Autovalori complessi e coniugati

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1 Auovalori complssi coniugai Noazioni A A α ω ω α λ λ λ α + jω, λ α jω, maric ad lmni rali α + jω, maric diagonal ad lmni complssi α jω L du marici A A hanno gli sssi auovalori λ, λ. aa una gnrica maric A cararizzaa dalla coppia di auovalori complssi coniugai λ, λ. All auovalor λ corrispond l auovor u complsso u a u b vori a lmni rali. u u a + j u b, con u a {u }, u b Im {u } 3 Si noi ch la rlazion complssa Au λ u dfinizion di auovor auovalor può ssr riscria com du rlazioni rali Au a αu a ωu b α u a u b 4 ω Au b ωu a + αu b ω u a u b 5 α im. L du quazioni si ongono spliciando l grandzz complss Au Au a + ju b Au a + jau b λ u α + jωu a + ju b αu a ωu b + jωu a + αu b Vrsion mporana dl Ocobr 9,

2 con A, u a u b a lmni rali uguagliando l pari rali l pari immaginari. All auovalor λ corrispond l auovor u. im. Basa ossrvar ch sicuramn la rlazion Au λ u Au a ju b α jωu a ju b αu a ωu b jωu a + αu b è vra in quano corrispond proprio all quazioni 4 5. La maric A è cararizzaa da auovalori disini λ, λ quindi è diagonalizzabil rami il cambiamno di coordina T dfinio com T u u im. Caso di auovalori disini. Il paricolar cambiamno di coordina a lmni rali T ch pora una gnrica maric A cararizzaa dalla coppia di auovalori λ, λ nlla forma A è la maric non singolar T u a u b 6 im. Si noi ch l du quazioni 4 5 possono ssr riscri in forma più compaa com A α ω u a u b ua u b ω α cioè S si dfinisc con T la maric non singolar A u a u b ua u b A 7 T u a u b la 7 divna cioè AT T A A T A T 8 iassumndo T non singolar : T u u T non singolar : T u a u b A T A T A T A T o quivalnmn A T A T A T A T, con A T complssi 9 A T A T A T A T, con A T rali Condizion sufficin ma non ncssaria.

3 Si noi infin ch dall du sprssioni quivalni di A in 9 si ha il cambiamno di coordina complsso ra l du marici, A ral A complssa A T T A T T A T T A T T in alri rmini la maric complssa diagonalizza la maric A. [ T T ] [ A T T ] [ T T ] [ A T T ] T T T 3 Vogliamo calcolar l voluzion libra a parir da una condizion inizial gnrica x. Si possono sguir du prcorsi alrnaivi ovviamn quivalni: A x T A T x T A T x 4 A x T A T x T A T x 5 im. finiamo l sguni grandzz ca T x c T x Si noi ch c x T ca x T c c x c a u a + u b 6 x c u + c u 7 T x è un vor a componni rali c a ssndo la maric T a lmni rali così com i vor u a u b pr dfinizion; T x è un vor a componni complssi c c ssndo la maric T a lmni complssi così com i vor u u. Si può sprimr il cofficin complsso c spliciando la sua par ral immaginaria c c a + j, con c a {c }, Im {c } 8 Si possono quindi dfinir l quanià m, ϕ.c. m c a + c b, c a m sin ϕ, m cos ϕ 9 m, ϕ.c. m c a +, c a m cos ϕ, m sin ϕ Calcoliamo in primo luogo A A Pr la prima si usa la formula di Eulro jϑ cos ϑ + j sin ϑ A λ α+jω λ α jω α cos ω + j sin ω cos ω j sin ω α jω jω Pr il calcolo di A si sfruano l sguni du ossrvazioni. 3

4 La maric A può ssr riscria com α ω A ω α α α ω + ω Sfruando la commuaivià dll du marici si può scrivr { α ω α ω + A ω α α ω α ω α ω ω α ω } 3 4 Pr il calcolo dlla maric ani-simmrica si usa la dfinizion di sponnzial di maric ω ω k k ω k! ω k ω + + ω ω ω + 3 ω 3 3! ω 3 + ω + ω ω3 3 3! + ω + ω3 3 3! + ω + cos ω sin ω 5 sin ω cos ω Mndo insim l vari rlazioni si ongono l sguni sprssioni quivalni dll voluzion libra, Incominciando dalla 4 sfruando la 5 A x T A T x u a u b α cos ω sin ω ca sin ω cos ω m α cos ω sin ω u a u b sin ω cos ω da 6 sin ϕ cos ϕ m α cos ω sin ϕ u a u + sin ω cos ϕ b sin ω sin ϕ + cos ω cos ϕ m α u a u b sin ω + ϕ cos ω + ϕ da 9 A x m α {sin ω + ϕ u a + cos ω + ϕ u b } 6 Calcolando l voluzion libra nllo sao dalla 5, sfruando l, 7, 8 la A x A T x α u u cos ω + j sin ω cos ω j sin ω ca + j c a j Si ricorda ch M+N M N ss l du marici commuano nl prodoo i.. M N N M. 4

5 m α u u cos ω + j sin ω cos ω j sin ω cos ϕ + j sin ϕ cos ϕ j sin ϕ m α u a + ju b u a ju b cos ω + j sin ωcos ϕ + j sin ϕ cos ω j sin ωcos ϕ j sin ϕ m α {cos ω cos ϕ sin ω sin ϕ u a sin ω cos ϕ + cos ω sin ϕ u b } A x m α {cos ω + ϕ u a sin ω + ϕ u b } 7 nlla qual sono sa usa l no formul sinα + β sin α cos β + cos α sin β cosα + β cos α cos β sin α sin β Confronando l sprssioni di 6 7, si porbb pnsar di avr onuo du risulai divrsi. A al proposio si noi ch, ssndo u + u u a, lo sao inizial gnrico x si può riscrivr com u u j u b x c a u a + u b c a u + u c a j la qual, confronandola con la 7 la 8, implica c c a j c a + j + u u j u + c a + j u c a c a, Sosiundo ali sprssioni nll posizioni sfruando l 9 si ha m c a + c a + c b m prano c a c a m cos ϕ m sin ϕ m sin ϕ m cos ϕ m m sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ In conclusion, l du sprssioni dll voluzion libra 6 7 sono quivalni in quano valgono l rlazioni m m ϕ ϕ π 8 9 5

6 iassumndo, si possono usar du rapprsnazioni quivalni dll voluzion nllo sao in uscia nl caso di auovalori complssi coniugai: Caso A Si diagonalizza la maric A onndo A diagonal ad lmni complssi: T non singolar : T u u A T A T A x T A T x T A T x c T x c x T c c x c u + c u m, ϕ al ch m c a +, c a m cos ϕ, m sin ϕ A x m α {cos ω + ϕ u a sin ω + ϕ u b } Caso B Si rasforma aravrso un opporuno cambiamno di variabili la maric in una paricolar maric ad lmni rali A T non singolar : T u a u b T x ca A x T x T m, ϕ al ch m A T A T A T x T A T x ca x c a u a + u b c a + c b, c a m sin ϕ, m cos ϕ A x m α {cos ω + ϕ u a sin ω + ϕ u b } Esmpio Calcolar l voluzion libra nllo sao dl sisma ẋ y x x + u a parir da x / / Soluzion Auovalori auovori prano λ + j u j u a {u }, λ λ j u u j, u b Im {u } 6

7 quindi c a dvono ssr ali ch in alrnaiva si usa la formula 6 / x c / u a + u b c a + c b cioè Si ongono l quanià 9 m c a, sin ϕ c a m cos ϕ m da cui ϕ 3π 4 alla formula gnral 6 si ha x l [sin + 3π 4 cos + 3π 4 sin + 3π cos + 3π 4 mnr l voluzion libra in uscia è daa da y l [cos + 3π + sin + 3π ] 4 4 ] In alrnaiva, volndo uilizzar la formula 7, si ha T j j c T x c j j / / 4 + j j quindi c /4 + /4j da cui c a /4 /4. Uilizzando l posizioni si oin m cos ϕ c a m sin ϕ c b m cioè ϕ π 4 7

8 L rlazioni 8 9 sono ovviamn vrifica; si oin x l [ cos + π sin + π ] 4 4 cos + 3π 4 sin + 3π 4 8