( a) 1 a + Es. Data la funzione:
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- Fausta Masini
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1 Es. Dt l uzio: ' ' ( Esrcizi Complmtri. A( ( b. Dtrmir pr quli vlori di b l uzio mmtt u puto di mssimo d u puto di miimo pr quli vlori l uzio o mmtt tli puti.. Dtrmir i vlori di b i modo ch l uzio prsti u mssimo rltivo co ordit d itrschi l ss dll l puto - Puto S < : ' S o sistoo puti stziori siccom l uzio è drivbil i R o sistoo puti di mssimo o miimo. Ho u puto di miimo rltivo pr -/ (- d u puto di mssimo rltivo pr / (-. Puto ( ( ( 8 ( 6 b b
2 Esrcizi Complmtri. A( Esrcizi Complmtri. A( ( 6 8 ( ( b b 6 6 b b b 8 < < < ( (8 (8.. / 8 / Soluzio Puto / b
3 Es. Si: ( Esrcizi Complmtri. C( Dir s sist il limit pr giustiicr l rispost. Il domiio dll uzio è il solo puto. No ssdo diit i u itoro di l uzio o mmtt il limit ch quidi o sist.
4 Esrcizi Complmtri. D( Esrcizi Complmtri. D( Es. Vriicr ch l uzio ( È ivrtibil dtt g l uzio ivrs clcolr g (. ( ( ( ( ( '( R > '( è mooto crsct i sso strtto duqu ivrtibil su tutto R Pr clcolr g ( o è cssrio cooscr Pr clcolr g ( o è cssrio cooscr splicitmt l orm litic dll uzio ivrs g, bst pplicr il rltivo torm sull drivzio dll uzio ivrs: ( ( ( '( '( g g g E suicit trovr l cotroimmgi dllo (
5 Esrcizi Complmtri. D( Esrcizi Complmtri. D( ( '( g E possibil dtrmir l uzio ivrs g liticmt? ( t t t ( t t t l l
6 g Esrcizi Complmtri. D( g( l ( ( ( ( ( ' Quidi l drivt g : ( ( ( ( ( g' ( 6
7 Esrcizi Complmtri. F( Si dtrmii il più mpio itrvllo cott il puto i cui ( è ivrtibil; dtt g( l uzio ivrs i tl itrvllo, si clcoli g (. ( '( '( > Itrvllo crcto di ivrtibilità: [;] ' ( 8 g( Torm drivt uzio ivrs: g'( '( g ( '( 6 7
8 Esrcizi Complmtri. H( Si ( u uzio ch mmtt drivt prim scod i u itoro di si: '( ( [ ( ], ( Si dtrmii il poliomio di Tlor di scodo grdo ch pprossim l uzio i u itoro di '( [ ( ] ''( [ ( ] ( ( '( ( ''( ~ ( '(( ( o(( P 8 ( ( (. 8
9 Esrcizi Complmtri. I( Si ( u uzio drivbil i E[,] U [,]; gli strmi soltto i sso uiltrl. S (> pr ogi i E, ( può mmttr miimo? b S ((< si può ssicurr l sistz di u soluzio dll quzio (? c ( vriic l ipotsi dl torm di Lgrg? Sì. Prché l uzio soddis ll ipotsi dl torm di Wirstrss. Vi richist itti l cotiuità su u isim chiuso limitto d E lo è ( è uio iit di chiusi limitto. b No prché E o è u itrvllo (cosso c No prché E o è u itrvllo. 9
10 Esrcizi Complmtri. E( Si scriv il poliomio di trzo grdo ch pprossim l uzio: F( s [ t ] ( dt I u itoro dl puto. Si trcci u grico qulittivo di F( i u itoro di. [ ] F '( s ( [ ] F' '( ( cos ( [ ] [ ] ( ( s ( F' ''( cos L uzio l drivt vo vlutt i : F( s( t dt P ( ( [( ] F'( s F' '( F' ''( (uzio cubic trslt
11 Esrcizi Complmtri. B( Es. Si dtrmio i vlori di prmtri m d iché: m iché l itgrl tr dll stss uzio si il doppio dl prcdt. d m m d m m d m m [ ] [ ] m m m d md d m d m m [ ] m [ m ] m l( m d m l( l( l( d l( l( [ ] [ ] l( l( l( l(
12 Esrcizi Complmtri. B( l( l( l( [ ] l( [ ] l( l( [ ] Soluzio: m l(
13 Esrcizi Complmtri. G( Si dtrmii pr qul vlor dl prmtro rl l uzio: - < t dt t ( È cotiu l suo domiio, si dtrmiio vtuli puti di mssimo o miimo rltivo. Domiio [-;] L è cotiu drivbil su tutto il domiio tr pr ogi. lim ( lim L è cotiu su tutto il domiio pr -. ( ( '( - - < < lim '( lim '( lim è u puto goloso di mssimo visto ch l drivt siistr è positiv qull dstr è gtiv.
14 Ioltr: Esrcizi Complmtri. G( '( / ' Quidi / è puto di miimo rltivo. Not: - < (;]
15 Dt l uzio: F( Esrcizi Complmtri. L( dt t 7t S dtrmii l isim di sistz. b Si risolv l quzio F(-l( Puto Si cosidri l uzio itgrd ( 7 ( ( lim ( ± lim ± ( ± lim ( m ± L uzio è R-itgrbil solo dov è limitt quidi ll itrvllo (, ch é l itrvllo cui pprti il puto, origi dll uzio itgrl F Puto b dt t F( dt l l l t 7t ( t ( t t
16 Esrcizi Complmtri. L( Puto b F( dt t dt l l l t 7t ( t ( t t F( l l l( l l( l l ± ( ± ( 6 ± ( <.. 6
17 Esrcizi Complmtri. M( Esrcizi Complmtri. M( Dt l mtrici: A Si vriich ch solo u di ss è ivrtibil ch l su ivrs è: 7 B C 7 Si scriv l soluzio dl sistm: b co b C
18 Esrcizi Complmtri. M( Esrcizi Complmtri. M( Dt l mtrici: A 7 B C dt A dt B I AC 8 6 Ab b C
19 Sio: Esrcizi Complmtri. N( g ( t t ( Si scriv l uzio F(g[(] si vriichi ch è ivrtibil. Si clcoli l drivt dll uzio G(, ivrs di F(, l puto -. F( g[ ( ] F'( F' ( < (pr > Essdo mooto è ivrtibil Utilizzdo il torm dll drivt dll uzio ivrs: / G'( F'( g ( F'( / / / 9
20 Esrcizi Complmtri. O( Esrcizi Complmtri. O( Si clcoli l ivrs dll sgut mtric, prcisdo pr quli vlori di sist: A A dt L mtric è ivrtibil pr * A [ ] * T A / / / A / / / A A
21 Esrcizi Complmtri. P( Esrcizi Complmtri. P( Dt l du mtrici: A B Ed i vttori: b Si risolv il sistm (ABb. Si può dir ch il vttor soluzio dl sistm prcdt è ch soluzio dl sistm (BAb? B A dt( B A ( / / / / / / / / 7 / B A ( b B A I grl poiché il prodotto di mtric o è commuttiv il sistm (BAb vrà soluzioi divrs dl sistm dto
Es. Data la funzione:
Es. D l uzio: Esrcizi Complmri. A b. Drmir pr quli vlori di b l uzio mm u puo di mssimo d u puo di miimo pr quli vlori l uzio o mm li pui.. Drmir i vlori di b i modo ch l uzio prsi u mssimo rlivo co ordi
x ; sin x log 1 x ; 4 0 0,0.
.. Pr quli vlori dl prmtro l sri S (i uzio dl prmtro ). q ch covrg s solo s q. q Ricordimo ch pr q è q q q q q h soluzio pr tli vlori l sri covrg S E' u sri gomtric di rgio covrg? Pr tli vlori sprimi l
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dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone
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