Fondamenti di Automatica (ges. P-Z) Prof.ssa Silvia Strada

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1 Fondmni di omic g. P-Z Prof. Silvi Srd I Prov in iinr -.. 9/ - Novmbr 9 Cognom Nom Mricol Vrificr ch il fcicolo i coiio d 7 pgin. Scrivr l ripo i ingoli rcii ngli pi ch gono ogni domnd. L chir prciion nll ripo rnno oggo di vlion. Olr ll firm ppo qo fronpiio iglr i i fogli di qo fcicolo in lo dr. Non congnr fogli ddiionli. Non crivr l rro. Non i poono conlr libri ppni dipn c. Erciio. Si conidri il im linr mpo conino n ingro R &. Si pighi in mnir chir m conci ndo nllo pio gno co ignific l fr: il im & è inoicmn bil. vdi dipn dl coro. Si dic pr qli vlori dl prmro rl il im gno è inoicmn bil. Il im è inoicmn bil i gli ovlori di hnno pr rl ngiv. d d d I R I I Qindi i r gli ovlori di vrnno pr rl ngiv <.

2 . Poo :.. Si criv l prion di modi dl im. Con i oin mod i ovlori.. Si criv l prion dll ripo libr dllo o dl im nion : lo o è n vor di componni in corripondn dll condiion iniil [ ] T. Non ndo l mric dinmic digonl m mmndo r ovlori rli diini llor i po procdr clcolndon gli ovori qindi l mric T di rformion in form digonl. llor l mric di rformion rà T l invr T L ripo libr dl im è d d L l mric ponnil è T T Fcndo il prodoo dll mrici opr no l condiion inil gn i clcol l ripo libr richi.

3 Erciio. Si conidri il im mpo conino rpprno in figr. Σ r dov il blocco Σ è n im dinmico linr invrin dcrio dll gn qion diffrnil: & r r& r. Si drmini l fnion di rfrimno r l ingro l ci.. U... Si drmini l fnion di rfrimno r l ingro l ci pcificndo il vlor dl gdgno dl ipo dll coni di mpo di l fnion di rfrimno. Trformndo mbo i mnbri dll qion diffrnil con Lplc ipoindo nll l c.i i R oin. U L fnion di rfrimno r è rov l pno prcdn; qindi pndo ch d blocchi in ri hnno com fd compliv il prodoo dll d i h.. * U... il gdgno è pri -½ il ipo è nllo l r coni di mpo l dnominor ono.. mnr c n con di mpo l nmror T -... Si criv l prion nl mpo dll ripo for ll ingro c con.

4 4...4 Si criv l prion nl mpo dll ripo for ll ingro c- con. Dl pno prcdn i ricv dirmn 4. Poo σ σ> i dic i n vlor dll con σ pr il ql l ripo for i nnll pr. In co ffrmivo rovr nch l vlor di σ l fnion di ripo for in ci ch n cong. Si i. L ripo i po dr o pndo rvro l rform di imponndo l cncllion dl polo provnin dll rf. L. di T con lo ro oppr pndo priori ch ndo l ponnil in inp divrgn llor l nico modo prchè l ripo prmnn di i convrgn ro i noi ch il im è inoicmn bil è ch σ coincid con lo ro dl im oi i σ. L ripo for in ci ch n cong è. Erciio. Sino d l qioni di o di n im dinmico non linr mpo dicro. Drminr gli i di qilibrio dl im in corripondn di n ingro con pri. Pr rovr gli i di qilibrio imponimo coni l fnioni di o Qindi gli i d qilibrio ono d.. Pr cicno o di qilibrio drmino l pno prcdn i rovino l mric dinmic lin d ingro B lin dl corripondn im linrio.

5 Pr rovr l mric d ingro dinmic dl im linrio gnrico clcolimo i loro lmni fcndo l opporn driv prili B lin lin - Eqilibrio lin B lin - Eqilibrio -/ 4 lin B lin. Si dic l bilià dgli i di qilibrio drmini l pno. nlindo gli ovlori dll mric dinmic dl im linrio corripondn. Lo o di qilibrio è ocio d n mric dinmic dl im linrio ch h n ovlor con modlo > qindi lo o di qilibrio è inbil. Lo o di qilibrio è ocio d n mric dinmic dl im linrio ch h nrmbi gli ovlori con modlo < qindi lo o di qilibrio è inoicmn bil. Erciio 4. Si conidri l qion ll diffrn 4. Si criv l fnion di rfrimno dl im pcificndon il gdgno. Trformndo Z primo condo mmbro dll qion ll diffrn i oin U qindi l fd rpporo r rf. dll ci dll ingro rà U G 4. Si clcoli l ripo for in ci l im ollcio dll ingro con. L ripo for in form chi vrà com rform Z Qindi nirformndo con il modo di Hviid i h

6 4. Si individi i n vlor iniil dll ci pr ci mpr con i cioè l ci rimng con pri l o vlor iniil. Prchè l ci rimng con nl mpo pri l o vlor iniil biogn vdr i n ci di qilibrio dl im in corripondn di. Imponimo llor ch l ci i con Qindi llor. Erciio. Si nncino in mnir chir conci il principio di ovrppoiion il principio di omognià pr n im dinmico mpo conino. vdi dipn dl coro Erciio. Do il im mpo conino dl condo ordin [ ] & i crivno l irioni Mlb pr rccir il grfico nl mpo r c. dll fnion di ci prir d con n. >> [- -; -]; >> B[ ]' >> C[ -] >> D >> BCD; >> :.:; >> in >> lim; >> plogrid