I criteri di resistenza (o teorie della rottura) definiscono un legame tra lo stato tensionale e la sua pericolosità.

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1 I critri di rsistnza (o tori dlla rottura) dfiniscono un lgam tra lo stato tnsional la sua pricolosità. Ogni stato tnsional può ssr rapprsntato da una funzion scalar dll tnsioni principali ch può ssr confrontata con un valor critico dl matrial. Al valor di tal funzion scalar vin dato il nom di tnsion quivalnt (o idal). Al valor critico dl matrial vin dato il nom di tnsion limit. Il rapporto tra la tnsion limit dl matrial la tnsion quivalnt è il cofficint di sicurzza dlla struttura.

2 Conctto di tnsion quivalnt I du stati di tnsion sono ugualmnt pricolosi s F F' F f,, ) F f,, ) ( ( Particolarmnt significativo è il confronto con lo stato di tnsion ch si vrifica nlla prova dl matrial,, caso monoassial (prova di trazion) caso gnral triassial Dduzion dlla tnsion quivalnt dai critri di rsistnza F f (,, ) Du stati di tnsion possono ssr confrontanti sulla bas dl valor dlla funzion scalar f ch stabilisc il critrio di confronto ch prnd il nom di critrio di rsistnza F f In particolar s f è applicato allo stato di tnsion assial ch si ha nlla prova di trazion, si può scrivr ch: F f (,0,0) f ( ass ) F f (,, ) (,0,0) Pr cui si ha lo stsso grado di pricolosità tra i primo il trzo caso quando: F F f ( ass ) f (,, ) da cui sgu ch il valor dlla tnsion monoassial ( ) ch gnra uno stato di tnsion quivalnt a qullo dfinito da, può ssr ricavata com: f ass [ f (,, )]

3 I critri di rsistnza possono ssr divisi in tr gruppi, sulla bas dl loro principio ispirator: Critri dirttamnt basati sullo stato di tnsion Massima tnsion normal (Ranin-Lamé-Navir) Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) Curva dlla rsistnza intrinsca (Coulomb-Mohr) Massima tnsion tangnzial ottadrica (Rôs ichingr) Critri basati sullo stato di dformazion Massima dformazion normal (Ponclt-d St. Vnant-Grashof) Critri basati sulla nrgia di dformazion Massima nrgia di dformazion (Bltrami-Hubr-Haig) Massima nrgia di distorsion (Hubr-von Miss-Hncy) I critri di rsistnza possono ssr divisi in du gruppi, sulla bas dl loro campo di applicazion: Critri utilizzati pr i matriali duttili Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) Massima nrgia di distorsion (Hubr-von Miss-Hncy) Curva dlla rsistnza intrinsca (Coulomb-Mohr) Massima nrgia di dformazion (Bltrami-Hubr-Haig) Massima tnsion tangnzial ottadrica (Rôs ichingr) Critri utilizzati pr i matriali fragili Massima tnsion normal (Ranin-Lamé-Navir) Curva dlla rsistnza intrinsca (Coulomb-Mohr) Massima dformazion normal (Ponclt-d St. Vnant-Grashof) 6-

4 Massima tnsion normal (Ranin) suprfici critica dfinita dal critrio di Ranin nllo spazio dll tnsioni principali Il matrial subisc danno quando la massima tnsion principal raggiung un valor critico. tnsion limit a trazion tnsion limit a comprssion Si ha rottura s: la suprfici è la zona critica all strno dl volum c è rottura > < all intrno dl volum il matrial rsist 6-8 Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) τ τ τ τ max τ Il matrial subisc danno quando la massima tnsion tangnzial raggiung un valor critico. Si ha rottura s: ( ) τmax > τ > τ L, L Valori critici dl matrial L L 6-4 all intrno dll ara il matrial rsist all strno dll ara c è rottura 4

5 Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) Nl caso gnral di stato di tnsion triassial il valor dlla tnsion tangnzial massima val: τ max Quando la sollcitazion è monoassial solo è divrsa da zro si avrà: τ a max( ) τmax(, 0,0) Si può, quindi, ricavar l sprssion dlla tnsion quivalnt dalla rlazion: [ τ (, )] τa max max, Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) N sgu ch: τ a max [ τ (,, )] max Si avrà prciò rottura quando: > L Casi particolari: torsion pura: τ xy torsion trazion: x 4 τ xy 5

6 Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) suprfici critica dfinita dal critrio di Trsca nllo spazio dll tnsioni principali β γ α α β γ τ Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) Ipotsi dll attrito intrno Curva intrinsca dl matrial 6-6 il taglio massimo sopportabil dal matrial è maggior in prsnza di uno stato di comprssion 6

7 τ Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) D A O ϕ B ϕ C LC LT Smplificando la curva intrinsca con du rtt, si ottin ch la rottura avvin s: > Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) τ La curva intrinsca può ssr approssimata da du rtt tangnti ai crchi di Mohr rlativi all condizioni limit a trazion comprssion AD sin ϕ AB D A O ϕ B ϕ C tnsion limit a trazion tnsion limit a comprssion 7

8 Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) D A τ O ϕ B Posto: Si ottin: ϕ sin ϕ C Quindi si può sprimr la lunghzza dl sgmnto OC in funzion di : OC OB BC sin ϕ τ d Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) Il matrial subisc danno quando il maggior di crchi di Mohr rapprsntativi dl suo stato di tnsion raggiung la tangnza con la curva intrinsca. O δ ρ ϕ C Quindi, ponndo il raggio la posizion dl cntro dl crchio massimo pari rispttivamnt a ρ δ, la distanza d dalla curva intrinsca può ssr sprssa com: ( OC δ) ϕ ρ d sin 8

9 Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) Ricordando l sprssioni di OC, sinϕ, ρ δ, OC, sin ϕ, ρ d ( OC δ) sin ϕ ρ [ ( ) ], δ l sprssion di d pr uno stato di tnsion triassial divnta: Pr una stato di tnsion monoassial, l'sprssion prcdnt divnta: da ( ) d(, 0,0) ( ) Si può, quindi, ricavar il valor dlla tnsion quivalnt dalla rlazion: [ d(, )] d a, Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) N sgu ch: d a [ d(,, )] [ ( ) ] Si avrà prciò rottura quando: Casi particolari: > L torsion pura: τ xy torsion trazion: x x 4 τ xy 9

10 suprfici critica dfinita dal critrio di St. Vnant nllo spazio dll tnsioni principali Massima dformazion normal (d St. Vnant) Il matrial subisc danno quando la massima dformazion principal raggiung un valor critico. Nl caso triassial si ha: ε ε [ -ν ( ) ] [ -ν ( y ) ] Nl caso monoassial si ha: ε > ε L > ε L < -ε L Dal confronto si ottin ch si ha rottura s: ν ν ( ) > L ( ) Massima nrgia di dformazion (Bltrami) Il matrial subisc danno quando l nrgia accumulata pr dformazion raggiung un valor critico. F Nl caso triassial si ha: U s [ - ν( )] Nl caso monoassial si ha: U s Dal confronto si ottin ch si ha rottura s: ( ) > L ν 0

11 Massima nrgia di dformazion (Bltrami) all strno dl volum c è rottura la suprfici rapprsnta la condizion limit all intrno dl volum il matrial rsist stato di tnsion triassial Massima nrgia di distorsion (von Miss) Il matrial subisc danno quando l nrgia di distorsion accumulata raggiung un valor critico. stato di tnsion sfrico (idrostatico): variazion di volum stato di tnsion dviatorico: variazion di forma L nrgia di distorsion nl caso triassial si può scrivr: ( ν) ( ) ( ) [ ( ) U dist ] 6 ( ν ) Nl caso monoassial si ha: U dist > Si ha rottura s: ( ) ( ) ( ) L 6-5

12 stato di tnsion triassial Massima nrgia di distorsion (von Miss) Il matrial subisc danno quando l nrgia di distorsion accumulata raggiung un valor critico. Stato di tnsion triassial: S d d d S S stato di tnsion sfrico (idrostatico): variazion di volum Componnt idrostatica: S stato di tnsion dviatorico: variazion di forma Componnti dviatorich: d d d Massima nrgia di distorsion (von Miss) In campo lastico, pr la trazion F smplic, l nrgia di dformazion pr unità di volum val : U ε Nl caso triassial si avrà quindi: U tot U U U ( ε ε ε ) Avndosi dallo studio dlla rlazion tnsion-dformazion in campo lastico ch: ε [ ν( )] ε ν( ) [ ] ε [ ν( )] Si potrà scrivr l nrgia di dformazion total com: U tot [ ν( )] [ ν( )] [ ν( )] [ ν( )]

13 Massima nrgia di distorsion (von Miss) Quindi, pr uno stato di tnsion triassial l nrgia total di dformazion val: U tot [ ν( )] La part dovuta alla componnt sfrica dllo stato di tnsion varrà: ν U S S S ( S S S ) sf ν [ ] ( ) S Ricordando l sprssion di S si ottin: U sf ( ν) ( ν) S Quindi, pr diffrnza si ottin l nrgia di distorsion: U dist U tot U sf Massima nrgia di distorsion (von Miss) U dist U tot U sf [ ( )] ( ν) ν Ch può ssr scritta nlla forma: (la stssa sprssion potva ssr ricavata introducndo l componnti dviatorich dllo stato di tnsion nll sprssion dll nrgia di dformazion) U dist [ ] ( ν) ( ) ( ) ( ) 6 Nl caso in cui solo sia divrsa da zro si avrà: ( ) ( ) ( ν) ( ) ( ) ν Uass dist Udist, 0,0 6 Si può, quindi, ricavar l sprssion dlla tnsion quivalnt dalla formula: [ U (, )] U ass dist dist, [ ] ( )

14 Massima nrgia di distorsion (von Miss) Quindi: U ass dist [ ] [ U (,, )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dist Si avrà prciò rottura quando: Casi particolari: ν ν 6 ( ) ( ) ( ) > L torsion pura: τ xy torsion trazion: x τ xy Massima nrgia di distorsion (von Miss) suprfici critica dfinita dal critrio di von Miss nllo spazio dll tnsioni principali β γ α α β γ 4

15 Confronto tra l vari tori pr un stato di tnsion piano Trsca Ranin von Miss Confronto tra l vari tori sulla bas dl rapporto carattristico L /τ L Massima tnsion normal (Ranin-Lamé-Navir) Massima tnsion tangnzial (Trsca-Gust) Curva dlla rsistnza intrinsca (Coulomb-Mohr) Massima dformazion normal (Ponclt-d St. Vnant-Grashof) Massima nrgia di dformazion (Bltrami-Hubr-Haig) Massima nrgia di distorsion (Hubr-von Miss-Hncy) Matriali fragili.5 Valori sprimntali di L /τ L Matriali duttili

16 : ripilogo Massima tnsion normal (Ranin) > < Massima tnsion tangnzial (Trsca) Curva di rsistnza intrinsca (Mohr) Massima nrgia di df. (Bltrami) Massima nrgia di distorsion (von Miss) > L > Massima df. normal (d St. Vnant) ν ( ) > L ν ( ) ( ) > L ν ( ) ( ) ( ) > L 6