MATEMATICA I Esercitazione del

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1 FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di lur in Inggnri Mccnic.. 9- MATEMATICA I Esrcizion dl..9 Cognom... Nom... Mricol n.... Svolgr gli srcizi sguni moivndo l rispos. Uilizzo di sofwr grfico-simbolico: Si No ) Assgn l funzion lmnr f( ) rccir l ndmno dl grfico dll funzioni f f f ( log) f f ( ) f f vidnzindo gli vnuli sinoi, inrszioni con gli ssi puni di mssimo/minimo. Svolgimno. Ricordndo il grfico dll funzion sponnzil g( ), possimo fcilmn rccir in squnz i grfici dll funzioni ( ) g (simmric di g rispo ss ordin), ( ) g (simmric di g rispo ss sciss) d f ( ) g( ) (rsl di g - cfr. Fig.). E fcil provr ch l inrszioni di f con gli ssi crsini sono i puni: P (,) P ( log,). Il grfico di f f ( log ) si oin d qullo di f oprndo l rslzion orizzonl ' log (cfr. Fig.). Ovvimn l funzion f inrsc gli ssi nll origin. Il grfico di f f si oin d qullo di f oprndo un simmri rispo l ss dll sciss ch ribl il rmo ngivo sul pino y (cfr. Fig.). Ovvimn i puni di inrszion di f con gli ssi coincidono con qulli di f. è pri ssndo f f L funzion f f ( ), cioè il grfico dll funzion è simmrico rispo l ss dll ordin si oin d qullo di f riblndo il rmo dsr dll ss nl pino (cfr. Fig.). L funzion f inrsc l ss dll ordin nllo ssso puno di f, cioè P (,), mnr non inrsc l ss dll sciss.. Fig. Fig. Fig. Fig.

2 ) Ni sii mo l mprur rl dll ri è v,69 ffinc d qull prcpi. Qus ulim vin misur mdin l indic di wind chill W., v v W ( v) Un dll formulzioni di W è qull lo, ov,69 v,76 v è l vlocià dl vno (m/s) è l, 66 v mprur rl ( C ) Discur l coninuià dll funzion W v in corrispondnz C. Svolgimno. Pr comodià dl lor, riporimo sinisr il grfico dll funzion v, 69, v v W( v),69 v,76,96 v Anch snz conoscr il grfico, possimo ffrmr ch l funzion è ovvimn coninu (in quno composizion di funzioni coninu) in ui i puni vr,69,. Discuimo or l coninuià ni puni v,69 v. v : ovvimn lim, inolr l funzion è coninu dsr risul W Puno,69 W v v,69. Quso prov ch l funzion è coninu. Puno,69 Inolr v : ovvimn l funzion è coninu dsr risul lim,96, quindi l funzion è coninu. W v v In conclusion, l funzion W è coninu in ui i puni. Ossrvzion. In modo nlogo si può provr ch. W,96.,69 W è un funzion coninu, pr ogni vlor dl prmro ) Discur l ndmno dl grfico dll funzion () s f s (vnuli sinoi, m/min) individundo s quli sono gli lmni dl grfico ch dipndono dl prmro R quli qulli ch non dipndono d l prmro. Svolgimno. Ossrvimo innnzi uo ch s, si h f () s s s s s s s L funzion f non è dfini in d h il grfico lo. Discuimo quindi il compormno dll funzioni. f pr Dominio: ovvimn risul Dom f R. Asinoi: si ossrvi ch, pr s, il numror d il dnominor sono infinii dllo ssso ordin.

3 Prcismn si h: s lim f s y sono sinoi orizzonli. s lim f. Quindi, pr ogni vlor dl prmro, l r y s M/min: ssndo f ' s s s /, si h ch - s ' : f s pr s - s f s pr s Prno - s l funzion è dcrscn pr s crscn pr s. Quindi il puno s è di minimo. Si ossrvi ch m f f. (cfr. Fig. ) ' : - s l funzion è crscn pr s dcrscn pr s. Quindi il puno s è di mssimo. Si ossrvi ch m f f. (cfr. Fig. ) Fig. Fig. ) L sps pr il crburn ( /h) di un rgho è proporzionl l cubo dll vlocià di crocir. Qundo viggi km/h, il coso orrio dl crburn si ggir inorno. I cosi fissi (sps pr dipndni, mnunzion, c.) mmonno circ 6 /h. Drminr l vlocià di crocir ch minimizz il coso chilomro. Svolgimno. Il coso orrio dl rgho è pri ll somm dll sps fiss di qull pr il crburn: dno con v l vlocià (km/h) dl rgho si h quindi C ( ) 6 h v k v. Spndo ch il coso orrio pr il crburn è di s v km/h, si dduc ch k k.. In conclusion quindi C v h ( ). v 6. Si ossrvi ch in un or il rgho prcorr v km, quindi il coso chilomro è pri Ch () v 6 Ck ( v). v v v Drminimo il minimo dll funzion C k (cfr. grfico lo). ' v 6 Poiché Ck v, si h v ' C v pr v 6. k In conclusion, l vlocià di crocir ch minimizz il coso chilomro è pri v 6 8, km/h. 6 8

4 FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di lur in Inggnri Mccnic.. 9- MATEMATICA I Esrcizion dl 7..9 Cognom... Nom... Mricol n.... Svolgr gli srcizi sguni moivndo l rispos. Uilizzo di sofwr grfico-simbolico: Si No ) L funzion ( ) f, ov è il mpo (in or), è ssun com modllo pr l concnrzion di un frmco inio nl sngu ll isn. () Clcolr l concnrzion mdi nll prim 6 or. (b) Vlur l cumul dll concnrzion pr. Svolgimno. () In virù dl orm dll mdi, l concnrzion mdi è pri cm 6 6 f () d Ossrvo ch d d d k, si h cm (b) L cumul dll concnrzion si oin sommndo l concnrzioni isnn l vrir dl mpo: Essndo cum f () d f () d, risul cum lim f ( ) d lim.9677 ) Clcolr gli ingrli ( ) log d () b d Svolgimno. ( ) d Poso () b, risul d d d log c d log / log d d cui sgu log log d d log c d cui, nuo cono Ingrndo pr pri si h dll ordin dgli infinii coinvoli, si dduc log log d lim log lim

5 ) Discur sisnz, unicià, loclizzzion dll soluzioni dll quzion log /. Adondo il modo di Nwon (dopo vrn vrifico l iposi) pr l pprossimzion di un dll soluzioni, clcolr l prim quro ir. Svolgimno. Esisnz, unicià, loclizzzion: ffronimo l qusion in du modi divrsi. I modo. (Esisnz unicià). Si ossrvi ch l quzion log / rpprsn l inrszion dll curv logrimic y log con l r y. Poiché l r h cofficin ngolr posiivo, è fcil ddurr ch si possono vr inrszioni o nssun inrszion (cfr. grfico lo). (Loclizzzion). Poso f ( ) log, ossrvimo ch f () / f () log /.9 Prno un dll du soluzioni è comprs nll inrvllo, II modo. Poso f ( ) log, l quzion divn f( ). Dllo sudio dl grfico dll funzion f si dduc fcilmn ch l quzion mm du soluzioni, di cui un comprs nll inrvllo,. Algorimo di Nwon. Si ossrvi ch l iposi dl orm di Nwon sono vrific ssndo - f() f() - f '( ) - f "( ) pr ogni Applicndo l lgorimo i Nwon sr f( n ) n n f '( n ) si ongono l prim quro ir sguni: risul posiiv nll inrvllo,..6.96

6 ''( ) '( ) 6 ( ) 8 ) Risolvr il sgun problm di Cuchy () '() Svolgimno. Considrimo innnzi uo l quzion omogn: ''( ) '( ) 6 ( ). L quzion crrisic 6 mm com soluzioni, prno l ingrl gnrl dll quzion omogn è c c L quzion compl mm un ingrl pricolr dl ipo Sosiundo nll quzion, si h () k '( ) k "( ) 9k 9k k 6k 8 k /. In conclusion, l ingrl gnrl dll quzion compl è c c. c c c / Tnuo cono dll condizioni inizili, si dduc ch l soluzion è c c c

7 FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di lur in Inggnri Mccnic.. 9- MATEMATICA I Prov dl 8.. Cognom... Nom... Mricol n.... Svolgr gli srcizi sguni moivndo l rispos. Uilizzo di sofwr grfico-simbolico: Si No log( ) ) ) Discur l ndmno dl grfico dll funzion f ( ) f () ( ) f (vnuli sinoi, m/min, flssi) individundo quli sono gli lmni dl grfico ch dipndono dl prmro R quli qulli ch non dipndono d l prmro. log log b) Drminr il numro dll soluzioni dll quzion. Svolgimno. ) Dominio: Asinoi: Dom f R lim f ( ) quindi l ss dll ordin è sinoo vricl Tnuo cono ch, pr, è infinio di ordin suprior log, si h lim f ( ) quindi l ss dll sciss è sinoo orizzonl. log M/min: ssndo f '( ), risul f '( ) / / D cui si dduc ch è puno di mssimo; m f f m / log Flssi. Risul f "( ), pr cui si h / Prno è puno di flsso. 8 m / 8 f "( ) / Si ossrvi ch il dominio gli sinoi non dipndono dl prmro. Al crscr dl prmro - il puno di mssimo m f umn (cfr. nch grfico lo) - il puno di flsso 8 fl / / si spos vrso sinisr il mssimo si spos vrso sinisr log log b) Si ossrvi ch si può scrivr quivlnmn com f ( ) f () ov f ( ) log /. In lri rmini l quzion quivl l y f( ) sism l cui soluzioni rpprsnno l sciss di puni di y f() inrszion dl grfico dll funzion con l r y f (). Tnuo cono dll ndmno dl grfico, poiché ch f ( m ), l quzion mm du soluzioni, di cui un ovvimn pri d.

8 / ) Clcolr l ingrl sin cos d sin / sin cos Svolgimno. Poso sin, si h d d log sin Si ossrvi infi ch ( ) d log c ) Adondo il modo di Eulro, drminr un soluzion pprossim dl problm di Cuchy '( ) ( ) ( ) [,] con psso h =. () Confronr i risuli con l soluzion s dr un sim dll rror prcnul in. Svolgimno. Soluzion pprossim. Ossrvo ch l quzion si scriv quivlnmn cioè '( ) f, ( ) con f, ( ), l lgorimo di Eulro è il sgun: '( ) ( ) ( ), Si oin quindi l bll sp n n n.. n n n n n f n, n n n Soluzion s. Ingrndo l quzion pr sprzion dll vribili, si h d ( ) d log ( ) c ( ) C Tnuo cono dll condizion inizil, si dduc ( ) d cui, pr l coninuià dll soluzion, risul ( ) (cfr. grfico lo). Confrono fr l du soluzioni sim rror. Riporimo sullo ssso digrmm l soluzion s qull pprossim (cfr. grfico lo). Error (%) / vlorso vlor pprossimo 6.6,8% / vlorso

9 . ) L funzion r( ) è un modllo dl sso di crsci dgli mmli di un pidmi influnzl, ov è il mpo (in giorni) rscorso dll inizio dll pidmi. () Drminr il giorno dl picco influnzl (b) Vlur il numro globl dll prson ch hnno conro l mli. Svolgimno. ) Il giorno dl picco influnzl corrispond ll sciss dl puno di mssimo dll funzion.. r '( )., risul Essndo r'( ). quindi il puno di mssimo è. IL picco influnzl si h il scondo giorno, con un umno di r() 7.79 nuovi mli. Si ossrvi inolr ch r() lim r ( ), quindi l ndmno dl grfico è qullo in figur lo. b) Ossrvo ch r () rpprsn il numro di prson ch si mmlno il - simo giorno dll inizio dll pidmi ( ). Il numro ol di prson ch hnno conro l mli si oin clcolndo l ingrl r () d. Ingrndo, pr pri, si ongono l nidriv dll funzion r ():.... d d. c.. k.k Prno si h r d r d k ( ) lim ( ) lim. k k

10 FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di lur in Inggnri Mccnic.. 9- MATEMATICA I Prov dl.. Cognom... Nom... Mricol n.... Svolgr gli srcizi sguni moivndo l rispos. Uilizzo di sofwr grfico-simbolico: Si No ) ) Discur l ndmno dl grfico dll funzion f ( ) (vnuli sinoi m/min) individundo quli sono gli lmni dl grfico ch dipndono dl prmro quli qulli ch non dipndono d l prmro. b) Drminr il numro dll soluzioni dll quzion. Svolgimno. ) Dominio: Cso : Dom f R poiché il dominio dipnd dl prmro, convin disingur i du csi Asinoi: lim f ( ) cioè l ss dll ordinr è sinoo vricl f lim f( ) lim ( ) pr cui non ci sono sinoi obliqui (in quno l funzion sponnzil è un infinio di ordin suprior d ogni p ponz ) M/min: f '( ) pr cui f '( ) d cui puno di minimo min f f Gli sinoi il puno di minimo non dipndono dl prmro. Il minimo dipnd dl prmro d è funzion crscn dl prmro (vdi grfici lo). Cso : Dom f R Asinoi: lim f ( ) cioè l ss dll ordinr è sinoo vricl lim f ( ) cioè l ss dll sciss è sinoo orizzonl M/min: f '( ) pr cui f '( ) pr ogni ; non ci sono né m, né min.

11 Gli sinoi non dipndono dl prmro. Il grfico è nlogo pr ogni vlor di. Possimo nor ch l crscr dl prmro il grfico si schicci sugli ssi (vdi grfico lo). b) Essndo f( ) dl grfico di f si dduc fcilmn il numro dll soluzioni dll quzion. Cso : ossrvimo ch min f d cui sgu ch - s l quzion h du soluzioni disin - s l quzion h du soluzioni coincidni - s non sis lcun soluzion dll quzion Cso : l quzion h un unic soluzion pr ogni vlor dl prmro ) L bll sgun mosr il rnd di consumi di frmci crdiovscolri. nno pzini ri (%), 7,,9 6, 7 6,9 7,7 8,9 Fon: Ossrvorio Anno 9 Cinc, L sprsso,..9 L prcnul dll scond rig è rliv l cmpion di rifrimno. Adondo un opporuno fiing di di, simr l prcnul dl 6 zzrdr un prvision pr il. Svolgimno. Dopo vr risclo l ss di mpo ( ), riporndo i di in un sism di rifrimno crsino (cfr. grfico lo). Appr vidn l opporunià di un fiin mdin rgrssion linr. L r di rgrssion è y r( ),87,697 D cui si dduc: sim 6: r(6) 7,66 prvision : r() 9,

12 ) L concnrzion di un frmco nl sngu diminuisc, mn mno ch il corpo limin il frmco, d un vlocià proporzionl ll qunià di frmco prsn (l cosn di proporzionlià è d cosn di liminzion). () Drminr l concnrzion dl frmco in funzion dl mpo. (b) S il frmco h un mpo di dimzzmno di or, dopo quno mpo dll ssunzion il 9 % dl frmco srà so limino? Svolgimno. ) Dno con C () l concnrzion dl frmco l mpo, il modllo ch dscriv l voluzion dll concnrzion è dl ipo C() C C '( ) k C( ) ov k è l cosn di liminzion. L soluzion dl problm di Cuchy si può fcilmn onr pr sprzion dll vribili: C'( ) k C( ) log C( ) k c C( ) C b) Il mpo di dimzzmno è lgo ll cosn di liminzion dll rlzion: C k log C( ) k log Prno nl cso in sm si h k... log. Risul quindi C( ) % C d cui si dduc ch occorrono circ or. pr liminr il 9% dl frmco nl sngu. k ) Clcolr gli ingrli d Svolgimno. Oprndo l sosiuzion l ingrl divn / ( / ) log D cui sgu d d c d log c rzionlizzndo si h d log c rcg d Svolgimno. Oprimo un ingrzion pr pri ponndo f '( ) g( ) rcg Pr cui si h f ( ) g( ) 9 risul 9 rcg d rcg d 6 9 Essndo 9 d rcg c 9 si dduc ch rcg d rcg rcg c