Compito sugli integrali definiti e impropri (1)

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1 Compito sugli intgrli dfiniti impropri () Esrcizio Clcolr i sgunti intgrli dfiniti: () () d d ; Esrcizio Stilir s i sgunti intgrli impropri convrgono d, in cso ffrmtivo, scrivr qul vlor: () () d ; d Esrcizio Stilir s il sgunt intgrl dfinito è improprio oppur no Succssivmnt clcolrlo π sin( ) cos( ) (5) d sin( ) cos( ) Spcificr, pr ogni srcizio, l rgol d intgrzion ust Ciscun srcizio è vlutto, l mssimo, punti

2 Esrcizio Clcolr i sgunti intgrli dfiniti: () d ; () ln( ) d Compito sugli intgrli dfiniti impropri () Esrcizio Stilir s i sgunti intgrli impropri convrgono d, in cso ffrmtivo, scrivr qul vlor: () () d ; d Esrcizio Stilir s il sgunt intgrl dfinito è improprio oppur no Succssivmnt clcolrlo d (5) Spcificr, pr ogni srcizio, l rgol d intgrzion ust Ciscun srcizio è vlutto, l mssimo, punti

3 Soluzioni Compito () () Moltiplicndo dividndo pr, sfruttndo l linrità dll intgrl, succssivmnt, ossrvndo ch il numrtor è l drivt dll rgomnto dll rdic, si h: d d ( 7) In ltrntiv si può procdr d un intgrzion pr sostituzion ponndo t () Risult d [ ] d [ ] d [ ] vndo procduto du intgrzioni pr prti succssiv prndndo smpr l funzion sponnzil com fttor diffrnzil l potnz di com fttor finito () L intgrl in qustion è un intgrl improprio di prim spci (ovvro su un intrvllo ilitto) Prtnto, posto 7 / I ( ) d d, risult d I( ) sponnzil com fttor diffrnzil (un cui primitiv è com fttor finito g ( ) N sgu Clcolimo I() procdndo d un intgrzion pr prti prndndo l funzion / ) l funzion g() / / / / / / [ ] d [ ] I ( ) Adsso, pr l linrità dl it, si h: I ( ) / / / / / ssndo vn- / / ( / ) do pplicto l rgol di D L Hôspitl pr il suo clcolo, Dunqu, l intgrl è convrgnt () L funzion prsnt un discontinuità pr cosicché l intgrl è improprio di scond spci Prtnto, / d d d d d d 5 / 5 / [ ] ( ) ( ) 5 / vndo sfruttto l linrità dll intgrl dl it l rgol d intgrzion di funzioni lmntri N sgu ch l intgrl è convrgnt /5

4 sin( ) cos( ) (5) Indichimo con f() l funzion intgrnd ovvro ponimo f ( ) Tl sin( ) cos( ) funzion prsnt un discontinuità pr ssndo sin( ) cos( ) d è l unic ch si h pr [, π / ] Quindi, l intgrl considrto è improprio di scond spci, si h: π / ( ) d π / f f ( ) d Un primitiv di f() è l funzion F ( ) ln sin( ) cos( ) com è fcil vrificr Ciò si ricv ossrvndo ch il numrtor di f è proprio l drivt dl dnomintor o, in ltrntiv, procdndo d un dll sostituzioni: t ln sin( ) cos( ), u sin( ) cos( ) N sgu π / f ( ) d ( F(π / ) F( )) ln() ln sin( ) cos( ) cosicché l intgrl è divrgnt ( ln() ln sin( ) cos( ) ) Soluzioni Compito () () Moltiplicndo dividndo pr, sfruttndo l linrità dll intgrl, succssivmnt, notndo ch il numrtor è l drivt dl dnomintor, si h: d d ln (ln() ln(5)) ln ln 5 In ltrntiv si può procdr d un intgrzion pr sostituzion ponndo t () Procdimo d un intgrzion pr prti prndndo smpr l funzion logritmic com fttor finito (l su drivt è l funzion /) l potnz di com fttor diffrnzil (un su primitiv è / ) Si h, llor, 5 ln( ) d ln( ) d ln( ) 9 9 ( 9 9 ) () L intgrl in qustion è un intgrl improprio di prim spci (ovvro su un intrvllo ilitto) Prtnto, posto I( ) d d, risult d I( ) Clcolimo I() procdndo d un intgrzion pr prti prndndo l funzion sponnzil com fttor diffrnzil (un cui primitiv è com fttor finito g ( ) N sgu ) l funzion g()

5 I( ) [ ] d [ ] Adsso, pr l linrità dl it, si h: I ( ) ssndo vndo pplicto l rgol di D () L Hôspitl pr il suo clcolo com è immdito clcolr Dunqu, l intgrl è convrgnt () L funzion prsnt un discontinuità pr cosicché l intgrl è improprio di scond spci Prtnto, / d d d d d d [ ] [ ln ] ( ) ( ln ) vndo sfruttto l linrità dll intgrl dl it l rgol d intgrzion di funzioni lmntri N sgu ch l intgrl è divrgnt (5) Ossrvimo prinrmnt ch l funzion intgrnd, ch prsnt un discontinuità pr (vlor ch nnull il dnomintor), può ssr scritt com vidnz l dnomintor Quindi, l intgrl è improprio di scond spci, pr qunto ossrvto, si h: d d d mttndo in [ ln ] ( ln ln ) dov nllo scrivr l trz uguglinz si è tnuto conto dl ftto ch il numrtor dll funzion intgrndo è proprio l drivt dl numrtor (in ltrntiv, pr il clcolo dll intgrl sotto il it, si può procdr ll sostituzion t ) L intgrl è, dunqu, divrgnt