Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario.

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1 LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Il candidao risolva uno di du problmi 5 di qusii scli nl qusionario.

2 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico PROBLEMA Sia daa una circonfrnza di cnro O raggio una sua corda MN, condoa alla disanza da O.. Si calcoli il rapporo f fra l ara dl riangolo, formao dalla corda MN dall angni alla circonfrnza in M d N, qulla dl rangolo di lao MN, inscrio nlla circonfrnza, conrollando ch risula: f. Prscindndo dalla qusion gomrica, si sudi la funzion f s n racci il grafico.. Si scrivano l quazioni dll angni a ni puni di inrszion con l ass si calcoli l ara dl riangolo T ch ss formano con l ass.. Si calcoli l ara dlla suprfici piana, dlimiaa dalla curva, dall ass dalla ra. Puno Si considri la figura sgun. RISOLUZIONE Poso CO con, ssndo ON, pr il orma di Piagora applicao al riangolo CON si ha CN MN CN l alzza pari a NA CO ; di consgunza il rangolo avrà la bas pari a, prano l ara sarà

3 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria S MNAB MN NA. Il riangolo NOP è rangolo in N, prano a norma dl roma di Euclid si ha PC NC CO ; di consgunza l ara dl riangolo MNP è pari a S MN PC MNP. Il rapporo ra l ara dl riangolo MNP l ara dl rangolo MNAB è pari a: f Puno. Sudiamo la funzion Dominio:,, f ; Inrszion asciss: f ; Inrszioni ordina: non v n sono in quano non apparin al dominio; Simmri: la funzion è pari in quano f Posiivià: la funzion è posiiva s il numraor è posiivo in quano il dnominaor, ssndo un quadrao, è smpr posiivo nl dominio; di consgunza f sgni f f Posiivià: - Quadro di sgni ; ; di sguio il quadro di - + lim Asinoi vricali: f lim sinisro; prano è asinoo vrical dsro

4 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Asinoi orizzonali: lim f lim prano è asinoo orizzonal dsro sinisro; ; Asinoi obliqui: non v n sono in quano la funzion è razional fraa prsna asinoo orizzonal; infai f lim lim ; 8 Crscnza dcrscnza: la drivaa prima è f ' pr cui 6 la funzion è sramn crscn nll inrvallo in cui sramn dcrscn nll inrvallo in cui, sramn dcrscn in, non prsna srmi rlaivi. Di sguio il quadro di sgni dlla drivaa prima. ovvro la funzion è sramn crscn in Concavià convssià: la drivaa sconda è concavià vrso l alo in uo il dominio quadro di sgni dlla drivaa sconda. f ' Drivaa prima: - Quadro di sgni f '' pr cui la funzion prsna,, non prsna flssi. Di sguio il Drivaa sconda: f '' - Quadro di sgni. Di sguio il grafico di f

5 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 5 Puno La angn a f nl puno C, ha quazion m con m ' f di consgunza la angn ha quazion. La angn a f nl puno D, ha quazion m m ' f di consgunza la angn ha quazion con. Di sguio nllo ssso rifrimno carsiano il grafico dlla funzion du angni di quazioni. f dll

6 6 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico L du angni si inconrano nl puno E l cui coordina si ricavano risolvndo il sisma da cui E,. Il riangolo EDC ha bas DC d alzza Puno S EDC EO prano la sua ara è pari a DC EO La rgion piana, dlimiaa dalla curva, dall ass dalla ra è di sguio raffiguraa.

7 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 7 Calcoliamo l inrszioni ra la ra Si dv risolvr l quazion. la funzion f ovvro l quazion da cui si ricava Di consgunza i puni di inrszioni sono H,, G,. Daa la simmria, l ara dlla rgion di piano, dlimiaa dalla curva, dall ass dalla ra è pari al doppio dll ara dlla rgion di piano dlimiaa dalla curva, dall asciss posiiv dalla ra. Qus ulima è pari alla somma dll ara dl rangolo EOGF l ara sosa dalla curva nll inrvallo Si ha:,.

8 8 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico d d d OG EO d EOGF S S

9 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 9 PROBLEMA Si considri la funzion: ln f. Si sudi al funzion si racci il suo grafico, su un piano rifrio ad un sisma di assi carsiani orogonali O.. Si scrivano l quazioni dll angni a ni puni di flsso si calcoli l ara dl riangolo ch ss formano con l ass.. Si calcoli l ara dlla suprfici piana S, dlimiaa dalla curva, dall ass dalla ra di quazion.. La suprfici S è la bas di un solido, l cui szioni, onu con piani prpndicolari all ass, sono u riangoli quilari. Si calcoli il volum di. Puno Sudiamo la funzion ln Dominio: R in quano f ; R ; RISOLUZIONE Inrszioni ass asciss: ln f ; Inrszioni ass ordina: f ln ; Simmri: la funzion è pari in quano f ln ln f Posiivià: la funzion è smpr non ngaiva in quano l argomno dl logarimo è smpr maggior od ugual a, prano il logarimo porà al massimo annullarsi in sarà smpr posiivo pr ; di sguio il quadro di sgni dlla posiivià. ln + + Posiivià: ln f - Quadro di sgni Asinoi vricali: non v n sono in quano il dominio è R; Asinoi orizzonali: poichè lim ln ln orizzonali; ln lim Asinoi obliqui: non v n sono in quano lim il orma di D L Hopial in quano il limi si prsnava nlla forma ; si dduc ch non vi sono asinoi in cui si è applicao

10 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Crscnza dcrscnza: la drivaa prima è f ' prano, ssndo il dnominaor smpr posiivo, la drivaa prima è posiiva dov è posiivo il numraor ngaiva dov il numraor è ngaivo; di consgunza la funzion è crscn pr dcrscn pr prsna prano un minimo rlaivo d assoluo in m, ; di sguio il quadro di sgni dlla drivaa prima. Concavià convssià: la drivaa sconda è '' dnominaor f prano, ssndo il smpr posiivo, la drivaa sconda è posiiva dov è posiivo il numraor ngaiva dov il numraor è ngaivo; di consgunza la funzion è concava vrso l alo in, concava vrso il basso in,, prsna du flssi a angn obliqua in F F,ln sconda.,ln Drivaa prima: f ' - Quadro di sgni. Di sguio il quadro di sgni dlla drivaa Drivaa sconda: '' f - Quadro di sgni Il grafico è di sguio mosrao:

11 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria Puno La angn inflssional in F,ln ha quazion m ln con m f ' di consgunza la angn inflssional ha quazion ln. La angn inflssional in F,ln ha quazion m ln con m f ' di consgunza la angn inflssional ha quazion ln. La angn di quazion ln inconra l ass dll asciss in A ln, mnr la angn di quazion ln inconra l ass dll asciss in B ln,. L du angni si inconrano in C,ln. Di sguio nllo ssso rifrimno carsiamo il grafico dlla funzion ln l du angni di quazioni ln ln. f con

12 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Il riangolo ABC ha bas AB ln d alzza ln riangolo ABC è Puno S AB CO ABC ln Considriamo la figura di sguio in cui è raffiguraa la rgion S. CO prano l ara dl

13 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria L ara dlla rgion S è pari a S ln Applicando l ingrazion pr pari si ha: ln d ln ln Calcolando l ingral si ha: Puno A d. d ln arcan C d ln d ln arcan A S ln ln Pr por calcolar l ara dlla szion dl solido onua con piani prpndicolari all ass, è ncssario invrir la funzion ln Si ha: ln. con,ln. Nlla figura di sguio vin idnificao nl piano il lao dl riangolo quilaro szion.

14 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Il riangolo quilaro szion ha il lao BC AC L con,ln prano la sua ara è S di consgunza il volum dl solido è dao dall ingrazion dll ara nll inrvallo,ln : ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d S V Pr calcolar l ingral ln d applichiamo l ingrazion pr sosiuzion con ln da cui ln d d pr cui arcan ln d d d d In conclusion il volum dl solido è pari a V

15 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 5 QUESTIONARIO Qusio Un ufficial dlla guardia di finanza, in srvizio lungo un rao rilino di cosa, avvisa una moobarca di conrabbandiri ch dirig in lina ra, prpndicolarmn alla cosa, vrso un vcchio faro abbandonao. L angolo ra la dirzion dlla cosa il raggio visivo dll ufficial ch guarda la moobarca è di,6 ; il naan si rova a 6 miglia marin dal faro si muov con una vlocià di 8 nodi (miglia marin all ora). L ufficial ordina di salir immdiaamn in macchina, in modo da raggiungr il faro, prcorrndo una srada parallla alla spiaggia, minui prima ch vi approdino i conrabbandiri, pr coglirli con l mani nl sacco. A ch vlocià mdia, in km/h, dv muovrsi l auomzzo dlla guardia di finanza pr arrivar ni mpi prvisi? (Un miglio marino = 85,8 m). Considriamo la figura sgun. In accordo ocn sudda figura, l ufficial si rova nl puno O, la barca nl puno A il faro nl puno B la disanza AO è pari a 6 miglia marin. Applicando il roma di riangoli rangoli, la disanza ra la barca il faro è 6 AB AO co,6 8, 69 miglia marin al disanza vin prcorsa in ora 8 ovvro in minui. S l ufficial vuol arrivar minui prima di conrabbandiri, allora dovrà prcorrr 8,69 miglia marin in alrani minui ovvro in vlocià prcorrrà la disanza a una vlocià ora ; con qusa 6 8,69 miglia marin v 5,. Sapndo ch ora 6 km un miglio quival a 85,8 mri, la vlocià sarà pari a v 5,,858 96,6. h

16 6 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Qusio Si calcoli il limi dlla funzion sin La funzion sin di consgunza ln Il limi Si ha lim sin può ssr scria com Di consgunza ln lim sin ln lim lim sin sin, quando nd a.. ln sin ln ln lim sin sin lim può ssr calcolao ricordando i limii novoli ln lim sin lim ln lim lim sin sin sin,lim lim ln lim ln ln lim sin sin sin Qusio Nl riangolo ABC l angolo in B misura 6 qullo in C misura. Si drmini l angolo in modo ch, da H la proizion orogonal di A sulla ra BC, la quanià:. risuli massima. BC HC, AC Considriamo la figura sgun.

17 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 7 La limiazion gomrica da imporr sull angolo è. Applicando il orma di sni al riangolo ABC si ha: BC AC BC AC 5 BC AC sin sin BAC ˆ sin ABC ˆ 5 6 sin sin 6 6 Applicando il roma di riangoli rangoli al riangolo AHC si ha HC AC sin AC cos Di consgunza si ha: BC HC 5 f sin cos AC 6 Ricordando l formul di sorazion dl sno si ha: f sin cos sin cos cos sin cos cos 5 6 sin cos 5 6 sin cos 5 6 Bisogna quindi massimizzar la funzion f sin cos. Esisono vari alrnaiv, n prsniamo du, la prima basaa sull uso dll driva la sconda basaa su considrazioni rigonomrich. Drivazion La drivaa prima dlla funzion f sin cos ch è possibil scrivr com f ' f ' è cos sin cos an

18 8 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Nll inrvallo, il faor drivaa prima quival alla discussion dl sgno dl faor cos è smpr posiivo, prano discur il sgno dlla an, prano f ' an cos an ovvro, la drivaa prima è posiiva in,arcan ngaiva in arcan, la è massima pr arcan. 9. funzion f sin cos Di di cos an arcan an Drivaa prima: f ' cos - Quadro di sgni sguio il quadro sgni dlla drivaa prima: Poichè sin cos cos an f il suo valor massimo è pari a f arcan Uilizzo dlla rigonomria La funzion f sin cos 7 7 è somma di du funzioni sinusoidali, prano è scrivibil soo forma di solo sno o cosno con opporua ampizza fas, ovvro f sin cos Asin Bisogna quindi rovar la coppia A,. Uilizzando la formula di addizion dl sno si ha: 7 7

19 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 9 Asin Uguagliando l du sprssioni si ha Asin qusa idnià è soddisfaa s Asincos Acossin cos Acossin sin cos Acos Asin Elvando al quadrao ambdu l condizioni si oin A A sommando l du nuov condizioni si ha cos sin ovvro A 7 A 7 Considriamo, snza ldr la gnralià, A 7. Pr rovar il paramro di fas è ncssario risolvr il sisma cos sin Dividndo la sconda pr la prima dll sprssioni soprasani si oin ovvro an Quindi la funzion f sin cos arcan è scrivibil com f 7 sin arcan d ssndo una funzion puramn sinusoidal, assum il massimo quando l argomno è pari a ovvro quando

20 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico arcan. 9 d il valor massimo assuno è pari all ampizza dlla sinusoid, ovvro prcdnmn rovao. 7 com già Qusio Si scriva l quazion dlla angn al diagramma dlla funzion: nl puno P di ascissa. f log Il puno P ha coordina P,. La funzion bas di logarimi quival a ln f log ln f log è pari a ln f ' ln P, è La drivaa prima dlla funzion L quazion dlla angn in con m m f ' f log, applicando il cambiamno di ln prano l quazion dlla angn è ln ln ln ln Di sguio nllo ssso rifrimno carsiano il grafico di f log dlla angn ln. ln ln

21 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria Qusio 5 La suprfici piana S, dlimiaa dalla curva di quazion ln dall ass nll inrvallo, è la bas di un solido, l cui szioni, onu con piani prpndicolari all ass, sono u rangoli avni l alzza quadrupla dlla bas. Si calcoli il volum di. Il rangolo ha bas ln d alzza h ln, di consgunza la sua ara è A ln Il volum dl solido è pari all ingrazion dll ara A ln in, Applicando l ingrazion pr pari si ha: ln ln Calcolando l ingral si ha: V d ln Ad 8ln 8 V 8 ln ln d ln d 8ln 8 ln ln C ln d ln ln 8 : d

22 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Qusio 6 Si drminino l quazioni dgli asinoi dlla curva: La funzion f f è dfinia ni puni in cui ovvro in Un vnual asinoo vrical può ssr individuao calcolando il limi lim di consgunza è asinoo vrical dsro sinisro. R. lim. Si ha: Evnuali asinoi orizzonali possono ssr individuai calcolando i limii lim lim lim. Si ha: in cui si è applicao il orma di D L Hopial in quano il limi si prsna nlla forma ; di consgunza è asinoo orizzonal dsro. Calcoliamo anch il limi sinisro, si ha: lim di consgunza è asinoo orizzonal sinisro. Un vnual asinoo obliquo ha quazion m q con m lim Calcolando il limi dsro aravrso l applicazion, du vol, dl orma di D L Hopial si ha: m lim lim lim lim prano non sis un asinoo obliquo dsro. Calcolando il limi sinisro si ha: m lim

23 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria prano non sis un asinoo obliquo sinisro. In conclusion sis un asinoo vrical dsro sinisro di quazion, un asinoo orizzonal dsro di quazion un asinoo orizzonal sinisro di quazion. Di sguio il grafico di f. Qusio 7 La funzion arccos vincolo ch la funzion Si drmini il campo di sisnza dlla funzion: sin arccos, con f è dfinia ni puni in cui è dfinia f sia limiaa in, ovvro f. sin Nl caso in sam, la funzion sin arccos si riduc a risolvr la disquazion f con l ulrior f è dfinia in uo R, prano il dominio di sin sin La disquazion è smpr soddisfaa in quano la funzion sponnzial è sin smpr posiiva, mnr la disquazion è soddisfaa s sin sin sin sin Tal disquazion può ssr risola considrando la circonfrnza goniomrica di raggio uniario.

24 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico L quazion sin, nll inrvallo, ha du soluzioni: La disquazion sin è soddisfaa da ui gli angoli individuai nl smipiano ovvro da Alrnaivamn possiamo risolvr la disquazion aravrso il sgun sisma: sin ovvro si rovano l inrszioni ra la funzion : sin. gli angoli, sin la ra La figura di sguio mosra la risoluzion dlla disquazion:, poi si individuano

25 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 5 L soluzioni, com già rovao, sono Qusio 8 Un cubo di alluminio (dnsià,7 g cm ), avn lo spigolo l cm, prsna all inrno una cavià a forma di cilindro quilaro, avn il raggio di lunghzza r,5 cm. Si calcoli la massa m dl cubo. c Il cubo di spigolo l cm ha volum V Cubo l cm Il cilindro quilaro con raggio di bas r, 5 cm ha alzza pari al diamro di bas ovvro h 5 cm, di consgunza il suo volum sarà c c 5 V Cilindro rc hc r c cm La massa ffiva dl solido, ovvro dll inro cubo a mno dlla cavià cilindrica, è daa da m Cubo V V,7,9 g Cubo Cilindro 5π

26 6 N. D Rosa, La prova di mamaica pr il lico Qusio 9 Si calcoli il valor mdio dlla funzion: nll inrvallo. Il valor,mdio richiso è pari a cos V M d d cos cos Applicando l ingrazion pr pari si ha: sin d an d d an an an cos cos pr cui il valor mdio è pari a: V M an ln cos d cos ln ln cos C ln ln Qusio Un dlfino si rova nl puno A dl bordo ovs di una piscina circolar. Nuoa in lina ra pr m, occa con il naso il bordo dlla piscina nl puno B. Si gira nuoa in una dirzion divrsa in lina ra pr 5 m, arriva nl puno C siuao sul bordo dlla piscina diamralmn opposo al puno A dal qual ra pario. S la profondià dll acqua è ovunqu di,5 m, quani liri d acqua sono connui nlla piscina?. Considriamo la figura di sguio ch rapprsna il prcorso sguio dal dlfino. In paricolar il dlfino prcorr un rao di mri porandosi in B poi di 5 mri porandosi in A diamralmn opposo al puno di parnza O. Ciò significa ch AO è un diamro da ciò dduciamo ch il riangolo AOB è rangolo in B in quano inscrio in una smicirconfrnza con l iponusa coincidn con il diamro.

27 Lico scinifico di ordinamno sssion sraordinaria 7 Pr il orma di Piagora il diamro OA misura OA OB BA 5 mri. La piscina ha la forma di un cilindro con alzza coincidn con la profondià di,5 mri raggio di bas 6,5 mri, prano il suo volum sarà: V 6,5,5 5,65 m Poichè m dm liri, allora la piscina conrrà una quanià di acqua pari a V 565 8liri