drivata prima, ach ssa i L (, ]), soo covrg; [

7 Più i gral, l uzioi di ([, ]) L ([, ]), soo qull tali ch s Gli spazi W ([ ]) L ([, ]) L pr cui sist la drivata -sima, ach ssa i covrg s { < }, co s ral, ao part dlla, amiglia dgli spazi di Sobolv E vidt pr quato visto sopra ch (s) ( è la drivata di ordi s) Si dv rilvar ch, pr l uzioi di ([, ]) W L, ch soo i gral irrgolari, la drivata va diita i u sso gralizzato, ch aturalmt pr l uzioi rgolari si ricoduc al coctto b oto Ua possibil diizio è: si dic ch g è la drivata i sso dbol di s, pr ogi uzio ϕ cotiua co drivata cotiua, ϕ ( ) ϕ( ), si ha ϕ' gϕ Sri di Fourir i itrvalli arbitrari [ Sia L (, ]) sia it la sua sri di Fourir Com si è visto la sri è diita su tutto R priodica di priodo ; la sua somma std (t) a ua uzio priodica di u priodo diita su tutto R Sia ora g( u) ; g(u) è priodica di priodo T, T ovviamt la sri iu / T covrg i mdia quadratica a g(u) Ioltr T it it i u / T t g Tt T g u ) ( / ) ( T du Si è così ottuta la rgola pr il calcolo di coiciti dllo sviluppo i sri di Fourir pr ua qualsiasi uzio a quadrato itgrabil ll itrvallo [ T,T ] o u qualsiasi altro itrvallo di ampizza T, dov T è u umro positivo arbitrario OTE Si cosidri ua uzio L ([, ]), ulla i u itrvallo chiuso I [, ] ma o idticamt ulla su tutto [, ] Allora i suoi coiciti di Fourir o soo tutti ulli, ma it it i I Si può quidi dir ch l uzioi o soo liarmt idipdti i I Si può prò provar ch, s si prd soltato u umro iito di uzioi it, qust soo smpr liarmt idipdti i ogi itrvallo limitato i t ll itrvallo [, ], ovvro da { t,si t} prò vdr ch si può scglir com bas ach { t} { si t} ch ua uzio diita i [, ] può ssr prolugata a [, ] cos Si può cos, oppur Basta psar sia com uzio pari, ( t), il cui sviluppo è costituito da soli cosi, sia com uzio dispari, ( t), sviluppabil i soli si la bas è costituita da { } s ( s) L

8 Aliasig Sia ua uzio cotiua i puti t +,, L, [ ],, it F, si suppoga di cooscr i valori i Ch cosa s può ddurr di coiciti F? PREMESSA imt im im im i m im m, L, m ilt i( l) t iht ipt Allora ( t ) l+ h + p h p (si è posto l + h + p, l, L,, < h <, p, L, ) h ( ) h l+ h Quidi, s gli uici coiciti o ulli dlla sri di Fourir soo qulli co idic, L, (ossia s lla sommatoria dlla ormula prcdt l uico idic h ch cotribuisc è h), allora F è uivocamt dtrmiato: F ( t ) S ivc qusta codizio o si vriica, il calcolo visto sopra orisc ua combiazio liar iiita di ua squza di coiciti, ch o possoo ssr dtrmiati idividualmt (aliasig) it OTA Suppoiamo F, co valori t ) rali Allora gli F calcolati soo complssi, così pur la uzio ( it (t) D altra part ach it F assum gli stssi valori ( t ) rali, così pur ( ) t + t t +, ch è ral Qusta situazio può apparir paradossal: partdo da dati, si ricavao 4- coiciti I raltà, il sistma di quazioi è a coiciti complssi, si risolv i campo complsso, ottdo i umri complssi F a partir dai umri complssi t ), ch l caso prst hao part immagiaria ulla Quidi, così pur, hao coiciti complssi i gral o ulli, mtr + ha 4- ( ( ), L,, L, ), di cui uo, ( F + ), sicuramt ral, mtr i coiciti co gativo soo complssi coiugati di qulli co il corrispodt positivo Da qusta sprssio di + si otti poi qulla i si cosi, i cui coiciti, ch soo acora 4-, soo tutti rali Si oti prò ch la soluzio così ottuta o è uivoca Iatti cos( ) t cos t, si( ) t si t ; di cosguza i coiciti di cos( ) t di cos t, com pur qulli di si( ) t di si t, o soo dtrmiabili sparatamt i modo uivoco Pr avr soluzio uivoca co i dati a disposizio, bisoga rmarsi a rquza (rquza di yquist) Ioltr il coicit di cos t o è uivocamt dtrmiabil, dato ch cos t (

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