Metodi Matematici per la Fisica

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1 Mtodi Mtmtici pr l Fisic Prov scritt - 7 sttmbr 011 Esrcizio 1 6 punti Si clcoli l intgrl I snx snhx dx Ci sono du mtodi, di sguito il primo Ci sono infiniti poli smplici inftti il sno iprbolico si nnull in ogni z k ikπ con k 0, ±1, ±, Il punto z 0 è un singolrità liminbil, inftti L intgrl può ssr dcomposto com I 1 i lim x 0 snx snhx 1 ix snhx dx 1 i ix snhx dx, pplicndo il lmm di Jordn nl smipino suprior d infrior rispttivmnt sul cmmino mostrto in figur si h: Imz Rz [ I 1 i lim R [ π Rs π [ C + R iz snhz dz C R iz snhz, z z k iz Rs snhz, z z k ] iz snhz dz 0 ] iz + Rs snhz, z z k k ] iz + Rs snhz, z z k, dov C ± R è il cmmino chiuso nl smipino suprior o infrior il sgno dl scondo trmin tin conto dl ftto ch C R è orintto in snso orrio I rsidui sono ±iz Rs snhz, z z ±iz k lim z ikπ z ikπ snhz kπ coshikπ 1 k0 kπ coskπ k kπ π k

2 L du sri srnno: iz Rs snhz, z z k iz Rs snhz, z z k k0 π k π k 1 1 π 1 π 1 + π 1 +, π 1 1 π π 1 + π Il vlor dll intgrl è quindi: I π π π 1 + π Esrcizio 5 punti Clcolr l intgrl π π 1 π + 1 π π/ π/ π π/ + π tnh π/ J C z 3 z 3 dz, dov C è il cmmino rttilino dl pino complsso ch unisc i punti z 1 i z L intgrl si riscriv com J i C Im[z 3 ]dz i [ Imz 3 + 3Rz Imz]dz, C il cmmino d intgrzion può ssr prmtrizzto spndo ch y 1 x/, con x Rz y Imz, zt t + i 1 t, dz 1 i dt, z0 z 1 i, z z L intgrl divnt, quindi, un intgrl di un funzion complss vribil rl t si h J i t i 0 [ 1 t ] + 3t dt i t 11t t 1 dt i t t 4 + 3t 1 dt i i i + 1

3 Esrcizio 3 5 punti Si L p, b l clss dll funzioni qudrto sommbili nll intrvllo [, b], con funzion pso px Si dimostri ch: fx L p, b fx L 1 p, b Si vrifichi, quindi ch l funzion soluzion pprtin ll clss L 1 1, fx L p, b si h gx xp ] [i rctnx x Usimo l disuguglinz di Schwrtz fx px < g, f g, gf, f, ch vl fx, gx L p, b, nl cso di gx 1, 1, f quindi l ssrto Pr dimostrt ch l funzion fxpxdx gx xp fx pxdx ] [i rctnx x pxdx <, si sommbil in R usimo l disuguglinz di Drboux, ovvro x i rctnx x dx i rctnx dx x dx π < Esrcizio 4 5 punti Si considri il sistm { n }, ortonorml complto nllo spzio H Si dimostri ch il sistm {b n }, dfinito dll rlzion b n n + β k, 3

4 con β C k fissto, è nch sso complto in H Pr dimostrr ch {b n } è complto fccimo vdr ch l unico vttor norml tutti i vttori b n è il vttor nullo Si c un vttor ortogonl d un b n gnrico b n, c 0 n + β k, c n, c + β k, c 0 n, c β k, c Indicndo con c n il cofficint n-simo, cioè c n n, c, si h dll rbitrrità di n si vinc ch c n βc k, βc k c 1 c c k c k+1 c n 0, l ultim idntità vl poiché l sri di cofficinti convrg Quindi, scludndo il cso bnl β 0 pr cui l ssrto è vro ssndo {b n } { n }, l prcdnt rlzion implic ch l unico vttor ortogonl tutti i b n è qullo nullo, ovvro il sistm {b n } è complto Esrcizio 5 6 punti Si considri l mtric si trovino utovlori utovttori; A 3 i i 3, si clcoli l mtric A L mtric è hrmitin, inftti: L quzion scolr è 3 λ i dt i 3 λ d cui si ottngono i du utovlori: A A T A λ 6λ + 5 0, λ 1 1, λ 5 Gli utovttori corrispondnti sono: 3 i i 3 1 β 1, λ 1, 1 β 1,, dll prim si h β 1, λ 1, 3 i { i i 4

5 Infin i du utovttori normlizzti sono u 1 1 1, u i 1 1 i, 1 con u 1 u 0, inftti sono utovttori rltivi d utovlori distinti di un mtric hrmitin Pr ciò ch rigurd l mtric A si h ch A u1, λ 1, u 1,, pr cui l rpprsntzion spttrl è A Tl rpprsntzion è connss qull norml dll trsformzion unitri A U 1/ 1/ A U, U i/ i/, dov l colonn di U sono i vttori u 1 u, ovvimnt, UU U U I N consgu ch pr riottnr l mtric di prtnz A si dv considrr l trsformzion invrs: 1/ 1/ A U A U i/ i/ / i/ 5 1/ i/ 1/ 1/ i/ i/ 1/ i/ 5/ i 5/ 1 + 5/ i + 5/ i1 5/ 1 + 5/ Esrcizio 6 5 punti Dt l quzion intgrl fx x + α xy1 xyfydy usndo il mtodo dll sri di Numnn, si vrifichi pr quli vlori rli di α sist d è unic l soluzion; l si dtrmini pr α 1 5

6 Pr risolvr l quzion con il mtodo dll sri di Numnn clcolimo l succssion di funzioni {f n x} con f 0 x x f 1 x x + α f x x + α f n x x + α xy1 xyf 0 ydy x + 3 α x xy1 xyf 1 ydy x + 3 αx α x xy1 xyf n ydy x + x n k 3 α x n k0 k 3 α L succssion tnd ll sri gomtric ti trmin α/3 ch convrg s α < 3/ In gnrl l condizion di convrgnz è dx α < 1 ˆK, dov l norm dl krnl, Kx, y xy1 xy, si ottin com ˆK dy Kx, y Quindi l richist α < 1 15 ˆK 34 < 3, grntisc l convrgnz dll sri gomtric In qusto cso l soluzion è k fx lim f n x x n 3 α 3 x 3 α L condizion sul prmtro α, un volt sommt l sri, può ssr rilsst, inftti l sprssion nlitic ottnut è bn dfinit pr ogni α 3/ Nl cso α 1 l sri convrg ll funzion k0 fx 3 x Si vrific fcilmnt ch qust funzion è un soluzion, fx x + x + 3x xy1 xy3ydy y xy 3 dy y 3 x + 3x 3 xy4 4 x + 3x 3 3x 6 1

7 Si ossrv inoltr ch il nuclo è sprbil, l quzion può ssr risolt com sgu Dfinimo l funzioni d cui si ottngono i cofficinti B 1, com M 1 x x, N 1 y y, M x x, N y y, qulli A ij, con i, j 1, B 1 B N 1 xxdx N xxdx x dx 3, x 3 dx 0, Risolvimo il sistm Si h soluzion s A 11 A 1 A 1 A N 1 xm 1 xdx N 1 xm xdx N xm 1 xdx 3 N xm xdx 1 αa A 1 C1 A 1 1 αa C 1 α/3 0 C α/5 1/3 0 dt 0 7/5 x dx 3, x 3 dx 0, C 0 x 3 dx 0, x 4 dx 5 B1 B /3 0 Nl cso α 1 α 3, 5 1 α/ α/5 C1 C C1 C /3 0 0 soluzion si ottin com fx x + C 1 M 1 x + C M x x + x 3x 7