Richiami di analisi armonica. F. Previdi - Controllo digitale - Richiami di analisi armonica 1

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1 Richiami di analisi armonica F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

2 Schma dlla lzion. Introduzion. Sri di Fourir 3. Sviluppo di Fourir 4. Trasormazion di Fourir (di sgnali a tmpo continuo) 5. Trasormazion di Fourir (di sgnali a tmpo discrto) 6. Schma riassuntivo 7. Richiamo da IMAD 8. Matlab F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

3 . Introduzion ll approccio a tmpo continuo alla progttazion di sistmi di controllo digital è ondamntal potr dscrivr il sistma composto dalla sri di convrtitor A/D, rgolator digital convrtitor D/A com un unico sistma a tmpo continuo. (t) u*() A/D *() R*(z) D/A u(t) A tal scopo è ncssario dscrivr accuratamnt l rlazioni dinit dai blocchi di convrsion. Pr comprndr i lgami ch intrcorrono tra i sgnali a tmpo continuo i corrispondnti sgnali campionati si utilizzrà la trasormazion di Fourir. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3

4 otazion t tmpo continuo tmpo discrto T priodo a tmpo continuo priodo a tmpo discrto rqunza continua n indic di armonica t R Z R n Z + T R Z + F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

5 . Sri di Fourir () t t R ( t + T ) ( t) t Sgnal a tmpo continuo priodico di priodo T È possibil associar a la sgunt squnza di coicinti (complssi): F ( n) jn t T T ( ) t dt pr n K,,,,,, K dov π T è la pulsazion dlla unzion F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

6 ota Gli scalari F ( n) si dicono coicinti di Fourir di. ota La succssion { F( n) } n K,,,, K si dic spttro di. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6

7 La rlazion ch ornisc lo spttro di è invrtibil: ( t) + n F jnt ( n) Qusta rlazion si dic sri di Fourir di. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7

8 ota 3 () S t è ral allora i coicinti di Fourir godono dlla sgunt proprità: F n F n ( ) ( ) pr cui la sri di Fourir si può scrivr nlla sgunt orma: [ ] jn t jn () ( ) ( ) t t F + F n + F ( n) + n F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 8

9 ota 4 Smpr nll ipotsi ch ( t) sia ral, sruttando l sprssion prcdnt, la sri di Fourir può ssr sprssa in orma trigonomtrica: Un sgnal sviluppabil in sri di Fourir può ssr quindi visto com la somma di una costant F(), la componnt a pulsazion nulla (o continua), di una ininità numrabil di componnti cosinusoidali dtt armonich. La componnt con pulsazion si dic armonica ondamntal. La componnt con pulsazion n si dic armonica n-siman sima. ( n) { F } n,,... () t F( ) + F( n) cos( ( n ) t + F( n) ) + n arg Si dic spttro di ampizza di. I suoi lmnti rapprsntano il pso di ciascuna armonica nl sgnal. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 9

10 La pulsazion minima min nmin di un sgnal è qulla corrispondnt al minimo valor di n tal pr cui F n ( ) La pulsazion massima max nmax di un sgnal è qulla corrispondnt all strmo suprior di valori di n tal pr cui F n ( ) S max < il sgnal si dic a banda limitata. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

11 Esmpio Sri di Fourir dll onda quadra (t) T/ T/4 T/4 T/ t Sgnal (a tmpo continuo) priodico di priodo T pulsazion π T () t,,, T T T t < T 4 t < T 4 4 t < T F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

12 T T 4 ( ) jnt () jnt F n t dt dt pr n K,,,,,, K T T T T 4 con π T F ( n) T 4 jnt 4 jnt dt T T T jn T jnπ 4 T 4 jnπ jnπ pr nπ sin nπ n K,,,,,, K F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

13 pr n,,, K F(n).. -. Pulsazion armonica ondamntal π T n F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3

14 ota on è un sgnal a banda limitata, cioè contin tutt l armonich multipl intr dlla ondamntal. Il pso dll armonich diminuisc all aumntar di n, quindi l armonich in alta rqunza contano mno. ota Si ossrvi ch F().5, cioè la componnt a pulsazion nulla (o continua) è ugual al valor mdio dl sgnal. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

15 Si issi T si provi a sommar gradualmnt l armonich (solo su un priodo; si ossrvi ch l armonich pari sono null) n n-,, n-3,-,,, (t).6 (t).6 (t) tmpo tmpo tmpo. n-5,-3,-,,,3,5. n-,...,. n-5, (t).6 (t).6 (t) tmpo tmpo tmpo F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

16 Esmpio Sri di Fourir dl trno di impulsi (t) T T T T t Sgnal (a tmpo continuo) priodico di priodo T () t imp( t ht ) + h F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6

17 F T + jnt ( n) imp( t ht ) dt T T h pr n K,,,,,, K nll intrvallo T, c è solo il trmin corrispondnt a h T T T T imp [ ] () t jn t + dt ( x) imp( x x ) dx g( x ) Ricordando ch g si ha F ( n) imp() t T T jn t jn T dt T T F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7

18 pr n,,, K F(n) T n F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 8

19 ota Il trno di impulsi può ssr quindi rapprsntato mdiant la sua sri di Fourir: jnt t T ota () + n on è un sgnal a banda limitata. on solo: ssndo il suo spttro costant, tutt l armonich hanno la stssa importanza. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 9

20 Com prima, si issi T si provi a sommar gradualmnt l armonich n-,.., + n-,.., + n-,.., (t) 5 (t) 5 (t) tmpo tmpo tmpo F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

21 Conclusion (sri di Fourir) ( t) Sgnal a tmpo continuo priodico (T) F ( n) T T jn t () t dt Squnza (a rqunza) discrta n K,,,,K F ( n) Squnza (a rqunza) discrta ( t) + jnt F( n) n Sgnal a tmpo continuo priodico (T) Sri di Fourir F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

22 3. Sviluppo di Fourir ( ) Z ( + ) ( ) Sgnal a tmpo discrto priodico di priodo È possibil associar a la sgunt squnza di coicinti (complssi): F ( n) ( ) jn pr n K,,,,,, K dov π è la pulsazion dlla unzion F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica

23 ota Gli scalari F ( n) si dicono coicinti di Fourir di. ota La succssion { F( n) } n K K,,,, si dic spttro di. ota 3 ( ) La unzion F n è priodica di priodo in quanto π π π j ( ) ( n+ ) jn jn j n+ jπ jn F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3

24 La rlazion ch ornisc lo spttro di è invrtibil: ( ) F jn ( n) Qusta rlazion si dic sviluppo di Fourir di. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

25 ota 4 ( ) S è ral allora i coicinti di Fourir godono dlla sgunt proprità: F n F n ( ) ( ) da cui risulta ch pr dinir lo spttro bastano i valori di pr n ˆ dov ˆ è il più piccolo intro maggior o ugual di F ( n) F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

26 ota 4 Smpr nll ipotsi ch ( ) sia ral, sruttando l sprssion prcdnt, lo sviluppo di Fourir può ssr sprssa in orma trigonomtrica: Un sgnal dotato di sviluppo di Fourir può ssr quindi visto com la somma di una costant F(), la componnt a pulsazion nulla (o continua), di ˆ componnti cosinusoidali dtt armonich. La componnt con pulsazion si dic armonica ondamntal. La componnt con pulsazion n si dic armonica n-siman sima. ( n) { F } n,,... ˆ n ( ) F( ) + F( n) cos( ( n ) + F( n) ) arg Si dic spttro di ampizza di. I suoi lmnti rapprsntano il pso di ciascuna armonica nl sgnal. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6

27 La pulsazion minima min di un sgnal è qulla F n corrispondnt al minimo valor di n tal pr cui ( ) La pulsazion massima max maxdi un sgnal è qulla corrispondnt all strmo suprior di valori di n tal pr cui F( n) S max < il sgnal si dic a banda limitata. min F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7

28 Esmpio Sviluppo di Fourir dll onda quadra discrta () * * * * * * * * * * * * * * * Sgnal (a tmpo discrto) priodico di priodo * * * / ( ),,, * * * /4 /4 / 4 4 < < < 4 4 pulsazion tmpo π F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 8

29 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 9 ( ) ( ) π n j jn jn n F Quando n è nullo o multiplo di si ha: ( ) n F n j π

30 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3 Quando n non è multiplo di è util sapr ch: ( ) ( ) jn jn jn jn jn jn jn jn jn jn n F γ γ γ γ α β+ β α i i pr γ Quindi si ha ch: π + π + n n n n sin sin sin 4 sin

31 .6 6 F(n) n F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3

32 Si provi a calcolar lo sviluppo di Fourir al crscr di ().6 ().6 () tmpo tmpo tmpo F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 3

33 Conclusion (sviluppo di Fourir) ( ) Sgnal a tmpo discrto priodico () F ( n) ( ) jn Squnza (discrta) di psi dll armonich priodica () n K,,,,K F ( n) Squnza (discrta) di psi dll armonich priodica () ( ) ( n) jn F Sgnal a tmpo discrto priodico () Sviluppo di Fourir F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 33

34 4. Trasormazion di Fourir (continua) () t t R Sgnal a tmpo continuo La sgunt unzion complssa dlla variabil ral (rqunza), s sist, F ( j) + jt ( t) dt si dic trasormata di Fourir di si indica F ( j) F [ ( t) ] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 34

35 La trasormazion di Fourir è invrtibil si ha: ( t) + F( j) jt d π F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 35

36 ota ( ) La unzion F j si dic spttro di. ota otazion: F ( j) F( ) ota 3 S () t da cui risulta: è ral allora si ha ch: π + F ( j) F ( j) jt () t F( j) + F ( j) [ jt ] d F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 36

37 ota 4 Smpr nll ipotsi ch t sia ral, sruttando l sprssion prcdnt, l antitrasormata di Fourir può ssr sprssa in orma trigonomtrica: + ( ) d π () t F( j) cos( t + arg F( j) ) Un sgnal continuo ch ammtt trasormata di Fourir può ssr visto com la somma di una ininità non numrabil di componnti sinusoidali dtt armonich. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 37

38 La pulsazion minima min di un sgnal è il minimo valor di tal pr cui F( j) La pulsazion massima max di un sgnal è l strmo suprior di valori di tali pr cui F( j) S max < il sgnal si dic a banda limitata. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 38

39 Esmpio Trasormata di Fourir dll impulso (t) t F + jt j dt [ imp() t ] imp() t F() F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 39

40 Esmpio Trasormata di Fourir dll impulso rttangolar (t) a a t () t, a t < a, altrov F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

41 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4 ( ) ( ) + + a a t j t j dt dt t j F ( ) a a a j j a j a j a a t j + sin on è un sgnal a banda limitata (anch s il pso dll armonich diminuisc all aumntar di ).

42 .5 F(j)/a a F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 4

43 Conclusion (trasormazion di Fourir continua) ( t) Sgnal a tmpo continuo F ( ) + () t jt dt Funzion continua (dlla rqunza) Trasormazion di Fourir F ( ) ( t) F( j) Funzion continua (dlla rqunza) + j t d π Sgnal a tmpo continuo F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 43

44 5. Trasormazion di Fourir (discrta) ( ) Z Sgnal a tmpo discrto La sgunt unzion complssa dlla variabil ral, s sist, ( ) + j F ( ) j si dic trasormata di Fourir discrta di [ ] si indica F( j ) F* ( ) F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 44

45 ota La unzion F ( j ) si dic spttro di. ota otazion: F ( j ) F( ) ota 3 La unzion F ( j ) è priodica di priodo π in quanto j( + π) j j π j F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 45

46 La trasormazion di Fourir è invrtibil si ha: ( ) π π F ( j ) j d ota 4 S ( ) è ral allora si ha ch: F ( j ) ( j F ) da cui risulta ch pr dinir lo spttro bastano i valori di pr π F ( j ) F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 46

47 ota 5 ( ) Smpr nll ipotsi ch sia ral, l antitrasormata di Fourir può ssr sprssa in orma trigonomtrica: π π ( ) ( j ) ( ( j F cos + arg F ) d Un sgnal discrto ch ammtt trasormata di Fourir può ssr visto com la somma di una ininità non numrabil di componnti sinusoidali dtt armonich. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 47

48 La pulsazion minima min di un sgnal è il minimo valor j F di tal pr cui ( ) La pulsazion massima max di un sgnal è l strmo suprior di valori di tali pr cui ( j F ) S max < il sgnal si dic a banda limitata. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 48

49 ota 6 (Dnsità spttral di nrgia) La sri ( ) + j F ( ) j + convrg s il sgnal ha nrgia inita: ( ) < + Si dinisc dnsità spttral di nrgia la quantità: S ( ) ( j F ) F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 49

50 Torma di Parsval π π + + S π π s π π π j js ( ) d ( ) ( s) d π j( s) j( s) ( ) ( s) d ( ) ( s) π + + s + + s π π d + + s + ( ) ( s) ( ) Quindi + ( ) S( ) π d π π F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

51 Esmpio Trasormata di Fourir dll impulso (discrto) (h) * * * * * 4 3 * * * 3 * 4 h F* + [ ( )] jh j imp h ( h) h F() F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

52 Esmpio Trasormata di Fourir dll impulso rttangolar (discrto) (h) * * * * * * * * * * * * * a a * * * * * * * * h ( h), a h a, altrov F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 5

53 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 53 ( ) ( ) j j j a j a j j j a j a j a a h h j j F ( ) ( ) + + a a h h j h h j j h F Pr si ha: ( ) + + a F a a h j Pr < π si ha: + sin sin a

54 5 a 4 3 π F π F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 54

55 Conclusion (trasormazion di Fourir discrta) ( h) Sgnal a tmpo discrto F ( ) + h ( h) jh Funzion continua (dlla rqunza) priodica (π) Trasormazion di Fourir F ( ) Funzion continua (dlla rqunza) priodica (π) ( h) π π F ( ) jh Sgnal a tmpo discrto d F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 55

56 6. Schma riassuntivo Sviluppo di Fourir Sri di Fourir Trasormata di Fourir (disc.) Z priodica ( h) h ( t) t R priodica T ( h) h Z tmpo tmpo tmpo (somma) (somma) T F ( ) Z (sri) Z Z π (intgral inito) (sri) (intgral inito) F Z priodica ( ) F rqunza j ( ) priodica rqunza R rqunza π Trasormata di Fourir (cont.) (intgral) ( t) t R F( j ) R tmpo R R (intgral) rqunza F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 56

57 7. Richiamo da IMAD Si considri un procsso stocastico stazionario y( ) (a mdia nulla). Una ralizzazion di un procsso stocastico è (di atto) un sgnal a tmpo discrto ma non ha nrgia inita. Un procsso stocastico ha potnza mdia inita. Si dinisc dnsità spttral di potnza (o spttro) ( ) γ ( τ) + τ Essa è la trasormata di Fourir discrta dlla unzion di covarianza γ τ E y Γ y y y jτ ( ) [ ( ) y( t ) ] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 57

58 Si considri ora il problma di ottnr una stima campionaria dllo spttro a partir da un numro inito di campioni di y( ) y (), y( ), K, y( ) I approx II approx ˆ y, τ Un possibil stimator dllo spttro è: Γˆ ( ) γ ( τ) ( ) y, jτ dov γˆ τ y, τ () τ y( ) y( + τ ) τ E uno stimator asintoticamnt corrtto non consistnt. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 58

59 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 59 Uno stimator altrnativo dllo spttro è: ( ) ( ) ( ) τ τ τ γ Γ,, ' ˆ ˆ ' j y y () ( ) ( ) ˆ', τ τ + τ γ τ y y y dov Si può dimostrar ch ( ) ( ) () () Γ *, ˆ ' s s j r r j j y s y r y y Inatti ( ) ( ), ' ˆ Γ j y y ()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ γ τ +,, ˆ' j y j s r s r j y y s y r y r s τ r

60 F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6 Quindi è possibil ottnr la stima dllo spttro di un procsso stocastico stazionario usando il sgunt stimator: ( ) ( ), ' ˆ Γ j y y dov ( ) j y è uno stimator dlla trasormata di Fourir discrta di ( ) y

61 8. Matlab Ci vuol una crta attnzion nll utilizzar la unzion pr il calcolo dlla DFT (Discrt Fourir Transorm). Essa implmnta un icint algoritmo noto com FFT (Fast Fourir Transorm) ch calcola la sgunt unzion dov: ( ) F ( n) ( ) jn è un sgnal composto di campioni π Si può notar ch l sprssion F(n) è in raltà molto più simil a qulla dllo sviluppo di Fourir ch non alla trasormata discrta (com ra ragionvol aspttarsi). F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6

62 >> t:.:; >> ysin(t)+.5*randn(siz(t)); rad/s T s. s Il comando da usar è >> Yt(y); Tmpo di calcolo Usando t:.6 s Esgundo il calcolo dirtto dlla dinizion:.568 s (!!) tmpo [s] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 6

63 >> plot(abs(y.^)) >> hold Currnt plot hld >> plot(abs(f.^),'r:') Lo spttro è priodico di priodo. Essndo il sgnal ral, bastano / campioni pr dscrivrlo. x / rqunza [??] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 63

64 Com si tara l ass dlla rqunza? S si prscind dal tmpo di campionamnto, la rqunza è sprssa in cicli pr tmpo di campionamnto quindi i suoi limiti sono d. x 4 Pr avr la rqunza in cicli al scondo [Hz] è suicint dividr pr il tmpo di campionamnto T s (o moltiplicar pr s ) Frqunza [Hz T s ] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 64

65 La rqunza assum quindi valori da a s /T s. Qusto intrvallo è quindi diviso in intrvalli uguali di ampizza pari a s //(T s )/T, la risoluzion in rqunza dllo spttro. Quindi >> [:]/(*Ts); x 4 Di solito non si rapprsnta ino a s, ma ino a s / 8 6 Dov è la sinusoid? 4 In rad/s.5 Hz Frqunza [Hz] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 65

66 x Bassa risoluzion in rqunza. Essa inatti è: s T T In qusto caso.hz s Frqunza [Hz] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 66

67 Pr migliorarla si dv aumntar T. 3.5 x Tmpo [s] Frqunza [Hz] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 67

68 Tnndo conto dl tmpo di campionamnto, la dnsità spttral di potnza dv ssr moltiplicata pr T s. L unità di misura dipnd dall unità di misura dl sgnal. Pr smpio s sso è stato misurato in Volt, la dnsità spttral di potnza sarà misurata in V /Hz. Dnsita Spttral di Potnza [V /Hz] x s Hz Frqunza [Hz] Dnsita Spttral di Potnza [V /Hz] x s Hz Frqunza [Hz] F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 68

69 l Signal Procssing Toolbox sistono dll GUI pr l analisi in rqunza il iltraggio digital di sgnali. >> sptool Consnt di visualizzar un sgnal, il suo spttro, progttar d applicar un iltro digital conrontar gli spttri. F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 69

70 Filtraggio a banda strtta pr isolar la componnt a Hz... F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7

71 Porzion dl sgnal iltrato: 4 priodi in. s, cioè Hz F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7

72 Esist anch una GUI più voluta potnt pr la sola progttazion di iltri digitali (ch vanno poi sportati nl worspac d applicati ai sgnali) >> datool F. Prvidi - Controllo digital - Richiami di analisi armonica 7