Equazioni differenziali

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1 Equazioni diffrnziali L quazioni diffrnziali sono quazioni in cui l incognita è una funzion () in cui copaiono l drivat dlla funzion stssa. Pr spio l quazion ' è un quazion diffrnzial (dl prio ordin prché copar solo la drivata pria di ). Co si risolv un quazion diffrnzial? Risolvr un quazion diffrnzial è piuttosto coplsso quindi trattro solo alcuni casi: quazioni diffrnziali dl prio ordin o particolari quazioni diffrnziali dl scondo ordin ( dov cioè copar anch la drivata sconda). Ma prché si studiano l quazioni diffrnziali? L quazioni diffrnziali sono una part dlla atatica olto iportant pr l scinz applicat quali la fisica la biologia. Infatti quando in un fnono c è una variazion nl tpo di una quantità ( qual ad spio il nuro di individui di una popolazion, la quantità di carica sull aratur di un condnsator, la tpratura di un corpo, la vlocità di un corpo, abbiao una vlocità di variazion di ( cioè la drivata di (. S possiao dtrinar una rlazion tra ( ( oppur ( troviao un quazion diffrnzial ch, risolta, ci prtt di dtrinar (. Crchro quindi di prsntar alcuni spi di fnoni il cui studio porta a dovr risolvr un quazion diffrnzial. 9

2 Equazioni diffrnziali dl prio ordin Espio : ' + E chiaro ch in qusto caso pr trovar la funzion basta intgrar ntrabi i bri (risptto alla variabil ). ( ) ' d + d (*) + + c, c R Abbiao trovato quindi una faiglia di funzioni ( l priitiv di a ( ) + ). S poi conosciao il valor ch la funzion dv avr in un dato punto (chiaata condizion inizial ), posso dtrinar una soluzion particolar dll quazion. S pr spio nl nostro caso avssi anch la condizion sostitundo nlla (*) abbiao ( ) c la soluzion particolar risulta +. ( ) c, quindi confrontando con la condizion inizial troviao 3

3 Espio : ' Scriviao la drivata co spariao l variabili spostando a sinistra la a d dstra d (supponiao quindi ): d d Intgrando ntrabi i bri abbiao: Poiché c c d ln + c ± + c ± rapprsnta un qualsiasi nuro ral divrso da zro, possiao scrivr : con Considrando prò l quazion inizial è chiaro ch anch è una soluzion quindi possiao dir ch l soluzioni dll quazion diffrnzial sono in conclusion, R Nota Possiao vrificar ch l soluzioni sono qull trovat calcolando la drivata: abbiao ' sostitundo nll quazion diffrnzial inizial ottniao un idntità. Naturalnt anch in qusto caso s abbiao una condizion inizial, pr spio ( ), ottniao quindi la soluzion particolar. E chiaro quindi ch, con passaggi analoghi all spio, in gnral l quazion diffrnzial ha co soluzion gnral ' a, a R, R 3

4 Espio 3: ' Procdiao co abbiao fatto nl caso prcdnt sparando l variabili: d d ln + c d c ±, R +c (spr ossrvando ch nl procdinto si suppon a anch è soluzion quindi si può considrar R ). Anch in qusto caso possiao, s vogliao, vrificar ch l soluzioni trovat soddisfano l quazion diffrnzial assgnata. S poi abbiao anch una condizion inizial, pr spio ( ), ottniao quindi la soluzion particolar è. 3

5 Espio 4: ' + In qusto caso non possiao sparar l variabili procdiao nl sgunt odo (todo di Lagrang o dlla variazion dlla costant ): risolviao l quazion ' ch ci dà co soluzioni ; considriao non co una costant a co una variabil, indichiaola con () iponiao ch ( ) sia soluzion dll quazion diffrnzial assgnata cioè calcoliao ' '( ) + ( ) sostitundola nll quazion diffrnzial ricaviao '( ) ' ( ) + ( ) ( ) + '( ) '( ) Infin ricaviao () : ( ) ( + ) d + d + c + c Quindi la soluzion dll quazion diffrnzial risulta: [ ( + ) + c ( + ) + c NOTA Non spr è ncssario applicar il todo dlla variazion dlla costant pr ricavar la soluzion. S pr spio abbiao ' possiao usar il todo dlla sparazion dll variabili: d d d ln + c + c c ± + 33

6 Espio 5 Considriao pr spio l quazion ' ( + ) Procdiao così: d ( + ) d d arctg + c + + quindi in conclusion tg + c Nota L quazioni dl tipo ' a( ) b( ) sono dtt a variabili sparabili prché pr risolvrl si procd sparando l variabili. Quando dividiao pr b ( ) dobbiao porlo divrso da zro poi considrar a part l soluzioni dll quazion diffrnzial nl caso in cui sia b ( ). Nl nostro spio poiché b ( ) + non ci sono probli non dobbiao aggiungr nssuna soluzion alla soluzion gnral trovata. Espio 6 Considriao l quazion a variabili sparabili ' d d d + c + In qusto caso poiché pr potr dividr pr supponiao dobbiao poi controllar s è soluzion dll quazion diffrnzial: in qusto caso si vrifica ch è soluzion dll quazion diffrnzial quindi va aggiunta all soluzioni. In conclusion allora l soluzioni dll quazion diffrnzial sono + 34

7 Equazioni diffrnziali dl scondo ordin Studiro solo quazioni diffrnziali dl scondo ordin a cofficinti costanti d oogn cioè un quazion dl tipo: a '' + b' + c z Pr risolvrla supponiao ch ( z R) sia soluzion: pr dtrinar z calcoliao sostituiao nll quazion diffrnzial. z ' z ; z z z z z '' a z + b z + c a z + b z + c L quazion a z + b z + c (dtta quazion carattristica associata all quazion diffrnzial) può avr: > quindi du soluzioni rali distint z, z in qusto caso si può vrificar ch la soluzion dll quazion diffrnzial è: z z c + c con c, c R quindi du soluzioni rali coincidnti z z in qusto caso si può vrificar ch la soluzion dll quazion diffrnzial è: z ( c + c ) con c, c R < quindi du soluzioni coplss coniugat z, α ± iβ in qusto caso si può vrificar ch la soluzion dll quazion diffrnzial è: α ( c cos β + c snβ) con c, c R Espi ) '' 5' + 6 L quazion carattristica è in qusto caso: z z + 6 z, z c, ( c, R Quindi la soluzion è c c ) ) '' 4' c + c, ( c, R L quazion carattristica è : z z + 4 ( z ) z z Quindi la soluzion è ( ) c ) 3) '' + 9 L quazion carattristica è: Quindi la soluzion è z + z ± 3i 9, c cos3 + c sn3, c, c R 35

8 Probli ch si risolvono utilizzando un quazion diffrnzial Probla Considriao una popolazion ch viv in un abint isolato (non ci sono prdatori), con risors illiitat pr la qual prciò si suppon ch, indicando con N( il nuro dgli individui dlla t, t + t si abbia: popolazion al tpo t considrando un intrvallo di tpo [ N ( t + N( n nati n orti S supponiao ch il nuro dgli individui nati nll intrvallo di tpo t sia proporzional a N( t scondo una costant α ch il nuro dgli individui orti nllo stsso intrvallo di tpo sia proporzional a N( t scondo una costant β possiao scrivr, ponndo a α β, N ( t + N ( a N ( t N ( t + N ( a N ( t Abbiao quindi ottnuto un quazion diffrnzial in cui la funzion da dtrinar è N( (funzion dl tpo) pr qullo ch abbiao visto avro quindi ch N( cioè la crscita (nl caso ch α > β quindi a > ) o la dcrscita (s α < β quindi a < ) dlla popolazion sarà di tipo sponnzial. S conosciao una condizion inizial, pr spio il nuro dgli individui dlla popolazion al tpo t (inizio dll ossrvazion), possiao ricavar la costant : s pr spio N ( ) N avro N quindi at N( N S pr spio considriao a, abbiao un grafico dl tipo sgunt( t ) : at t N '( a N ( 36

9 NOTA Qusto odllo di sviluppo di una popolazion non tin conto dl fatto ch il nuro dgli individui dlla popolazion dipnd anch da vincoli strni quali il cibo fornito dall abint ( ch gnralnt non è illiitato). Qusti fattori strni frnano quindi la crscita. Si può diostrar ch l quazion diffrnzial ch rifltt una crscita più ralistica è in cui b rapprsnta la capacità dll abint. N( (*) N' ( a N( b N( Infatti s N ( è piccolo la crscita è inizialnt siil a qulla sponnzial, a b N( quando N ( b N'( cioè la crscita si arrsta. b E piuttosto difficil arrivar alla soluzion di qusta quazion diffrnzial, a possiao vrificar ch la soluzion è la sgunt: l andanto sarà : b N( + at 37

10 Probla Considriao un paracadutista in caduta libra (pria ch apra il paracadu: su di sso agisc la forza pso g ( la assa dl paracadutista dll attrzzatura) a anch una forza dovuta alla rsistnza dll aria, opposta alla forza pso dirttant proporzional alla vlocità. Poiché F R a g a v a g a v v' Abbiao quindi trovato un quazion diffrnzial in cui la funzion da dtrinar è la vlocità in funzion dl tpo v(. Possiao risolvrla sparando l variabili: dv dt dv dv g av dt ln a a g v g v Dopo alcuni passaggi ottniao: S poniao ch v( g a a dt g v t + + c a t, c R a g g t v( ) c v(. a a L andanto dlla vlocità è il sgunt c Quando g t v (vlocità lii a 38

11 Probla 3 Considriao un corpo di assa attaccato ad una olla di costant lastica ( assa trascurabil) ch oscilla snza attrito su un piano orizzontal pr fftto dlla forza lastica F dov ( indica la posizion dl corpo all istant t risptto ad un sista di rifrinto lungo la dirzion dl oto. Poiché F a a ( '' ( abbiao l quazion diffrnzial dl scondo ordin: ' '( ( ' '( + ( Considriao l quazion carattristica z + z, ± i Quindi, ponndo ω, avro ch la soluzion gnral dll quazion è: ( c cosωt + c snωt Nota: ossrviao ch la soluzion ( c cos t + c sn t è quivalnt a ( cos ω t + ϕ quazion dl oto aronico di un punto atrial. ( ) S conosciao l condizioni iniziali, pr spio s ( ) A '() (il corpo all istant inizial si trova alla assia distanza dal cntro di oscillazion d ha vlocità nulla), ottniao: c A, c ( A cosωt π Abbiao quindi un oto aronico di priodo T apizza A co in figura: ω ω ω 39

12 Probla 4 S il corpo dll spio prcdnt è soggtto anch ad una forza di attrito viscoso proporzional, scondo una costant h, alla vlocità v ( ' ( dl corpo allora abbiao la sgunt quazion diffrnzial dl scondo ordin: h ' '( ( h ' ( ' '( + ' ( + ( S pr spio N Kg, 5, h g s abbiao ''( + ' ( + 5 ( S risolviao l quazion carattristica associata z + z + 5 troviao: z ± 5 i, ± t Quindi la soluzion gnral sarà: ( c cos t + c sn ( S l condizioni iniziali sono ( ) A, '() si trova A t c A, c ( A cos t +,5snt quindi ( ) ch risulta avr un andanto co qullo in figura (oto aronico sorzato). 4

13 Esrcizi sull quazioni diffrnziali. ' +. ' + sn 3. tg + ' 3 [ + + c 3 [ + cos + c [ ln cos + c 4. ' 3 () [ 3 5. ' () [ 6. ' () [ 7. ' () 3 3 [ 8. 3 ' [ 3 9. ' 3 () [ 3 ( ) +. ' () [. ' + 6 [ c 6. ' [ c ' + [ c 4

14 4. ' c [ + 5. ' + [ ( c + ) 3 6. ' 7. ' sn ( ) [ [ + c 3 c cos 8. ' 3 4 [ ± + c 9. ' sn [ cos + c. ' + [ c arctg +. ' [ log( c ). '' + 5' 6 [ c + c 6 3. '' + ' 3 [ c + c 3 4. '' + ' [ c + c 5. '' 9 [ c 3 + c 3 6. '' + 8' '' 6' + 9 ( c + c ) 4 [ ( c + c ) 3 [ 8. '' + 4' + 5 ( c cos + c sn) [ 9. '' + ' + ( c cos3 + c sn3 ) [ 3. { '' 6' + 5 [ c + c 5 4

15 Probli. Una colonia di battri crsc proporzionalnt al nuro di battri prsnti nlla colonia scondo una costant, / h (h sta pr ora). Misurando il tpo t in or indicando con N( il nuro di battri prsnti al tpo t, dtrina N( supponndo ch al tpo t nlla colonia ci siano battri. Disgna il grafico di N(. Dopo quanto tpo il nuro di battri è raddoppiato? [ N(, t, t 3,5 h. La vlocità di raffrddanto di un corpo è dirttant proporzional, scondo una costant, alla diffrnza di tpratura tra la tpratura dll abint (supposta costan la tpratura dl corpo T( al tpo t. S supponiao ch,5 / h (h sta pr ora), la tpratura dll abint C, la tpratura inizial dl corpo 5 C, dtrina la tpratura T( dl corpo (il tpo t isurato in or) disgnan l andanto.,5 t [ T ( Il carbonio 4 ( siboloc 4 ) è prsnt in tutt l sostanz organich a dcad, cioè si trasfora in un altro lnto, quando l organiso uor. 4 La variazion dl nuro dgli atoi di C è dirttant proporzional al nuro N( di atoi prsnti al tpo t : s indichiao con α la costant di proporzionalità possiao quindi dir ch N' ( α N(. 4 Indicando con N il nuro dgli atoi di C prsnti al tpo t in cui l organiso è orto, dtrina N( traccian un grafico indicativo. S si indica con t d il tpo di dizzanto cioè il tpo ipigato dal qualsiasi altra sostanza radioattiva) a dizzarsi, trova la rlazion tra α t d. (Il tpo di dizzanto pr il 4 C è di circa 573 anni ). 4 C (co da 4 Nota: isurando la quantità di C ancora prsnt in un fossil si può datar il fossil, cioè dtrinar quanto tpo è passato dalla ort dll organiso. [ N ( N αt, t d ln α 43

16 4. Considra un circuito in cui è insrito un gnrator di f... costant V V, una rsistnza R un condnsator di capacità C (vdi figura). Alla chiusura dll intrruttor il gnrator carica il condnsator: indica con q( la quantità di carica prsnt sull aratur dl condnsator all istant t ponndo t l istant di chiusura dll intrruttor (quindi q() ) con q '(( i( la corrnt ch circola nl circuito. q( Poiché quando sull aratur c è una carica q( tra l aratur c è una d.d.p. V C ( si C ha: q( V R i( + C Scrivi l quazion diffrnzial corrispondnt dtrina q(. Traccia il grafico di q(. t RC [ q( V C ( ) 5. Considra un circuito in cui è insrito un gnrator di f... costant V V, una bobina di rsistnza R induttanza L (vdi figura). Alla chiusura dll intrruttor inizia a circolar corrnt si sviluppa nll induttanza una f... di autoindotta L. Quindi abbiao: dt di V R i( + L dt Risolvi l quazion diffrnzial ricava i( con la condizion inizial ch i(). Traccia il grafico di i(. R V t L [ i( ( ) R 44

17 6. Considra un circuito con una bobina di induttanza L (rsistnza trascurabil) un condnsator inizialnt carico di capacità C. Alla chiusura dll intrruttor il condnsator si scarica a pr il fnono dll autoinduzion dovuto alla prsnza dll induttanza la corrnt continua a circolar ricaricando di sgno opposto l piastr dl condnsator il procsso di scarica riprnd a con una corrnt di vrso opposto (si parla di circuito oscillant d è analogo al sista assa-olla). S S indichiao con q( la carica prsnt al tpo t sull aratur dl condnsator avro: q( C + L di dt Risolvi l quazion diffrnzial corrispondnt considrando co condizioni q ( ) Q i ( ) q ' ( ) dtrina q(. Traccia il grafico corrispondnt. Co risulta la corrnt ch circola nl circuito? Qual è la sua frqunza? Cosa accad s la rsistnza non è trascurabil? [ q( Q cos t, LC i( Q LC sn t, LC f π LC 45