Esercizi per il corso Matematica clea

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1 Esrcizi pr il corso Mamaica cla Danil Rilli anno accadmico 8/9 Lzion : Ingrali Esrcizi svoli. Provar, usando il cambio di variabil ch:. Dimosrar ch. Ingrando pr pari dimosrar ch + = + = 6 sin(π) = π Svolgimno. Primo cambio = = = d = + ( ) + ( ) d = + d Scondo cambio + = u d = u du anzion: gli srmi cambiano = u =, = u = conclusion + d = u u du = u [ u = + u ] ( u ) [ u du = u = Si pova sguir uo in un sol colpo ponndo = u facndo la composizion di du cambi di variabil.. cambio di variabil y = y + = quindi ] = y y dy quindi + = 6 y y y y dy

2 Riassumndo da qui si conclud ch + = 6 y [ y dy = ] 6. Si ha: sin(π) = Esrcizi proposi. Dimosrar ch. Dimosrar ch ln + = 6 6 = 6 [ cos(π) ] + π π + = 9 ( + ) = + = 6 ln + + = ln 6 7 = ( ln ) ln( + + ) = ln 7 π. Calcolar i sguni ingrali dfinii cos(π) = [ cos(π) + sin(π) ] = π π π Trovar u l funzioni primiiv F () ali ch: F () = ( ) F () = F () = F () =. F () = ( ) F () = F () = + F () = F () = + F () =. S F () = + F () =, quano val F ()? 6. Calcolar l ara sosa al diagramma di f() su [a, b]:

3 f() = +, [a, b] = [, ] f() = ( + ), [a, b] = [, ] f() =, [a, b] = [, 8] f() = +, [a, b] = [, ] f() =, [a, b] = [, ] f() = 7, [a, b] = [, ] 7. Si considri la rgion chiusa S diaa dall curv assgna, dall indica paralll = a, = b all ass y. Far prima un disgno di S poi calcolarn l ara: y =, y = ; [, ] y = ; y = ; [, ] y = ; y = ; [, ] y = [ ] ; y = ; [, ] y =, y = ; [, ] y = + ; y = ; [, ] + y =, y = ln ; [, ] 8. Calcolar i ii sguni: d ln( + ) d d d ln 8 ln( + )d d 9. Mdian ingrazion pr pari calcolar: ln ln ln (j) ln ln ln (m) (n) (o) (p) (q) (r) ln ln( + ) ln( + ) (s) () (u) (v) (w) ( ) ( ) ( + ) sin(π) arcan. Calcolar mdian opporuno cambio di variabili: ( + ) (j) + ( + ) + + (m) (n) (o) (p) ln (ln ) (ln ) ln (ln ) ( + ) (q) (r) (s) () (u) ln / 8 + ( + ) ( ). Calcolar gli ingrali:

4 ln ln + (j) + ( + 6) 7 ln. Calcolar i sguni ingrali di funzioni razionali fra usando la scomposizion in frazioni parziali: ( ) ( ) + ( ) Calcolar una primiiva dlla funzion y = ( + ). Calcolar l ingral gnralizzao ln. Calcolar una primiiva dlla funzion y = ( + ) 6. Calcolar l ingral dfinio Drminar un numro ral k d una funzion f : R R ali pr cui risuli: 8. Calcolar una primiiva dlla funzion y = sinh (ln ) f(u)du = ln ( + ) + k 9. Drminar ui i valori di λ R pr i quali è crscn su [, ] la funzion:. Calcolar l = ( u ) du ln u du f() = (u λ) (u ) du. Si indichi con A(m) l ara dlla par di piano diaa dall curv di quazioni y =, y = m, = =. Drminar pr quali valori di m R si ha A(m) =. π. Calcolar l ingral dfinio cos. Si indichi con M() il valor mdio ingral dlla funzion f() = M() + + nll inrvallo [, ], >. Calcolar. Drminar l insim A di ui i valori dl paramro ral posiivo a pr i quali val 6 l ara dlla figura diaa dall ass dal grafico dlla parabola di quazion y = (a ) (a ). Sia f() = + + d.si calcolino f () f ().

5 6. Sia f() = + cos d. Si rovino si classifichino i massimi d i minimi rlaivi di f. 7. Sia f() = 8. Calcolar 9. Sapndo ch + d. Si calcoli f (). f() =, 6. Risolvr discur l quazion. Provar ch. Provar ch. Provar ch. Provar ch. Provar ch 6. Provar ch 7. Provar ch 8. Provar ch 9. Provar ch:. Calcolar. Calcolar. Calcolar. Calcolar. Calcolar 9 π π π 8 + ( ) = f() =, si calcoli d = sin () cos () = sin cos = ln + 6 = ln + 7 sin = + = + = 6 ( + π/) + = 9 ( + ) = (f() )

6 n. Si ponga I n () =, ssndo a R un fissao ral. Si dimosri ch pr n val: + a n I n () = n + a (n )a I n (). ( ) Si usi ( ) pr dimosrar ch: 68 = + 6. Dalla rlazion ln := 7. Dimosrar ch, pr ogni > val 8. Sia F(; m, n) = Si usi ( ) pr calcolar F(;, ) 9. Sudiar i sguni ingrali impropri: d, ddurr, mdian opporun sosiuzioni l idnià: ln(a b) = ln a + ln b d + = d + m ( + ) n d, m, n N. Dimosrar ch: (m + )F(; m, n) + nf(; m +, n ) = m+ ( + ) n ( ) (j) ln (m) (n) (o) (p) ln ln (ln ) 7 (q) (r) (s) () (u) ln + ( + ). Sudiar la funzion f() :=. Calcolar d + ln pr [, [, racciandon un grafico approssimaivo π n n n n n π sin n. Sia α > fissao: calcolar arcsin α α α. Si considri la succssion ( n ) dfinia pr ricorrnza: =, n = n d, n Provar ch n n =. (Far vdr ch n n ch n > pr ogni n N 6

7 . Trovar dll cosani a, b R ali ch d = b sin a +. Sia f C(R) pr cui risuli, pr ogni 6. Calcolar gli ingrali: π cos cos + sin 7. Sia f C(R) pr cui risuli, pr ogni 8. S < a < b si calcoli b 9. Calcolar la drivaa prima dlla funzion f() = 6. Calcolar gli ingrali: a f()d = + +. Calcolar f () ln + ( π ) f()d = sin + cos. Calcolar f +. È suggria la sosiuzion = cos( ) + sin ( ) d ( + ) 6. Sia < <. Calcolar 6. Drminar il dominio naural dlla funzion 6. Si considri la scriura 6. Calcolar π b ln d succssivamn si calcoli ds s ln d a + b = ln( + ) +. Pr quali valori di a, b R può ssr vra? ( + cos ) sin() + 8 sin cos ( + cos sin ) 7