Relazioni Input/Output b
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- Giacinta Castelli
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1 Rlaioni Input/Output b 4.3 Valutaion gotrica di H( H ( Si risaini l'sprssion dlla funion di trasfrinto raional (4..5: H( Y( X( N b a (4..5 dov l radici di polinoi a nurator a dnoinator sono chiaat rispttivant ri poli dl filtro. Si vuol sprir la funion di trasfrinto in una fora convnint pr calcolar stiar il suo valor dalla gotria dl diagraa poli/ri nl piano ta... Usai Circuiti digitali 4_b
2 . Usai Circuiti digitali 4_b Pr far ciò si fattoriano i polinoi a nurator dnoinator in corrispondnti fattori dl prio ordin, ottnndo: oppur dov sono gli ri p sono i poli di H(. (4.3. p ( a ( b H( N (4.3. p ( a ( b H( N N
3 . Usai Circuiti digitali 4_b 3 L sprssion prcdnt si ottin dalla: (4.3. p ( a ( b H( N p ( a ( b p ( a ( b p ( a ( b H( N N N N N
4 H( b a N N ( ( p (4..3 Qusta sprssion di H( è utiliata pr calcolar valutar il valor di H( dalla gotria dl diagraa poli/ri nl piano. Infatti si possono far l sgunti considraioni: la quantità coplssa (- B θ quival al vttor diffrna dl vttor rotant dl vttor nl piano ; allo stsso odo (-p A φ quival al vttor diffrna dl vttor rotant dl vttor p nl piano.. Usai Circuiti digitali 4_b 4
5 Graficant: la quantità coplssa (- B θ quival al vttor diffrna dl vttor rotant dl vttor nl piano ; θ B B θ B o B. Usai Circuiti digitali 4_b 5
6 Graficant: allo stsso odo (-p A φ quival al vttor diffrna dl vttor rotant dl vttor p nl piano. Ф A A * p Ф A A p *. Usai Circuiti digitali 4_b 6
7 L api B A sono l lungh di corrispondnti vttori gli angoli θ φ sono gli angoli di vttori isurati in snso antiorario, assundo co rifrinto l ass ral positivo. Quindi poiché: H( N b a ( ( B A xp( xp( θ, φ (4.3.3 il prodotto di oduli di vttori la soa dll fasi di vttori possono ssr convnintnt adoprati pr il calcolo dlla apia dlla fas di H(.. Usai Circuiti digitali 4_b 7
8 . Usai Circuiti digitali 4_b 8 Il todo dlla valutaion gotrica dlla apia dlla fas di H(, è particolarnt util nl calcolo nlla valutaion dlla risposta di frquna H (. Volndo dtrinar H( sul crchio unitario poiché H (H(, dalla (4.3.3 L ultio addndo dlla (4.3.5 è un trin di fas linar quindi rapprsnta un ritardo puro. (4.3.4 ( ' N A a B b H (4.3.5 ( '( φ θ N H N +
9 Pr dtrinar l'intra funion dl sista (al variar di da a π, occorr considrar il vttor ch si uov lungo il crchio unitario in snso antiorario a partir dalla posiion corrispondnt a + ( sino a qulla corrispondnt a - ( π. Un spio di qusto caso è ostrato in figura 4.8. Fig.4.8 Diagraa poli/ri pr un risonator con guadagno unitario. Usai Circuiti digitali 4_b 9
10 . Usai Circuiti digitali 4_b Con l sprssioni dtrinat dl odulo dlla fas dlla risposta in frquna, si possono far significativ ossrvaioni sull andanto qualitativo dlla risposta in frquna, sna far alcun calcolo ffttivo. (4.3.4 ( ' N A a B b H (4.3.5 ( '( φ θ N H N +
11 Pr spio, s la funion di trasfrinto ha uno ro ch giac sul crchio unitario pr allora: H ( é nulla pr, da luogo a un dnt (notch nlla risposta di frquna inoltr a qulla frquna, ci sarà un brusco ritardo di fas di 8 in H ( co il vttor in corrispondna di qusto ro, cabia dirion. S, counqu lo ro è in prossiità dl crchio unitario ( non c è un polo di copnsaion ci sarà una variaion di pndna in H ( ch non va a ro, H ( cabirà rapidant (a non bruscant di alno 8.. Usai Circuiti digitali 4_b
12 Allo stsso odo s c è un polo in prossiità dl crchio unitario ( nssuno ro di copnsaion H ( tndrà ad un picco alla frquna corrispondnt co il vttor in qusto polo divnta più piccolo, H ( cabirà rapidant (a non bruscant di alno 8. Co il polo si sposta più vicino al crchio unitario, il picco dlla H ( divnta più appuntito sino a ch, al liit, H ( divnta infinito a qulla frquna il filtro divnta instabil.. Usai Circuiti digitali 4_b
13 . Usai Circuiti digitali 4_b 3 Efftto di uno ro sulla funion di trasfrinto Si considri il trin gnrico rlativo a uno ro dlla H (, sprssa in trini di produttoria: ( B B B B ϑ ϑ : pr cui arg fas : odulo: θ B B o
14 S è sul crchio unitario: pr ϑ B ϑb si avrà una brusca variaion di fas di 8, in quanto B cabia bruscant dirion co ruotando passa su θ B B. Usai Circuiti digitali 4_b 4
15 L fftto di uno ro (- - sulla funion di trasfrinto si può così dscrivr: Il valor inio dlla apia tnd a ro, quando più è vicino lo ro al crchio di raggio unitario. S lo ro giac sul crchio di raggio unitario il odulo si annulla la fas varia bruscant da π a + π pr. La pndna è tanto più accntuata, quanto più lo ro polo è prossio al crchio di raggio unitario. L fftto di una coppia di ri coplssi coniugati (- - (- * - coportrà la prsna di: - inii pr l apia - bruschi aunti di fas pr π -. Usai Circuiti digitali 4_b 5
16 . Usai Circuiti digitali 4_b 6
17 . Usai Circuiti digitali 4_b 7
18 . Usai Circuiti digitali 4_b 8 Efftto di un polo sulla funion di trasfrinto Si considri il trin gnrico rlativo a un polo dlla H (, sprssa in trini di produttoria: φ A p A con - p p : pr cui p arg fas : p p p odulo: p Ф A A p *
19 Efftto di un polo sulla funion di trasfrinto S p è sul crchio unitario pr la fas varirà bruscant di -8 in quanto A varia bruscant dirion ruotando in opposiion di fas. p * Ф A A. Usai Circuiti digitali 4_b 9
20 L fftto di un polo (-p - - sulla funion di trasfrinto si può così dscrivr: Il valor inio dlla apia tnd a ro, quando più è vicino lo ro al crchio di raggio unitario. S il polo giac sul crchio di raggio unitario il odulo divnta infinito la fas varia bruscant da +π a - π pr. La pndna è tanto più accntuata, quanto più il polo polo è prossio al crchio di raggio unitario L fftto di una coppia di poli coplssi coniugati (-p - - (-p* - - coportrà la prsna di: - assii pr l apia - bruschi diinuioni di fas pr π -.. Usai Circuiti digitali 4_b
21 . Usai Circuiti digitali 4_b
22 . Usai Circuiti digitali 4_b
23 Espio: Sipl Avraging Un filtro a tpo discrto olto splic è la splic dia obil (sipl oving avrag con psi unifori, dfinita da: y(n + x(n Y( + - X( con la corrispondnt funion di trasfrinto: H( + ( + ( + ( ( Usai Circuiti digitali 4_b 3
24 Esplicitando la H(: H( + ( + ( + ( + - ( + ( ( + ( pr Si può vrificar ch : + risul crchio di raggio unitario quispaiati poli in un polo in, ch annulla l fftto dllo ro in ( + ( + ( + ( + ( + - (+. Usai Circuiti digitali 4_b 4
25 Gli ri H( si hanno dunqu pr valori di dov: H( + ( ( + + ( pr (+ ssndo - πn, ssi corrispondono all (+ st radici unitari di: π/(+ pr,, La radic pr non è coprsa, prché qusto ro a è annullato dal polo rlativo al fattor a dnoinator (-; ci sono quindi ri quivalnti quispaiati distribuiti nl crchio di raggio unitario poli nll origin dgli assi.. Usai Circuiti digitali 4_b 5
26 Ciò è illustrato in fig. 4.6 pr 5. Fig.4.6 Grafico poli/ri pr un filtro a dia splic (sipl avrging. Usai Circuiti digitali 4_b 6
27 Sulla bas dl diagraa poli/ri in figura 4.6. l andanto dlla risposta in frquna pr il caso in cui 5 sarà facilnt tracciabil. Si può infatti intuir ch : il assio valor di H ( dv avrsi pr, poiché il prodotto dll lungh di vttori dgli ri al punto, sarà più grand ch pr ciascun altro punto sulla circonfrna unitaria. H ( diinuirà co aunta da sino ad annullarsi pr π /(+π/6 (π/3, poi aunta sino ad un assio rlativo in prossiità di π/, quindi dcrsc sino ad annullarsi pr π/3 cosi via.. Usai Circuiti digitali 4_b 7
28 L andanto sarà co riportato nlla figura 4.7. Fig.4.7 Risposta di apia pr un filtro a dia splic (sipl avrging Si può facilnt ostrar ch H ( è dato dalla funion di Dirichlt: sin( + H '( ( + sin. Usai Circuiti digitali 4_b 8
29 . Usai Circuiti digitali 4_b 9 Infatti: ( / ( / (( ( / / ( ( ( ( pr ( ( H( / ( - ( sn sn H
30 odulo fas dlla H( : H ( ( / Il odulo la fas di H ( H ( ( + sin( + ( + sin sn(( + / sn( / saranno rispttivant : fas { H '( } ( /. Usai Circuiti digitali 4_b 3
31 Si noti ch ntr gli + valori di input sono diati pr produrr ciascuno valor di output, ci sono ri in H( quindi qusto è un spio di filtro di ordin. In bas allo scha dlla figura 4.4 dlla iplntaion dl filtro trasvrsal non ricorsivo, ritardi sono sufficinti pr raliar qusto filtro. In gnral l ordin dl filtro è più grand dl nuro di poli o dl nuro dgli ri; non può ssr più grand dl nuro di ritardi nll iplntaion dl filtro.. Usai Circuiti digitali 4_b 3
32 Espio: Unity gain rsonator Un altro spio di calcolo di risposta in frquna è un risonator (rsonator dl scondo ordin con un guadagno assio di risonana approssiativant unitario. La funion di trasfrinto approssiata è : b H( + a ( ch prsnta du ri pr - una coppia di poli all intrno dlla circonfrna unitaria, dtrinabili con i cofficinti dl polinoio a a. + a. Usai Circuiti digitali 4_b 3
33 Poiché si vuol ch i poli siano coplssi, ssndo a a rali, dv ssr: a + a + a p, p ± a /4 a Riscrivndo il dnoinator di H( co: ( - p - ( - p * - - p * - -p - + p - -R(p - + p -, ssndo: a * -a a R -a I + a R + a I a R (p -p * - R(p - Si ottin: a - R(p a p > a /4.. Usai Circuiti digitali 4_b 33
34 Il diagraa poli/ri ch ostra i vttori pr dtrinar H ( è riportato in figura 4.8. X o o X Fig. 4.8 Diagraa poli/ri pr il risonator a guadagno unitario unity gain rsonator. Usai Circuiti digitali 4_b 34
35 Si vuol dtrinar b tal ch il guadagno alla frquna di risonana sia approssiativant unitario, cioè, H (. Si noti ch il guadagno assio si ha approssiativant dov la fas dl vttor rotant è più vicina a qulla di poli p p quindi pr p. Inoltr i vttori da a forano un triangolo rttangolo con l ass ral i loro contributi di apia alla H( saranno rispttivant uguali a quindi: B sinθ B sinθ Alla frquna di risonana, il odulo dl vttor diffrna a a p sarà: A - p - - a a 4 4 ch pr p prossio al crchio di raggio unitario, può ssr approssiato da: A (-a /.. Usai Circuiti digitali 4_b 35
36 Quindi poiché anch p p * è prossio al crchio unitario, si può approssiar la lungha dl vttor o p a qulla dl vttor o - -o, riportata in figura con lina vrtical trattggiata, ch da: A B sin θ B B. Quindi dalla (4.3.4, si ha : H'( bbb A A b A A A affinché il guadagno in apia sia unitario pr dv ssr: a b A b b a, ( Usai Circuiti digitali 4_b 36
37 Una ipltaion dl filtro, ch consnt qusta riduion ad un guadagno unitario (unity-gain-scaling, è ostrato in figura 4.9. Il risultato dll rispost in frquna pr un banco di risonatori a frquna unitaria con frqun ugualnt spaiat è riportato in figura 4.. Fig. 4.9 Iplntaion di un risonator a guadagno unitario unity gain rsonator. Usai Circuiti digitali 4_b 37
38 Il risultato dll rispost in frquna pr un banco di risonatori a frquna unitaria con frqun ugualnt spaiat è riportato in figura 4.. Fig. 4. Rispost in apia di un banco di risonatori a guadagno unitario unity-gain rsonators. Usai Circuiti digitali 4_b 38
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