V Struttura del ricevitore. Il segnale ricevuto, nel generico intervallo di simbolo, assume la forma:

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1 Cpitolo V LA RIVELAZIOE O COEREE Molto frqutmt è difficil disporr l ricvitor di u rifrimto cort co l portt ssocit l sgl modulto; pr qusto motivo si soo sviluppti dgli schmi di rivlzio ch prscidoo dll cooscz dll fs dll portt. l tipo di rivlzio v sotto il om di rivlzio o cort. I qusto cpitolo soo studiti gli schmi di rivlzio o cort co splicito rifrimto l cso irio. V. - Modulzio OOK. V.. - Struttur dl ricvitor. Il sgl ricvuto, l grico itrvllo di simolo, ssum l form: (V..) rt ( ) = V cos( π ft+ϕ ) + t ( ) t < ( + ) i cui {, } è il corrispodt simolo irio, ϕ dot l fs ssocit l sgl i igrsso, ch, i qul ch sgu, si suppo u vriil ltori, uiformmt distriuit i [, π ) d idipdt dl simolo dl rumor (t), (t) è il rumor ch si suppo gussio, mdi ull ico, co dsità spttrl. Com ll rivlzio cort, si cosidri l proizio ortogol di r(t) l sottospzio du dimsioi S idividuto dll sguti fuzioi di s: u() t = cos( πft) (V..) u () t = si( πf t) ch, s è f >>, costituiscoo, com'è oto, u isim di fuzioi ortoormli. Dtt ρ ρ l compoti di rt () lugo l dirzioi idividut dl sgli u () t u () t rispttivmt, vlgoo: (V..3) dov ν ν, dfiit dll: (V..4) rtu () () tdt V cos rtu () () tdt V si ρ = = ϕ +ν ρ = = ϕ +ν ν = ν = tu () () tdt tu () () tdt soo du vriili ltori gussi, mdi ull, icorrlt vti ciscu mdi ull vriz. L loro dsità di proilità cogiut è:

2 G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (V..5) p( ν, ν ) = xp ν +ν π Pr dtrmir l struttur dl ricvitor occorr rifrirsi ll rgol di dcisio; qust è sprss i trmii dll dsità di proilità codiziot p( r = ) p( r ) p( r = ) p( r ) dov r dot il vttor di compoti ρ ρ. Pr u ssgto vlor dll fs ϕ l dsità di proilità codiziot p( r, ϕ) p( r, ϕ), ssdo i s ll (V..3): (V..6) vlgoo (V..7) ρ = ν V cos ρ = ν ρ =V si ϕ+ν = = ( ) p( r, ϕ ) = xp ρ +ρ ρ = ϕ+ν π r ϕ = ( ρ ϕ ) + ( ρ + ϕ ) = π V V p(, ) xp V cos V si = xp ρ +ρ + xp ( ρ cos ϕρ si ϕ) π L dsità di proilità icodiziot p( r ) p ( r ) si ottgoo dll prcdti mdido risptto ϕ. Si h: (V..8) ( ) p( r ) = xp ρ +ρ π V π V r p( ) = xp ρ +ρ + xp ( ρ cosϕρ siϕ) dϕ π π Itroducdo l sgut trsformzio di vriili: ρ = ρcos ϕ (V..9) ρ =ρsi ϕ l itgrl ch compr ll scod dll (V..8) divi: π V J = xp{ ρ ( cos ϕcos ϕ si ϕsi ϕ) } dϕ = π π V (V..) = xp{ ρ cos( ϕ+ϕ )} dϕ = π π+ϕ V π V = xp{ ρ cos ϑ} dϑ = xp{ ρ cos ϑ} dϑ πϕ π dov si è posto ϑ =ϕ + ϕ si è tuto coto ch l fuzio itgrd è u fuzio di ϑ priodic di priodo π. Ricorddo ifi l dfiizio dll fuzio di Bssl modifict di prim spci di ordi zro: (V..) I (x) = π ± x cosϑ dϑ π si otti: ρ +ρ p( r ) = xp π (V..) V V p( r ) = xp ρ +ρ + I ρ +ρ π

3 Cp. V - L rivlzio o cort Procddo com l cso dll rivlzio cort, l rgol di dcisio, suppodo i dti quiproili, è sprss dll: p( r ) > p( r ) ˆ = (V..3) p( r ) < p( r ) ˆ = ch, coto dll (V..), divi: (V..4) V V > ρ +ρ ˆ = V V < ρ +ρ ˆ = log I log I do prst ch l fuzio di Bssl modifict è u fuzio crsct dl suo rgomto, l prcdti soo quivlti ll: ρ +ρ <λ ˆ = (V..5) ρ +ρ >λ ˆ = ssdo λ u opportu costt. L (V..5) cost di ddurr lo schm dl ricvitor o cort ch si prst prtto com è mostrto i Fig. V.. u () t rt () () dt () dt ρ ρ ρ +ρ ρ λ Dcisio ρ>λ ρ<λ ˆ = = ˆ ut () Fig. V. - Schm di u ricvitor pr modulzio OOK o cort. V.. - Proilità di rror. L rgol di dcisio (V..5) idividu l sottospzio S l du rgioi di dcisio D D riportt ll Fig. V.. Il ricvitor dcid fvor di ˆ = s il sgl ricvuto è cotuto l crchio di rggio λ ; i cso cotrrio, dcid fvor dl simolo ˆ =. D D u λ u Supposto i dti quiproili, l proilità di rror è: P( λ ) = Pr r D = + Pr r D = Pr r D = è: (V..6) { } { } L proilità { } (V..7) Pr{ r D } ρ +ρ = = xp dρdρ D ch ritroducdo l trsformzio (V..9) divt: (V..8) Pr{ r D } π = = dϕ ρ dρ = π π ρ xp λ Pr r D = vl: I modo logo l proilità { } Fig. V. - Rgioi di dcisio pr modulzio OOK o cort. λ

4 G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (V..9) Pr{ r D } V ρ +ρ + V = = xp I d d ρ +ρ ρ ρ D ch, utilizzdo l trsformzio (V..9) divt: (V..) Pr{ r D } L proilità di rror divt: (V..) π V ρ + λ V = = ρ I ρ dρ λ V ρ + λ V P ( λ ) = + ρ I ρ dρ Al fi di smplificr il clcolo dll proilità di rror st ossrvr ch, sotto l ipotsi di =, l grdzz ρ, com si dsum dll scod dll (V..6), vl: (V..) S il rpporto sgl rumor: (V..3) ( V cos ) ( V si ) ρ= ϕ+ν + ϕ+ν = ν +ν ν ν = V cos si + + ϕ ϕ V V V V γ= V dfiito com rpporto fr l rgi mdi dll costllzio E = l dsità spttrl dl rumor, è sufficitmt lvto, è fcil ddurr ch l proilità ch si vrifi- chio gli vti: V ν V ν << << si molto prossim d uo, cosicché l (V..) si può smplificr com sgu: ν ν (V..4) ρ V + cos ϕ si ϕ = V +ν cos ϕνsi ϕ V V L qutità ρ, pr u dto vlor di ϕ, si riduc d u vriil ltori gussi mdi V vriz: (V..5) ( ) { } { } { } σ = ν ϕν ϕ = ν ϕ+ ν ϕ = Si può llor scrivr: p( ρ ) = xp ρv π ρ E cos si E cos E si (V..6) ( ) I tli codizioi si h: (V..7) ( ) xp ( ) λ λ P λ = + ρv dρ π

5 Cp. V - L rivlzio o cort L proilità di rror dipd d λ. Il vlor ottimo di λ si dtrmi impodo l. Esso si otti dll risoluzio dll sgut quzio trsc- co dizio dt: (V..8) S P λ λ=λ = λ = + λ V V π l V γ= è sufficitmt lvto, l prcdt si può pprossimr co l V V λ ch coduc ll soluzio: V (V..9) λ = I tli codizioi l proilità di rror vl: (V..3) D ltr prt, vdosi: (V..3) si h: γ V V 4 ρ π P = + dρ V V V x ρ V π π J = dρ= dx = V x V π γ ( ) ( ) = dx = Q Q γ (V..3) 4 γ P = + Q( ) Q( γ ) Utilizzdo l sgut spsio sitotic dll fuzio Q : (V..33) si h: (V..34) ch, pr lvti vlori di γ, divt: γ - x / Qx ( ) x x γ 4 -γ/8 -γ/ P = + 4 γ (V..35) P 4 = γ VI. - Modulzio FSK. VI.. - Struttur dl ricvitor. l grico itrvllo di simolo, il sgl ricvuto è dto dll: (V..) rt ( ) = V cos[ π ( f + Δ f) t+ ϕ ] + t ( ) t < ( + ) i cui {,} rpprst il simolo trsmsso ϕ è, com prim, u vriil ltori uiformmt distriuit i [, π ), sttisticmt idipdt di dti dl rumor (t). Il rumor ifi si suppo gussio mdi ull ico (co dsità spttrl pri ).

6 - 7 - G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich Si cosidri l proizio ortogol di r(t) l sottospzio quttro dimsioi S 4 dfiito dll sguti fuzioi di s dfiit ll'itrvllo [, ) : (V..) ch, s è f >> u (t) = cos[π( f Δf )t] u (t) = si[π( f Δf)t] u (t) = cos[π( f +Δf )t] u 3 (t) = si[π( f +Δf )t] Δ f = itro, costituiscoo, com'è oto, u isim di fuzioi ortoormli. L proizio ortogol r 4 di r(t) su S 4 srà prtto idividut d u vttor r 4 l cui compoti scodo l dirzioi di vrsori u, u, u,u 3 soo dt dll: ρ = V cos ϕ+ ν ρ = ν ρ = ν (V..3) V si = ρ = ϕ+ ν = ρ = V cos ϕ+ν ρ = ν ρ = V si ϕ+ν ρ = ν 3 ssdo ν, ν, ν, ν 3 l corrispodti compoti dl vttor 4 (proizio ortogol di t () su S 4 ). li compoti soo gussi, icorrlt, tutt mdi ull vti u stss vriz dt d. L loro dsità di proilità cogiut vl: ( 3) ν +ν +ν +ν (V..4) p( ν, ν, ν, ν 3) = ( π ) L dsità di proilità codiziot p(r 4 ϕ, ) è dt dll: p( r4 ϕ, ) = xp ρ V cosϕ + ρ + V siϕ +ρ +ρ 3 = ( π ) (V..5) V V = xp 3 xp ( cos si ) ρ +ρ +ρ +ρ + ρ ϕρ ϕ ( π ) ch mdit risptto ϕ, usdo l stss procdur icotrt proposito dll modulzio OOK, divi: (V..6) ssdo: (V..7) r4 + V V 4 ( ) p( r ) = I ρ π ρ = ρ +ρ I modo logo si otti: (V..8) dov è: (V..9) ( r ) 4 V + 4 V p( r ) = I ρ ( π ) 3 ρ = ρ +ρ Supposto i simoli quiproili l rgol di dcisio prtto divi: p( r4 ) > p( r4 ) ˆ = (V..) p( r ) < p( r ) ˆ = 4 4 ovvro, ricorddo l (V..6) (V..8) divi:

7 (V..) Cp. V - L rivlzio o cort V V I ρ > I ρ ˆ = V V I ρ < I ρ ˆ = Poiché l fuzio I (x) è u fuzio crsct dl suo rgomto, è immdito ricooscr ch l (VI.3.9) quivl ll: (V..) ρ > ρ ˆ = ρ < ρ ˆ = ch dfiisc l struttur dl ricvitor così com è idicto i Fig. V.3. [ π +Δ ] V cos ( f f) t () dt ρ [ ] V si π ( f +Δf) t ρ +ρ rt () () dt [ π Δ ] V cos ( f f) t () dt ρ ρ + ρ ρ λ= Dcisio ρ >ρ ρ <ρ ˆ = = ˆ [ ] V si π( f Δf) t ρ+ρ 3 () dt ρ 3 Fig. V.3 - Struttur dl ricvitor pr modulzio FSK o cort. Si ossrvi ch, l cso i qustio, il ricvitor dcid fvor dl dto ˆ = o ˆ = scod di vlori dll qutità w = ρ ρ ch prtto costituisc l vriil di dcisio. V... - Proilità di rror. S è trsmsso il simolo =, si commtt rror qudo è ρ <ρ. L proilità di ρ ρ ρ =ρ ρ Fig. V.4 - Pio (ρ, ρ ). u tl vto può ssr fcilmt clcolt com sgu (v. Fig. V.4) (V..3) Pr( ρ < ρ = ) = dρ dρ p( ρ, ρ ) ρ vdo dotto co p(ρ,ρ ) l dsità di proilità icrocit dll qutità ρ ρ rispttivmt. È ovvio ch, i virtù dll struttur simmtric dl ricvitor, l proilità di commttr u rror qudo è trsmsso il simolo = è l stss dll (V..3); di cosguz, s i simoli soo quiproili, l proilità di rror può clcolrsi mdit l

8 - 7 - G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (V..4) P = dρ dρ p( ρ, ρ ) ρ Poiché l compoti dl rumor lugo l dirzioi idividut di vttori di s soo sttisticmt idipdti, ch tli soo l qutità ρ ρ ; pr cui si può scrivr: (V..5) p( ρ, ρ ) = p( ρ ) p( ρ ) ssdo p(ρ ) p(ρ ) l dsità di proilità dl primo ordi ssocit ll qutità ρ ρ rispttivmt. V..3. Clcolo di p( ρ ). Poiché ρ dipd d ρ ρ pr clcolr l p( ρ ) è covit prim mrgilizzr l (V..6) risptto ρ ρ 3. Si otti: ρ +ρ + V V (V..6) p( ρ, ρ ) = I ρ +ρ π Itroducdo l sgut trsformzio: ρ = ρ cos ϕ (V..7) ρ = ρ si ϕ l (V..6) divi: (V..8) ch itgrt risptto (V..9) V..4. Clcolo di p( ρ ). ρ ρ + V V p( ρ, ϕ ) = I ρ π ϕ forisc: ρ + V V ρ p( ρ ) = I ρ Poiché ρ dipd d ρ ρ 3 pr il clcolo di p( ρ ) si dv procdr izi tutto d u mrgilizzr dll (V..6) risptto ρ ρ. Si otti: ( ) ρ +ρ 3+ V ρ +ρ V 3 R (V..) p( ρ, ρ ) = I ρ +ρ dρ dρ π π Pr clcolr l itgrl ch compr ll prcdt st itrodurr l trsformzio: ρ =ρ cos ϕ (V..) ρ =ρ si ϕ Si h: (V..) 3 ( ) ρ +ρ V = ρ +ρ ρ ρ = π J I d d R ρ π V d I d = ϕ ρ ρ ρ = π ρ V I d = ρ ρ ρ ch si può ultriormt lorr itroducdo l posizio ρ = x. Si h: (V..3) x V V V x V + V J = x I x dx = x I x dx = prché l itgrdo è u dsità di proilità di Ric co prmtri V σ = m =.

9 Cp. V - L rivlzio o cort Risult prtto: (V..4) quidi: (V..5) d cui: (V..6) V..5. Clcolo di P. p(, ) ρ ρ3 = π ρ p( ρ, ϕ ) = π ρ p( ρ ) = ( 3) ρ +ρ ρ ρ Dll (V..4), tdo coto dll (V..5) si otti: ρ ( ρ + V ) ρ V ρ P = I ( ) d ρ ρ dρ = ρ (V..7) d cui: ρ V ( ) V I d = ρ ρ ρ = V V ρ + 4 ρ 8 V ( ) = I ρ dρ (V..8) P = V prché l itgrdo è u dsità di proilità di Ric co prmtri σ = m =. Itroducdo il rpporto sgl rumor: V (V..9) γ= l proilità di rror risult sprss dll: γ (V..3) P 4 = V 4 4 V.3. - Modulzio PSK diffrzil. Poiché ll modulzio PSK l iformzio è ssocit soltto ll fs dll portt o è possiil idividur lcuo schm di rivlzio o cort. uttvi s l fs ϕ dll portt vri molto ltmt l tmpo pr modo ch l si poss ritr costt i u itrvllo ugul lmo l doppio dl priodo di sglzio, si può psr di rivlr l diffrz fr l fsi ssocit l sgl modulto rltiv du itrvlli di sglzio cotigui sz ch il ricvitor d richidr iformzioi sull fs ssocit ll portt. U tl schm costir di rivlr l vrizioi ch itrvgoo ll succssio di dti o i dti stssi mo ch o si procd, i fs di modulzio, d u codific diffrzil. Ciò sigific ch, prtdo ritrrimt co il simolo =, l codific dv ssr ffttut co l rgol:

10 G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (V.3.) d = = d = U tl tipo di modulzio prd il om di modulzio PSK diffrzil o modulzio DPSK (Diffrtil Phs Shift Kyig). U smpio di tl codific è riportto ll ll V.I. ll V.I d k k * Fs π π π * Simolo di rifrimto ritrrio. All'igrsso dl ricvitor il sgl modulto, l grico itrvllo di sglzio,( + ) ), è dto dll ([ ) (V.3.) rt ( ) = V cos( π ft + π + ϕ ) + t ( ) dov, com prim, ϕ dot u vriil ltori uiformmt distriuit i [, π ) d idipdt si di dti mssi dll sorgt ch dl rumor (t). Proittdo ortogolmt r(t) l sottospzio S du dimsioi idividuto dll fuzioi di s dfiit ll itrvllo [, ) : (V.3.3) = π = πft u ( t) cos( f t) u () t si( ) ch, s f >>, costituiscoo u isim di fuzioi ortoormli, si otti il vttor: (V.3.4) r = V cos( π + ϕ) u V si( π + ϕ ) u + l cui compoti vlgoo: (V.3.5) V cos( ) V si( ) ρ = π + ϕ +ν ρ = π +ϕ +ν ssdo ν ν l compoti dl rumor lugo l dirzioi idividut di vrsori u u rispttivmt. l prcdt itrvllo di sglzio l proizio ortogol dl sgl i igrsso l sottospzio S è idividut dl vttor r l cui compoti vlgoo: (V.3.6) V cos( ) V si( ) ρ = π + ϕ +ν ρ = π +ϕ +ν Poiché l'iformzio trsmss è ffidt ll diffrz, il ricvitor dv ffttur u stim dll'golo ϑ comprso fr r r. Poiché è < r, r > (V.3.7) cos ϑ= r r il ricvitor dcid fvor dl dto d = o d = scod il sgo di cos ϑ. do coto dll (V.3.7), l rgol di dcisio divt così: ρρ + ρρ > d = (V.3.8) ρρ + ρρ < d =

11 ch dà luogo llo schm riportto i Fig. V.5. Cp. V - L rivlzio o cort ut () vt () + t () + rt () () dt () dt z z Clcol ρ ρ +ρρ w λ= w> Dcisio w< d ˆ = d ˆ = ut () Fig. V.5 - Ricvitor o cort pr modulzio DPSK. Co rifrimto ll rgol di dcisio sprss dll (V.3.8), l proilità di rror, s i dti mssi dll sorgt soo quiproili, è dt dll: (V.3.9) P { } = Pr w > d = + Pr { w< d = } dov si è posto w = ρρ + ρρ. Poiché cus dll simmtri dl sistm, l du proilità ch itrvgoo ll P soo guli, l (V.3.9) divi: (V.3.) P = { } Pr w< d = L codizio d = può ssr ottut co = = o co = =. Dto ch tli vti soo mutumt sclusivi, l (V.3.) può ssr splicitt com sgu: (V.3.) P { } = Pr w< = = + Pr { w< = = } Pr vlutr l proilità di rror è covit porr l vriil di dcisio w ll form: (V.3.) w = { ( ρ +ρ ) + ( ρ +ρ ) ( ρ ρ ) + ( ρ ρ ) } 4 All codizioi k = k = k = k = corrispodoo, pr l (V.3.5) (V.3.6) l compoti (V.3.3) V cos V cos ρ = ϕ+ν ρ = ϕ+ν V si V si ρ = ϕ+ν ρ = ϕ+ν = = (V.3.4) V cos V cos ρ = ϕ+ν ρ = ϕ+ν V si V si ρ = ϕ+ν ρ = ϕ+ν = = quidi (V.3.5) Podo dsso: (V.3.6) ( cos ) ( si ) {( ) ( ) } w = ± V ϕ +ν +ν + V ϕ +ν +ν + 4 ν ν + ν ν 4 cos s V si α =± V ϕ +ν +ν β = ϕ +ν +ν s α = ν ν β = ν ν d d

12 G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich l (V.3.5) divt: (V.3.7) = ( α s +βs) ( α d +βd ) quidi l (V.3.) divt: w 4 (V.3.8) P = { α s +β s < α d +β d d = } Pr Poiché l qutità ν + ν, ν ν, ν + ν ν ν soo gussi, icorrlt vlor mdio ullo vriz, è fcil ricooscr ch l vriili ltori α s, α d, β s,β d soo sttisticmt idipdti crttrizzt dll dsità di proilità gussi sguti: ( ) pα ( α ) xp cos s s = αs V ϕ π (V.3.9) α d pα ( α ) xp d d = π (V.3.) L sttistic di è di Ryligh. Risult così: p p β β s d ( ) s V ( β s) = xp β ± siϕ π β d π ( β d ) = xp s s S = α +β è u dsità di proilità di Ric qull di S S + V V (V.3.) ( ) xp{ } ( ) ps S = I S (V.3.) D pd( D) = D I s ll (V.3.8) risult ifi: (V.3.3) { } Pr ( ) P = S < D = ps S pd ( D ) dd ds S cioè: V (V.3.4) { } { } V V = xp x + P I x dx ch, tdo prst l (V.3.), divt: (V.3.5) V P = V ch podo γ= su scriv: (V.3.6) P = γ d d D = α +β

13 Cp. V - L rivlzio o cort APPEDICE Distriuzioi di Ryligh di Ric A. rsformzio di dsità di proilità. Si ( X, Y ) u vttor ltorio l cui compoti X Y soo crttrizzt d u dsità di proilità cogiut dt d pxy, (, x y ). Si ioltr ( UV, ) il vttor ltorio lgto l vttor (, ) X Y dll sgut trsformzio di vriili: (A.) u = u(, x y) v = v(, x y) dov u(, ) v(, ) soo du fuzioi cotiu drivili i Pr ddurr l dsità di proilità cogiut dll vriili ltori ( UV, ) i fuzio dll dsità di proilità cogiut dll vriili ( X, Y ) st ossrvr ch, dtto: E { < + ; < + } R. XY x X x dx y Y y dy u vto lmtr dfiito l sistm di rifrimto Oxy E UV { u U < u + du; v V < v + dv} il corrispodt vto dfiito l sistm di rifrimto Ouv, s l corrispodz fr il puto ( x, y ) i Oxy il puto (,) uv i Ouv è iuivoc, dv sussistr l proprità: Pr E = Pr E (A.) { } { } UV poiché il vrificrsi dll vto E XY comport il vrificrsi di E UV. S gli vti di cui sopr soo lmtri, l proilità ch itrvgoo ll (A.) possoo ssr sprss, mo di ifiitsimi di ordi suprior, i trmii dll corrispodti dsità di proilità cogiut, com sgu: (A.3) puv, (,) u v EUV = pxy, (, x y) E XY dov E UV E XY doto l misur dgli vti corrispodti. È oto ch l misur dll vto lmtr E XY è dto dl modulo dl prodotto vttoril di vttori lmtri dx dy di modulo dx dy oritti scodo l dirzioi di Ox Oy rispttivmt. I ltri trmii è EXY = dx dy. L stss cos vl pr l vto EUV = du dv. E UV do coto dll trsformzio (A.) si h: du = dx + dy y (A.4) v v dv = dx + dy y pr cui è: (A.5) XY. Ach qui, è, co logo sigificto di simoli, v v du dv = dx + dy dx + dy = y y v v v v = dx dx + dx dy + dy du+ dy dy y y y y y S il rifrimto Oxy è ortogol, è:

14 G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (A.6) dx dx = dy dy = dy dx = dx dy pr cui l (A.5) si riduc ll: (A.7) v v du dv = dx dy y y Si otti così: (A.8) EUV = v v y y E XY ch sostituit ll (A.3), forisc: (A.9) y y puv, (,) u v v v = pxy, (, x y) S si dot co: (A.) (,) uv y Jxy (, ) (, x y) v v y il dtrmit jcoio, o smplicmt lo jcoio, dll trsformzio (A.), l (A.9) si scriv: p (,) u v J(, x y) = p x, y (A.) ( ) UV, XY, dov si è itrodotto il vlor ssoluto llo jcoio prché l dsità di proilità soo fuzioi o gtiv. Dll (A.) si dduc: (A.) du = dx + dy y v v dv = dx + dy y ch costituiscoo u sistm lir ll icogit dx dy l cui soluzio è: du y v dx = = du dv Jxy (, ) v J y J y dv y (A.3) du v dy = = du + dv J(, x y) v J J dv Dll (A.3), podo succssivmt dv = du =, è: (A.4) v y v = = J y u J y = = dv v J y v J quidi: (A.5) Juv (,) = v v J y J y = = y y v J(, x y) v J J (, x y) dov Juv (,) è lo jcoio dl sistm ivrso (,) uv

15 Cp. V - L rivlzio o cort (A.6) x = xu (,) v y = y(,) u v ormlmt è ot l trsformzio ivrs dll (A.) pr cui l (A.) divi: p (,) uv= Juv (,) p xuv (,), yuv (,) (A.7) ( ) UV, XY, Esmpio E.A.. L trsformzio d coordit rttgolri coordit polri è u trsformzio iuivoc s è: r > ϕ < π I tl cso l lgg di trsformzio ivrs è dt dll: x = r cos ϕ y = rsi ϕ Lo jcoio dll trsformzio vl: ( x, y) r ϕ cos ϕ r si ϕ = = = r (, r ϕ) y y si ϕ rcos ϕ r ϕ pr cui è: p Φ( r, ϕ ) = r p ( rcos ϕ, rsi ϕ ) R, X, Y A. Cso dl vttor gussio. A.. Distriuzio di Ryligh. S il vttor ( X, Y ) è u vttor ltorio l cui compoti X Y soo vriili ltori gussi, mdi ull, crttrizzt dll vriz σ sttisticmt idipdti è: x + y (A.8) pxy, (, x y) = xp πσ σ pr cui l dsità di proilità cogiut dll vriili ltori ( R, Φ ) ch costituiscoo l rpprstzio dl puto ( X, Y ) l sistm di coordit polri, è: r r r (, ) (A.9) p R, (, r ) σ Φ ϕ = πσ ϕ [, π) Itgrdo l (A.9) risptto ϕ si otti l dsità di proilità dl primo ordi dll vriil ltori R : (A.) risult: π r pr () r = rxp dϕ πσ σ r r xp (A.) { p () r } σ R = σ r > r ot com distriuzio di Ryligh il cui Fig. A. Distriuzio di Ryligh dmto è riportto i Fig. A.. I modo logo, itgrdo l (A.9) risptto r si otti l dsità di proilità dl primo ordi dll vriil ltori Φ : r (A.) pφ ( ϕ ) = rxp dr πσ σ risult, com è fcil vrificr: pr () r r

16 - 8 - G. Mmol: Fodmti di Comuiczioi Elttrich (A.3) pr () r m m< m m3< m m4< m3 ( ϕ ) = π r Fig. A. Distriuzio di Ric pr divrsi vlori di m. p Φ ϕ< π ltrov L vriil ltori Φ è uiformmt distriuit i [, π ). do coto dll (A.9), (A.) (A.3), risult: (A.4) p, (, r ϕ ) = p () r p ( ϕ ) R Φ L vriili ltori Φ R soo sttisticmt idipdti. A.. - Distriuzio di Ric. S l vriili ltori X Y trm gussi, ho l stss vriz σ, soo sttisticmt idipdti, m ho divrsi vlori mdi dti d m x m rispttivmt, l loro dsità di proilità cogiut è sprss dll: R Φ x y my ( x m ) + ( ) σ (A.5) pxy, ( x, y) = πσ Co l stss procdur sviluppt l prgrfo A., si può vrificr ch l dsità di proilità cogiut dll vriili ltori R Φ è dt dll: (A.3) ch, podo (A.4) divt: (A.5) p r pr, Φ (, r ϕ ) = πσ x y my ( x m ) + ( ) σ m cos x = m ψ m= mx + my m = msi ψ + (cosψcosϕ+ siψsi φ) ϕ = = πσ σ r r + m mrcos( ϕψ) = xp πσ σ r r m mr R, Φ (, r ) xp L dsità di proilità dll vriil ltori R si otti llor pr itgrzio dll (A.5) risptto ϕ ; si h: r + m mr π r cos( ) π ϕψ σ σ R, Φ (A.6) pr() r = p (, r ϕ) dϕ= dϕ πσ Pr clcolr l itgrl ch compr ll (A.6) occorr porr ϕ ψ=θ. Risult: π. Ricorddo ifi ch y (A.7) π πψ y mr cos( ϕψ) σ I = dϕ= mr cosθ σ = dθ= ψ π mr cosθ σ = dθ π dov si è tuto coto dl ftto ch, ssdo l itgrdo u fuzio di θ priodic di priodo π, l itgrl può ssr stso d u qulsisi itrvllo purché di lughzz

17 Cp. V - L rivlzio o cort π xcosθ (A.8) I ( x) = dθ π π rpprst l fuzio di Bssl modifict di prim spci di ordi, l (A.6) divt: = σ r + m r mr (A.9) () σ p r I ( ) R ch costituisc l distriuzio di Ric. L distriuzio di Ric è riportt i Fig. A. pr divrsi vlori dl prmtro m dov è m < m <. σ r > r <