Analisi di Fourier e campionamento a
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- Natalia Damiano
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1 Analisi di Fourir campionamnto a 6.0 Introduzion Quando si studiano squnz di input discrt nl tmpo, la toria dl trattamnto di sgnali discrti nl tmpo, è una toria a s stant ch non ncssita di rifrimnti dirtti alla toria dl trattamnto di sgnali a tmpo continuo. La condizion idal pr non dovr utilizzar l rlazioni tra i sgnali discrti nl tmpo i sgnali continui nl tmpo, é ch il sgnal di input sia digital l'output dl nostro filtro non ncssiti dlla convrsion digital-analogica. M. Usai Circuiti digitali 6_a 1
2 Pr introdurr l analisi di Fourir si assum l ipotsi ch i sgnali siano digitali, trascurando gli fftti dlla convrsion di sgnali da continui nl tmpo a discrti nl tmpo dtrminando dirttamnt, la rlazion tra la trasformata z la trasformata di Fourir. In particolar saranno studiat: la convrgnza, l proprità l'applicazion dlla Trasformata di Fourir Discrta nl Tmpo DTFT. Saranno inoltr trattati i filtri quadrati a spcchio (quadraturmirror filtrs, ch sono utilizzati pr ottnr banchi di filtri (filtr banks pr toria dll wavlt (wavlt thory. M. Usai Circuiti digitali 6_a 2
3 6.1 Trasformat di Fourir a tmpo discrto L'analisi di Fourir ha una importanza fondamntal sia pr la laborazion di sgnali discrti nl tmpo sia pr i sgnali continui nl tmpo. La trasformazion discrta nl tmpo (Discrt-Tim Fourir Trasform DTFT è già stata introdotta: H(z pr z= oppur H( =H'(ω pr z= ssa corrispond alla risposta in frqunza di un sistma LTI (Linar Tmpo Invariant. M. Usai Circuiti digitali 6_a 3
4 La DTFT è util pr dscrivr divrs altr oprazioni di laborazion di sgnali com: la modulazion; il campionamnto l'intrpolazion. M. Usai Circuiti digitali 6_a 4
5 DTFT In gnral considrato un sgnal x(n la funzion complssa X'(ω=X( dfinita da: X ( = n= x( n n (6.1.1 s X( è convrgnt, è chiamata trasformata discrta nl tmpo di Fourir (Discrt-tim Fourir Trasform DTFT dl sgnal x(n. Essa rapprsnta l sprssion dlla: quazion di analisi (analysis quation. M. Usai Circuiti digitali 6_a 5
6 In particolar s la rgion di convrgnza (ROC pr la z trasformata: X ( z = x( n z n= includ il crchio unitario, allora la DTFT è smplicmnt la X(z calcolata sul crchio unitario cioè: n X z= ( = X ( z (6.1.2 In ogni modo, anch s la ROC pr X(z non includ il crchio unitario o X(z non sist affatto, la DTFT può tuttavia ssr considrata convrgnt in crti utili casi. M. Usai Circuiti digitali 6_a 6
7 L'utilità dlla DTFT è analoga a qulla dlla Trasformata di Fourir Continua nl tmpo CTFS quindi è anch chiamata Spttro (spctrum dl sgnal x(n discrto nl tmpo. Inoltr si noti ch poiché è una funzion priodica nlla frqunza angolar continua ω con priodo 2π, anch X(, pr la sua dfinizion, dv ssr priodica in ω con lo stsso priodo, così com prcdntmnt vrificato pr la risposta in frqunza H(. M. Usai Circuiti digitali 6_a 7
8 Un'altra util intrprtazion dlla rlazion: X( = x( n n= n è ch ssa rapprsnta una spansion ( o sviluppo in sri di Fourir dlla funzion priodica X( con cofficinti di Fourir x(n. Quindi tutt l proprità dlla Trasformata di Fourir Continua nl tmpo CTFS ( Continous-Tim Fourir Sris o Fourir Exapansion sono applicabili alla Trasformata di Fourir Discrta nl Tmpo DTFT continua nlla frqunza, sostitundo al dominio dl tmpo, il dominio dlla frqunza. M. Usai Circuiti digitali 6_a 8
9 La Trasformata Discrta Invrsa nl Tmpo (Invrs Discrt-Tim Fourir Trasform IDTFT è dfinita dalla rlazion: π 1 n xn ( = X( dω ( π π Qusta rapprsnta l quazion di sintsi ( synthsis quation M. Usai Circuiti digitali 6_a 9
10 Qusta quazion di analisi (o DTFT : X( = x( n n= n la corrispondnt quazion di sintsi o (IDTFT invrsa : π 1 n xn ( = X( dω 2 π π costituiscono la coppia dll rlazioni ch sprimono la DTFT la IDTFT invrsa. M. Usai Circuiti digitali 6_a 10
11 In particolar l'quazion di sintsi: π 1 n xn ( = X( dω 2π π mostra analiticamnt com: X( è lo spttro di x(n, infatti il sgnal x(n è rapprsntato com somma dll componnti sinusoidali dlla forma: 1 n X 2π ( dω M. Usai Circuiti digitali 6_a 11
12 Convrgnza o sistnza dlla DTFT Possono ssr stabilit divrs condizioni pr la convrgnza o sistnza dlla DTFT. La I condizion è ch la rgion di convrgnza pr X(z includa il crchio unitario, cioè, s x(n é la risposta all'impulso di un sistma stabil, allora X( sist. Quindi da ( la DTFT sist s x(n è assolutamnt sommabil cioè: n= x( n < (6.1.4 M. Usai Circuiti digitali 6_a 12
13 Matmaticamnt, in qusto caso si dic ch X( é assolutamnt convrgnt convrg uniformmnt a una funzion continua di ω. Pr smpio, la risposta in frqunza H( pr un sistma stabil sarà smpr un funzion continua dlla frqunza. Altrnativamnt la sri di Fourir pr una funzion priodica X( convrg com dll rror quadratico mdio, s X( è intgrabil al quadrato (squar-intgrabl, cioè 1 2π π π X ( 2 dω < (6.1.5 M. Usai Circuiti digitali 6_a 13
14 Una II condizion si dduc dalla rlazion di Parsval pr CTFS, una condizion di convrgnza quivalnt è ch x(n sia quadraticamnt sommabil (squar-summabl, carattrizzato da una nrgia finita cioè: n= 2 x ( n < (6.1.6 Ciò quival a dir ch X( sist anch pr tutti i sgnali discrti nl tmpo x(n, avnti nrgia finita. Si noti ch ssndo: x( n 2 n n x( n 2 (6.1.7 M. Usai Circuiti digitali 6_a 14
15 La condizion: ma non vicvrsa: 2 x(n implica x(n n n 2 2 n x(n non implica Cioè una squnza assolutamnt sommabil dv avr nrgia finita, ma una squnza ad nrgia finita non è ncssariamnt assolutamnt sommabil. Quindi X( può convrgr com MSE (Man Squar Error rror quadratico mdio anch s: la ROC dlla X(z non includ il crchio unitario, o anch s X(z non sist affatto. Ciò accad spcialmnt quando X( prsnta dll discontinuità. M. Usai Circuiti digitali 6_a 15 2 n x(n
16 Anch s x(n non è assolutamnt o quadraticamnt sommabil, in casi particolari può comunqu sistr la X(. I sgunti smpi illustrano qusti asptti. Esmpio La squnza sponnzial causal: x(n= a n u(n ha la z trasformata: 1 X ( z =, z = 1 > a, 1 az 1 quindi X( sist pr a <1 prché la ROC contin il crchio di raggio unitario. 1 X( =, a < 1. ( a M. Usai Circuiti digitali 6_a 16
17 La fas l ampizza corrispondnti pr a=0.8 sono riportat in figura. M. Usai Circuiti digitali 6_a 17
18 Dalla dfinizion di somma in (6.1.1, la DTFT di x(n non convrg pr a >1, si rimanda l sam dl caso x(n = u(n. D altra part, la z trasformata dll sponnzial anticausal ω(n= -a u(-n-1 è : 1 W( z =, z < a, 1 az 1 quindi W( - sist pr a > 1 ma non pr a < 1. Cioè 1 W ( =, a > 1. ( a Di sguito sarà trattato il caso a =1, ch corrispond a ω(n=u(-n-1. M. Usai Circuiti digitali 6_a 18
19 6.2 Proprità dlla DTFT L proprità dlla DTFT (Trasformata di Fourir Discrta nl Tmpo sono quivalnti a qull dlla CTFS ( Trasformata di Fourir Continua nl Tmpo, ma con i domini dl tmpo dlla frqunza scambiati. Qust proprità corrispondono anch a qull dlla trasformata z, a mno ch la X( non sia assolutamnt convrgnt, cioè, quando la ROC pr X(z non comprnda il crchio unitario. M. Usai Circuiti digitali 6_a 19
20 Proprità dlla DTFT Linarità Dati i sgnali x 1 (n x 2 (n ch hanno rispttivamnt DTFT X 1 ( X 2 ( è chiaro ch: ax 1( n + bx2( n ax1( + bx 2 ( (6.2.1 con a b variabili arbitrari. Cioè la DTFT di una combinazion linar di du sgnali x 1 (n x 2 (n è ugual alla stssa combinazion linar dll corrispondnti DTFT. M. Usai Circuiti digitali 6_a 20
21 Traslazion nl tmpo modulazion (Tim shift and modulation Un ritardo o anticipo nl dominio dl tmpo produc uno sfasamnto linar nl dominio dll frqunz cioè: 0 x( n n 0 la proprità dual è: x( n n X ( X ( 0n ω j( ω 0 (6.2.2 (6.2.3 Cioè la modulazion complssa nl dominio dl tmpo corrispond a uno sfasamnto nl dominio dlla frqunza. M. Usai Circuiti digitali 6_a 21
22 Esmpio Ponndo a=1 nll funzioni saminat nll smpio prcdnt si ottngono l sgunti funzioni causal anticausal a gradino: x(n= u(n ω(n= u(-n-1 nssuna dll quali è assolutamnt o quadraticamnt sommabil. Tuttavia pr ntramb sist la trasformata discrta di Fourir. Pr dimostrarlo si noti ch: u(n-u(n-1=δ(n quindi U( [1- - ]=1, poiché [1- - ]=0, U( dv ssr dlla forma: 1 U ( j ω n 0 = +C δω ( ω π, 1- - Cδ(ω è la DTFT dlla componnt cc di ampizza pari a C/2π M. Usai Circuiti digitali 6_a 22
23 La componnt cc dlla u(n ha ampizza 1/2, ch implica ch C=π, a quindi un 1 ( + (, ( j πδ ω ω 1- ω π Analogamnt la DTFT dll funzion a gradino anticausal U(-n-1 è data da : u 1 ( n 1 + (, ( πδ ω ω π M. Usai Circuiti digitali 6_a 23
24 Esmpio Una squnza util è: y(n=(-1 n x(n, ch è un smpio dlla modulazion complssa con ω o =±π. Dalla rlazion (6.2.3, la corrispondnt DTFT è smplicmnt: ( ( j = ω± π (6.2.7 Y X ch implica ch lo spttro X( è traslato di mzzo priodo. Quindi, in fftti, l parti positiva ngativa dllo spttro sono intrscambiabili. M. Usai Circuiti digitali 6_a 24
25 La fas l ampizza corrispondnti pr a=0.8 sono riportat in figura. M. Usai Circuiti digitali 6_a 25
26 Pr la x(n ral, ciò quival a traslar l intrvallo di Nyquist da 0 a π di circa mtà ( π/2. Si noti ch s X( - è un filtro passa basso, allora Y( - è un filtro passa alto. La rlazion quivalnt dlla z trasformata è: Y(z = X(-z ch implica ch l intro piano z ( ch includ i poli gli zri è invrtito sia risptto all ass ral ch immaginario. M. Usai Circuiti digitali 6_a 26
27 Invrsion d'ass S x(n è a tmpo invrso pr ottnr x(-n, si trova facilmnt dalla dfinizion di X( ch, infatti poiché: X( = x( n n= n x( n X ( (6.2.9 Quindi pr invrtir l'ass dl tmpo, si invrt l'ass dlla frqunza dlla corrispondnt X( intorno a ω = 0 vicvrsa. Ma pr x(n ral, ciò quival a far il coniugato di X(, cioè; x( n X *( pr x( n ral ( M. Usai Circuiti digitali 6_a 27
28 Una proprità rlativa concrnnt la coniugazion di x(n o dll su DTFT è ch: x * * ( n X ( ( Diffrnziazion Diffrnziando ntrambi i mmbri dlla DTFT dfinita nlla (6.1.1, troviamo ch: dx ( dω = n= jnx( n n quindi n x(n j dx( dω ( M. Usai Circuiti digitali 6_a 28
29 Convoluzion Chiaramnt pr l analogh proprità dll CTFS z-trasformat: x 1 ( n * x2( n X1( X 2 ( ( In particolar pr un sistma LTI a tmpo discrto con input x(n output y(n risposta impulsiva h(n, si ha : Y ( = H ( X ( ( dov H( è la risposta in frqunza dl sistma. M. Usai Circuiti digitali 6_a 29
30 Qusta è naturalmnt la proprità input/output fondamntal dlla DTFT pr sistmi LTI. Pr smpio la proprità dllo sfasamnto nl tmpo può ssr considrata un caso particolar dlla proprità di convoluzion con H( = no corrispondnt alla risposta all'impulso h(n=δ(n-n 0. M. Usai Circuiti digitali 6_a 30
31 M. Usai Circuiti digitali 6_a 31 Moltiplicazion La proprità dual dlla (6.2.13: dov la convoluzion priodica è dfinita com: Pr smpio, drivando l proprità dlla modulazion com un caso particolar dlla proprità dlla moltiplicazion, si ha: ( ( ( 2 1 ( ( ω ω π j j X X n x n x ( ( ( ( ( ( λ λ ω π π λ ω ω d X X X X j j j j = ( ( ( ( ( 0 ω 0 ω ω ω ω ω πδ π = j j on j X X n x
32 Accumulazion L'oprazion di accumulazion dfinita da : y( n = k = x( k ( è quivalnt nl tmpo discrto alla intgrazion nl tmpo continuo corrispond alla convoluzion: y( n = x( n u( n. Quindi : 1 Y ( = X ( U ( d ssndo u(n U ( = + πδω ( ** j0 Y( = X( + πδω ( X( πx( δω ( = Si noti ch X( j0 dv ssr finito prché Y( sista ch y(n ha una componnt continua di ampizza 1/2 X( j0, a mno ch X( j0 = 0. π δω ( ** è la DTFT dlla componnt continua di u(n di ampizza pari a 1/2. M. Usai Circuiti digitali 6_a 32
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