SEGNALI E SISTEMI PASSA-BANDA

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1 SEGNALI E SISTEMI PASSA-ANDA Componnti a runz poitiv ngativ. Si conidri un gnal ) t ral la cui traormata di Fourir è rapprnta in Fig.. S ) S ) S ) Nll analii di gnali è talvolta util introdurr l grandzz S ) = u ) S ).) S ) = u ) S ) ch individuano il contnuto di runz poitiv ngativ dllo pttro di ) t. È ovvio ch né S ) né S ) oddiano l condizioni di immtria hrmitiana; prciò l corripondnti antitraormat:.) = F { } { } ) t S ) ) t = F S ) Fig.. Componnti a runza poitiva ngativa di un gnal. dnominat componnti a runz poitiv ngativ, cotituicono una coppia di gnali compli. Dalla.) i poono ddurr i gnali ) t ) t applicando il torma dlla convoluzion nl dominio dl tmpo. A tal propoito bata ut ) δ ) P jπ orvar ch applicando all coppia di traormat ) u t) ) P jπ ) F u ) = δ t ) j P π t δ la proprità di immtria i ottin { } ) { u } = δ t j ) F pr cui è:.3) ) ) P π t dov i è poto:.4) H { } [ ˆ ] [ ˆ ] ) t = ) t j) t ) t = ) t j) t ) ˆ t) ) t = VP d π t ch cotituic la traormata di Hilbrt di ) t.,.5) Dall.3) i ottin: t ) = ) t ) t [ ] ˆ t) =j ) t ) t Sgnali dtrminati di tipo paa-banda. Un gnal ) t è dtto di tipo paa-banda uando l ampizza dlla ua traormata di Fourir è tracurabil all trno dll rgioni dinit dall [, ] con < <. v. Fig. ). La uantità.) = cotituic l ampizza di banda unilatra) di ) t. S ) t è un gnal ral i può crivr:

2 - G. Mamola: Lzioni di Complmnti di Comunicazioni Elttrich.) S ) ) S S ) jπt jπt jπt jπt j t j t π π j t S ) S ) d R π S ) d t) = S ) d S ) d = S ) d S ) d = = = = jπt = R S ) d S ) a) all intrvallo [ ] dal momnto ch pr <, S ) coincid con S ) v. Fig.,a). Sia una runza appartnnt,. Introducndo nlla prcdnt la traormazion i ottin: jπt j t.3) ) t R π = S ) d ch il gnal ) t è di tipo paa-banda di-.5).6) b) Fig. Sgnal di tipo paa-banda. Ponndo: vnta: jπ t jπt.4) ) t = R S ) d S inoltr la runza di ririmnto è clta pari alla mdia aritmtica dll runz : ) jπt jπt ) t = R S ) d = la.4) aum la orma: jπt jπt ) t = S ) d = S ) d con v. Fig.,b).7) S ) = S ) la.5) divnta:.8) t ) = R t ) jπ t Si dduc dalla.7) ch ) t può r pro in unzion dlla componnt a runz poitiv ) t dalla: jπt.9) ) t = ) t È opportuno orvar ch poiché S ) non mpr oddia la condizion di immtria hrmitiana, il gnal ) t è complo a mno ch non riulti S ) = S ) cioè ch la componnt a runz poitiv dl gnal ) t prnti immtria hrmitiana riptto alla runza di ririmnto. Ponndo allora:.) ) t = ) t j ) t la.8) divnta:.) ) t = )co t πt)in t π t I gnali ) t ) t prndono il nom di componnti in a d in uadratura ) t cotituic il coiddtto inviluppo complo dl gnal ) t. La Fig.3 chmatizza il modo con cui da una gnal i può ottnr l inviluppo compl-

3 Sgnali Sitmi paa-banda o vicvra purché l ampizza di banda dl iltro paa-bao ia pari a ulla dl gnal ) t co π t) in πt) P P ) t ) t co π t) ) t Fig.3 Gnrazion dll inviluppo complo ricotruzion dl gnal. orma:.) in π t) ) t. Si prcii ch l componnti in a in uadratura com pur l inviluppo complo di ) t ono di gnali di tipo paa-bao dal momnto ch lo loro traormat di Fourir ono coninat nll intrvallo,. Scrivndo l inviluppo complo nlla ) t ) =ρ) t jϑ t dov:.3) ρ ) t = ) t ) t ) t ϑ t) = arctan ) t i dduc dalla.8):.4) ) t =ρ)co[ t π tϑ )] t L grandzz ρt) ϑt) rapprntano l inviluppo itantano la dviazion itantana di a di t). Anch l inviluppo itantano ρ ) t la dviazion itantana di a ϑt), ono uindi di gnali di tipo paa-bao. 3 Sgnali alatori di tipo paa-banda. Un gnal alatorio t,ζ) a valori rali, uppoto tazionario almno in no lato, è di tipo paa banda la ua dnità pttral è tracurabil all trno dll rgioni dinit dall [, ] con < <. Com nl cao di gnali dtrminati = cotituic la banda unilatra) di t,ζ). La gnrica manitazion di un gnal di tipo paa-banda può r allora rapprntata, con probabilità molto proima ad, com gu: 3.) t, ζ ) =, )co, )in R, ) j t tζ πt tζ π t= t ζ π dov l componnti in a d in uadratura, pr la.).9) poono r pr in trmini dlla componnt a runz poitiv di t,ζ) : jπt, t ζ ) = R [, t ζ )] = R, t ) ζ 3.) jπt t, ζ ) = Im [ t, ζ )] = Im t, ζ) Tnndo conto dll.3) i ha:, t ζ ) =, t ζ)co π t ˆ, t ζ)inπt 3.3), t ζ ) =, t ζ)in π t ˆ, t ζ)coπ t Allo copo di carattrizzar l componnti in a d in uadratura o l inviluppo complo dl gnal, t ζ ) bata orvar ch il valor mdio dl gnal t,ζ) è nullo, è anch

4 - 4 G. Mamola: Lzioni di Complmnti di Comunicazioni Elttrich nullo il valor mdio dlla ua traormata di Hilbrt. Da ciò i dduc ch i gnali t, ζ) t, ζ) hanno valor mdio nullo. Pr carattrizzar tatiticamnt al condo ordin, in no lato, l componnti in a d in uadratura è ncario ddurr la matric di corrlazion dlla coppia di gnali t ) H ) =jgn ) t ˆ) Fig. 4 Gnrazion dl gnal ˆ t ) uando al uo ingro è applicato ) t v. Fig. 4), i dduc: Wˆ ) = jgn ) W ) = W ) 3.4) W ) =jgn ) W ) da cui: 3.5), t ζ ) ˆ t, ζ ). A tal propoito ricordando ch la traormata di Hilbrt ˆ t ) di un gnal può r concpita com il gnal in ucita dal iltro H ) = jgn ) ˆ ˆ = [ ] = = ˆ W ) jgn ) W ) jgn ) W ) W ) Rˆ ) = R) R ) =R ) =Rˆ ) ˆ ˆ dov R ˆ ) è la traormata di Hilbrt di R ). Ciò prmo, la unzion di corrlazion aociata alla componnt a runza poitiva di, t ζ ) è: R ) = E, t ζ ) t, ζ ) = 3.6) { } 4 4 ˆ ˆ ˆ E{ [, t ) jˆ, t )][ t, ) jˆ t, )]} R ) R )) j R ) R )) = ζ ζ ζ ζ = = la unzion di pudo corrlazion: R ) = E{, t ) t, )} ζ ζ = 3.7) = E t, ζ ) jt ˆ, ζ ) t, ζ ) jt ˆ, ζ ) = 4 4 {[ ][ ]} R ) R )) j R ) R )) = ˆ ˆ ˆ L prcdnti, tnndo conto dll 3.5), divntano: R ˆ ) = R ) ) jr 3.8) R ) = Tnndo conto dll 3.), l unzioni di corrlazion dll componnti in a d in uadratura valgono: jπt j π t) R ) = E{ t, ζ ) t, ζ )} = 4E{ R t, ) R t, ) ζ ζ } jπt j π t) R ) = E{ t, ζ ) t, ζ )} = 4E{ Im t, ) Im t, ) ζ ζ } 3.9) jπt R ) = E{, t ζ ) t, ζ )} = 4E{ R, t ζ) Im j π t) t, ) ζ } jπt j π t) R ) = E{ t, ζ ) t, ζ )} = 4E{ Im t, ) R t, ) ζ ζ } pr calcolar l uali è util ar ririmnto all gunti idntità tra numri compli:

5 Sgnali Sitmi paa-banda ) ) a a b b a b ab ab a b R R R R 4 4 [ a] [ b] = = = a b [ ab] ) aa b b ab ab ab ab Im Im R R j j 4 4 [ a] [ b] = = = a b [ ab] ) a a bb a bab aba b R Im Im Im j 4j 4j Im [ a] [ b] = = = a b [ ab] a a b b a b ab ab a b j 4j 4j ) [ a] R[ b] = = = Im ab Im[ ab] Tnndo conto dll 3.8) 3.) l 3.9) divngono: j R ) = R R ) 3.) od anch: 3.) R) = R R ) R ) = Im R ) R ) =Im R ) π jπ jπ jπ R ) = R ) = R )co π Rˆ )in π R ) =R ) = R )in π Rˆ )co π W W ) ) W ) W ) W ) = W ) W ) jw ) W ) = W ) jw ) Fig. 5 Dnità pttrali dll componnti in a d in uadratura di un gnal alatorio. È opportuno orvar ch dalla prima dll prcdnti i dduc: 3.3) R ) = R ) = R ) cioè ch il valor uadratico dlla componnt in a è ugual a ullo dlla componnt

6 - 6 G. Mamola: Lzioni di Complmnti di Comunicazioni Elttrich in uadratura di un gnal tal valor uadratico mdio coincid con ullo di, t ζ ). Prndndo l traormat di Fourir di ntrambi i lati dlla prima dll 3.) i ha: 3.4) W [ ] ˆ ˆ ) = W ) = W ) W ) W ) W ) j dov è W ˆ ) = jgn ) W ). È dunu: 3.5) W ) = W ) = W ) [ gn ) ] W ) [ gn ) ] ch, ndo u ) = [ gn ) ] u ) = [ gn ) ], divntano: 3.6) W ) = W ) = W ) u ) W ) u ) od anch: 3.7) W ) = W ) = W ) W ) dov W ) W ) ono l componnti a runz ngativ poitiv dlla dnità pttral dl gnal, t ζ )v. Fig. 5). In modo analogo, traormando condo Fourir la conda dll 3.), i ha: W [ ] ˆ ˆ ) = W ) = W ) W ) W ) W ) j = j j = [ W ) W ) ] [ gn ) W ) gn ) W ) ] = 3.8) j j = W ) [ gn ) ] W ) [ jgn ) ] = = jw ) u ) W ) u cioè v. Fig. I.5) [ ] 3.9) W ) = W ) = j[ W ) W )] È da tnr prnt ch la componnt a runza poitiva o ngativa) dlla dnità pttral god dlla immtria hrmitiana riptto alla runza di ririmnto cioè val la condizion W ) = W ) = W ) la dnità pttral incrociata,, di congunza, la corripondnt corrlazion incrociata è nulla. L componnti in a d in uadratura ono in tal cao incorrlat. ) 4- Rumor gauiano bianco di tipo paa-banda. L conidrazioni volt nl prcdnt paragrao poono r applicat al cao di rumor gauiano, tazionario bianco di tipo paa-banda. È ovvio ch poiché, com i vinc dalla.4), la traormata di Hilbrt è una traormazion linar dl gnal ntζ, ), anch ntζ ˆ, ) è gauiano. Pr lo to motivo l componnti in a d in uadratura ono gnali gauiani. Di congunza, il rumor i uppon a valor mdio nullo, l loro carattritich tatitich ono individuat olo dall unzioni di corrlazioni o dall loro dnità pttrali dat dall 3.7) 3.9). Facndo ririmnto alla Fig. 6 all 3.7) 3.9) riulta prtanto: W ) = W ) = N rct 4.) ) 4.) W ) = W ) = N ndo rapprnta la dnità pttral dl rumor.

7 Sgnali Sitmi paa-banda Antitraormando l 4.) 4.) i ottin inin: R ) = R) = Ninc ) 4.3) R ) = R ) = W ) n N N W ) = W ) Fig. 6 Carattritich pttral di un rumor bianco di tipo paa-banda. L componnti in a d in uadratura ono prtanto du gnali gauiani incorrlati uindi tatiticamnt indipndnti) ono carattrizzati dalla ta tatitica. Tnndo conto dll 4.3) l unzioni di autocorrlazion dll inviluppo complo valgono: R ) = E{, t ζ ) t, ζ )} = R ) R) Ninc ) 4.4) = R ) = E, t ζ), t ζ ) = dall: 4.6) 4.7) { } L unzioni di corrlazion ono: da cui traormando condo Fourir: W ) = N rct ) 4.5) W ) = È opportuno prciar ch con ririmnto alla Fig. I.3, il itma di rivlazion limina tutt l componnti a runza trna alla banda di iltri paa-bao. Di congunza la larghzza di banda dl rumor può aumri uicintmnt lvata riptto alla runza cntral ; in altri trmini, i può porr W ) = W ) = N. L prcdnti uindi poono r approimat R ) = R) = Nδ) R ) = R ) = R ) = Nδ) R ) = l corripondnti dnità pttrali: W ) = N 4.8) W ) = Il gnal ) t è prtanto un gnal gauiano a valori compli proprio. 5 Sitmi linari tmpo invarianti di tipo paa-banda. Un itma linar tmpo invariant è di tipo paa-banda la ua ripota in runza è concntrata attorno all runz ±. Quto comporta ch la ua ripota impuliva ht) può r pra nlla orma ) : 5.) j πt j πt j πt ht ) = R ht ) = ht ) h ) t la ripota in runza val: 5.) H ) = H ) H ) ) Da notar il attor ch i è introdotto nlla 5.)

8 - 8 G. Mamola: Lzioni di Complmnti di Comunicazioni Elttrich dov H ) rapprnta la traormata di Fourir di h t). S un gnal paa-banda t) è applicato all ntrata dl iltro paa-banda ht), il gnal in ucita ) R ) j t u t = u t π è dato dalla: 5.3) ) t = ) t h) t ch, nl dominio dlla runza, divin: 5.4) S ) = S ) H ) 5.5) Si ha dunu: S S S u u u ) = u ) u ) = S ) S ) H ) H ) S ) H ) S ) H ) S ) H ) S ) H ) = = = S il gnal in ntrata la ripota impuliva dl iltro ono dl tipo a banda trtta, cioè l ampizza di banda è minor dlal runza di ririmnto, è lcito porr: S ) H ) = S ) H [ )] 5.6) S ) H ) = S [ )] H ) pr cui la 5.5) i riduc alla: Su ) = S ) H ) S ) H ) = 5.7) = S u ) S u ) avndo poto 5.8) S u ) = S ) H ) Il gnal S u ) rapprnta l inviluppo complo dl gnal in ucita dal iltro. Nl dominio dl tmpo, la prcdnt corripond alla: 5.9) ) t = ) t h ) t u