LA DISTRIBUZIONE NORMALE

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1 LA DISTRIBUZIOE ORMALE Prma Principali carattritich dlla curva normal La curva normal tandardizzata Prma Un tipo molto important di ditribuzion di frqunza è qulla normal. Quta ditribuzion è particolarmnt util prché nlla raltà molt ditribuzioni mpirich i approimano ad a d anch prché è di notvol importanza dal punto di vita torico nl campo dlla tatitica induttiva. Pr i matmatici è di grand utilità il ragionar u ditribuzioni baat u un numro di cai infinitamnt grand. Invc di trattar ditribuzioni mpirich d aptto fratagliato, com, ad mpio, qull rapprntabili con un itogramma o con una pzzata, è poibil concpir curv lic continu, baat u un numro infinito di cai d primr mdiant quazioni matmatich rlativamnt mplici. La ditribuzion normal è una di quta curv. Ea è dtta anch curva dgli rrori accidntali o di Gau. Principali carattritich dlla curva normal Un carattr quantitativo X, orvato in unità dl collttivo tatitico, aum gnralmnt dtrminazioni x i (i1 ) in tutto o in part divr. A volt i può ritnr, oprattutto il carattr è ditribuito in manira omogna, ch, non ci fo l influnza di fattori accidntali, arbb da attndri un unico valor di x, ch indichiamo con µ. L diffrnz x i -µ ono aimilabili ad rrori accidntali, cioè ad rrori dovuti a cau numro non facilmnt individuabili. I valori di tali rrori, pur non ndo prvdibili, prntano alcun rgolarità: Gli rrori poitivi ono altrttanto numroi di qulli ngativi (lgg di immtria), Gli rrori piccoli, in valor aoluto, ono più frqunti di qulli grandi quindi gli rrori ono tanto più rari quanto più ono grandi. La rapprntazion di tali rrori porta ad un diagramma immtrico riptto all ordinata condotta pr il punto di acia zro, col maimo u qut ordinata con andamnto dcrcnt da ntrambi i lati al crcr dlla diffrnza x i -µ. La curva normal è una curva continua immtrica, baata u un numro infinito di cai quindi non potrà r formata da ditribuzioni di dati rali, ma olo

2 approimata. Ea ha una forma campanular, è unimodal d ha la carattritica ch mdia, mdiana moda coincidono. L quazion dlla curva normal è la gunt: ( ) X - m Y p in cui y è l altzza dlla curva pr ogni dato valor di x. Poiché π d ono cotanti, pr conocr l atta forma dlla ditribuzion è ncario conocr la mdia aritmtica µ lo cotamnto quadratico mdio σ. Si avranno prtanto divr curv normali quanti ono l poibili combinazioni di mdi di carti quadratici mdi. Pr mpio, du curv con mdi uguali carto divro diffriranno pr quanto riguarda la forma più o mno appuntita: minor è lo carto quadratico mdio, la curva è più appuntita

3 S varia la mdia a parità di carto quadratico mdio la curva trala riptto all a dll x mantnndo inaltrata la forma. Si può dimotrar ch: - ( X - m ) + p dx 1 cioè la funzion è di dnità, in quanto l ara dlimitata dalla curva l a dll x è 1 cioè il 100%. La variabil normal è un mpio claico di variabil continua ch aum tutti i valori compri tra - a +. Prtanto, ha più no dtrminar anziché l ordinata, la prcntual di cai compri in un crto intrvallo. Un problma di quto tipo è facilitato da una dll proprità dlla curva normal: qualunqu iano la mdia lo cotamnto, l ara tra la mdia un ordinata pota ad una dtrminata ditanza, dfinita in trmini di carto quadratico mdio, è cotant. lla ditribuzion normal i dimotra ch i punti di flo dlla curva hanno pr acia i valori µ-σ µ+σ. Inoltr nll intrvallo µ-σ, µ+σ la curva comprnd il 68,7% di cai orvati;

4 nll intrvallo tra µ-σ, µ+σ la curva comprnd il 95,45% di cai orvati tra µ-3σ, µ+3σ il 99,73%. Oltr l ara racchiua tra la curva l a dll aci è quai tracurabil nll intrvallo tra µ-σ, µ+σ la curva comprnd il 95,45% di cai orvati tra µ-3σ, µ+3σ il 99,73%. Oltr l ara racchiua tra la curva l a dll aci è quai tracurabil aturalmnt è mpr poibil, con un mplic procdimnto, dtrminar l ara otta alla porzion di curva dlimitata da du qualiai ordinat, nza ch l ditanz dalla mdia iano multipl atti dllo carto quadratico mdio. La curva normal tandardizzata Endo infinit l curv normali al variar dlla mdia dllo carto quadratico mdio è orta la ncità di cotruir una curva unica a cui far rifrimnto di cui ono tat calcolat l ar, tal curva è chiamata normal tandardizzata d è com i

5 può dimotrar una ditribuzion con mdia 0 carto 1, val a dir con valor maimo all origin dgli ai fli ni punti 1, +1. Pr ottnr la normal tandardizzata è ncario ffttuar un opportuno cambiamnto di variabil dl tipo: - m Z x x - m Ł ł Si avrà allora: M ( Z ) 0 i 1 i 1 Ł x - m ł 1 pr una nota proprità dlla mdia aritmtica ( ( x m) - 0 VAR( Z ) ( Z - Z ) i 1 Ł ł i 1 x - m ndo Z 0 i avrà: x - m 1 i Ł ł ( x - m) 1 1 i 1 1 Endo l prion vidnziata in roo la varianza di x. Graficamnt la traformazion dlla variabil originaria x in variabil tandardizzata Z i ottin paando dal itma cartiano ortogonal al itma con a Z con la curva al valor maimo nll origin fli a 1, +1. Fatta la traformazion, i poono uar dll appoit tavol nll quali ono riportat l porzioni di ar pr tutt l ordinat. I valori dlla tablla indicano la proporzion di cai ch cadono nll intrvallo dlimitato dalla mdia (cioè il punto di acia 0) dll ordinata Z. Con l uo di quta tavola i può traformar ciacuna curva normal in modo tal ch ia poibil calcolar la prcntual di cai ottotant ogni porzion dlla curva. Y ( X - m ) p Poiché π d ono cotanti, pr conocr l atta forma dlla ditribuzion è ncario conocr la mdia aritmtica µ lo cotamnto quadratico mdio σ

6 Si può dimotrar ch: ( X - m ) + p - dx 1 cioè la funzion è di dnità, in quanto l ara dlimitata dalla curva l a dll x è 1 cioè il 100%.