Argomento 5. Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica Lezione 7 Lezione 8.

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1 Argomno 5 Lion 7 Lion 8 Frncsc Apollonio Diprimno Inggnri lronic -mil:

2 quion dll ond dominio dl mpo B r L-S-O-I-nonD r D r ε r B r µ r D r r J r J r cosni Pr smplicià di noion frmo rifrimno d ssn di crich sorgni imprss: B D µ ε

3 quion dll ond Fccimo l iposi ch i vori in gioco vrino solo in un dirion: ro µ su µ su µ su ε su ε su ε su ro

4 quion dll ond µ ε µ ε µε quion dll ond monodimnsionl L soluion di qus q. è un funion ond ch si propg nll dirion con vlocià v µε 1 v v g v f

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6 η η η Π Pon rspor A A A P ' ' η η Π

7 quion dll ond Pssndo l cso ridimnsionl i vori in gioco vrino su u r l dirioni B D D ε B µ J µ quion dll ond ridimnsionl - µ ε µε D ε Dominio dll frqun ω µ ε

8 Sism di quioni di prn dominio dll frqun Pr drminr un cmpo M occorr risolvr il sism di quioni diffrnili dl primo ordin ll driv prili cosiuio dll quioni di Mwll dll rlioni cosiuiv dl mo. L-S-O-I-D D r ω ε ω r ω r ω J mi r ω ωb r ω B r ω J i r ω J r ω ωd r ω r ω µ ω r ω J r ω σ ω r ω funioni vorili complss Pr smplicià di noion frmo rifrimno : funioni sclri complss di ω J J D ε r J σ r ω ω ω B µ r i mi ω B J ω D J J i mi ω µ σ ω ε ω ε σ ω ε con ε c J i ω ε c c σ ε ω

9 quion di lmhol non omogn Obiivo: ricvr un quion diffrnil dl scondo ordin ll driv prili in un sol funion voril incogni l cui soluion fornisc il cmpo M J mi J J J mi i i ω µ ω ε c ω µ ω ε c prndndo l divrgn di nrmbi i mmbri pr ognun dll du quioni - J mi J ωε ω µ i c ω µ ε c J mi ω µ J i J ω ε c i prndndo il roor di nrmbi i mmbri dll prim dll du quioni

10 ω µ ε c J mi ω µ J i J ω ε c i L clss di soluioni forni dll q. di lmhol è più mpi di qull forni dl sism di q. di Mwll oprion di drivion J ω ε i c quindi r u l soluioni dll quion di lmhol scglimo qull ch soddisfno nch l Dulmn: ω µ ε c J i ω ε c J mi J ω µ mi J mi ω µ

11 quion di lmhol omogn * In ssn di corrni imprss: In conclusion pr ricvr il cmpo M si può risolvr l: J i J mi ω µ J i con poi pplicr l: ω ε c J ω ε i c J i ωε c oppur procdr in mnir dul * Mol vol si indicno com quioni dll ond qull ch qui sono s chim com quioni di lmhol; in rlà il nom di quion dll ond è risrvo ll corrispondni quioni nl dominio dl mpo.

12 Funioni d ond Psso 1 dominio dll frqun funion d ond sclr Considrimo l quion voril di lmhol gnric: h in cui r è l funion voril incogni hr h è il rmin noo i i hi i quion sclr di lmhol Un soluion dll q. sclr di lmhol si chim: funion d ond sclr [ M ] funion complss funioni rli

13 Smplificndo considro solo l dipndn d un coordin d s. : [ ] M In quso cso l q. sclr di. omogn divn: d d ch nl cso mm com soluion: s Ponndo: α α α M confronndol con Psso dominio dll frqun funion d ond sclr smplificion dimnsionl

14 cosn di propgion α cosn di fs cosn di nuion L cosn è lg ll lungh d ond nl snso ch rpprsn l disn r du puni nll dirion di propgion pr i quli sis pr l funion un diffrn di fs pri π 1 π λ 1 1 λ π

15 Psso 3 dominio dl mpo funion d ond sclr smplificion dimnsionl [ ] [ ] R ω M M cos ω vriion di fs nllo spio nl mpo - φ ω - φ ω Si dfinisc vlocià di fs u nll dirion l vlocià di un ossrvor ch si muov nll dirion dll ss con vlocià l d non vdr vriioni di fs dφ ω d - d u ω ud

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20 ond sionri

21 Psso 4 dominio dll frqun funion d ond sclr cso gnrl: ridimnsionl [ M ] cos Suprfici quifs L form di li suprfici è us pr dnominr l ond: pin sfric cilindric Vor di fs Vor l cui dirion è l dirion in cui si h l m vriion di fs

22 M cos Suprfici quimpi S l mpi è cosn sull suprfici quifs l ond si dic uniform

23 Psso 5 dominio dl mpo funion d ond sclr cso gnrl: ridimnsionl [ ] [ ] ω M R M cos ω vriion di fs nllo spio nl mpo - φ ω Si dfinisc vlocià di fs u r nll dirion r l vlocià di un ossrvor ch si muov nll dirion di r con vlocià l d non vdr vriioni di fs dφ ω d - d ω d dr ω d r ω d r dr ω d dr r r r dr u r ω r ω cosθ u r ud

24 Psso 6 dominio dll frqun funion d ond voril cso gnrl: ridimnsionl [ ] M ˆ M S [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] M M M M M M ˆ ˆ ˆ vori complssi funion d ond sclr funioni complss funioni rli

25 Ricpiolndo h qus rpprsn i vori complssi o ˆ M 1 v [ ] ω R Suprfici quifs Suprfici quimpi Vor di fs qus rpprsn l corrispondni funioni vorili nl mpo o Vlocià di fs

26 Ond pin nllo spio libro Considrimo un soluion pricolr dll quioni di Mwll omogn ssn di grnd imprss nl dominio dll frqun nllo spio libro privo di suprfici di disconinuià. Mo L-S-O-I Considrimo ch l funion voril incogni si dl ipo: Z Y X vor complsso funioni sclri complss [ ] [ ] Z Y X Z Y X Z Y X d Z d Y X d Y d Z X d X d Z Y Modo di soluion pr sprion dll vribili

27 1 1 1 d Z d Z d Y d Y d X d X 1 d X d X d d 1 d Y d Y d d 1 d Z d Z d d 1 d X d X 1 d Y d Y 1 d Z d Z L qunià sclri complss dvono soddisfr l condiion: Condiion di sprbilià

28 d X X d d Y Y d d Z Z d s X X X s X X X 1 s X 1 l scond q. può ssr conglob nll prim ponndo X X X - Anlogmn si procd pr l lr du quioni drmin l polriion dl cmpo lrico drmin l propgion cioè l dipndn dll coordin

29 r r r r α α α Ponndo: r α r r sol. dll q. voril di. omogn α α α α α vor di propgion vor di fs αvor di nuion

30 r α r r sol. dll q. voril di. Omogn: funion d ond voril ˆ M α r M α α α ˆ r

31 Suprfici quifs S du puni P P individui di vori r d r pprngono d un suprfici quifs P P' r r' r - r' Il vor P Pr-r srà orogonl l suprfici quifs sono i pini normli : ond pin Suprfici quimpi α r cos l suprfici quimpi sono i pini normli α α // S oppur s α ond pin uniform

32 Ond pin uniformi monodimnsionli

33 Ond pin uniformi bidimnsionli

34 Ond pin uniformi bidimnsionli

35 Alri smpi di ond