Università degli Studi di Firenze. Elementi di progettazione strutturale Prof.ssa Ing. Gloria Terenzi. Ing. Leonardo Bandini

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1 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Univrità dgli Studi di Firnz Facoltà di Inggnria - Coro di Laura in Inggnria Civil Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi 30/05/2005 CENNI AL CALCOLO AGLI ELEMENTI FINITI Ing. Lonardo Bandini ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

2 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Modlli trutturali dicrti FEM - Finit Elmnt Mthod 950 dfinizioni: Si chmatizza il continuo con un aggrgato dicrto di lmnti finiti. L variabili di modlli trutturali ono dfinit olo in punti dicrti: punti nodali. L truttur ono un inim arbitrariamnt compoto di lmnti, ognuno di quali è modllabil com un continuo. La dtrminazion dl numro di nodi dipnd dal tipo di truttura dal tipo di carichi. Tutt l grandzz ono rifrit olo ni nodi. Pr dfinir la poizion di punti nodali nllo pazio i ua una ba global. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

3 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi SCHEMATIZZAZIONE DI UNA STRUTTURA DISCRETA: Y Elmnti finiti ba local 4 ba global X Z Struttura rapprntata da lmnti dicrti. Gli lmnti dicrti hanno i nodi in comun. I nodi ono fiati in un itma di rifrimnto global. La numrazion di nodi è arbitraria, ma dv guir di critri guida pr motivi lgati alla computazionabilità. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

4 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi SCHEMATIZZAZIONE DI UNA STRUTTURA DISCRETA: Y Elmnti finiti Punto intrno 4 4 Z X ba global Nlla truttura dicrta l variabili potamnto ono cluivamnt qull rifrit ai nodi: potamnti nodali. Il campo dgli potamnti intrno di ogni lmnto è ricavato mdiant intrpolazion di valori nodali. L intrpolazion avvin mdiant funzioni dtt: Funzioni di forma. Ogni tipo di lmnto ha la ua funzion di forma. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

5 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi VARIABILI ESTERNE: L variabili potamnti trni Vi ono dat dai coiddtti gradi di librtà nziali di punti nodali. Non prndrmo in conidrazion gradi di librtà dipndnti dagli altri, ovvro, l variabili trn aranno cotituit da gradi di librtà linarmnt indipndnti. L variabili forz trn Pi aranno qull nrgticamnt corripot con l Vi, ovvro, nrgticamnt congrunti con gli potamnti di DOF nziali. Tutti i Vi l Pi ono numrat congruntmnt, i poono raggruppar in colonn di valori (vttori pr la ba global). V V =... P P =... V n P n La dimnion dl problma è n ovvro ho n DOF nziali Lavoro dll variabili trn: W = P xv + + P n xv n =P T xv=v T xp ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

6 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi VARIABILI INTERNE (PER OGNI ELEMENTO): L variabili di tato intrn v i ono i poibili gradi di librtà dll lmnto. Sono rifrit al itma di rifrimnto local. L variabili forz intrn i aranno qull nrgticamnt corripot con l v i v... = v v k... = k La dimnion di vttori è k ovvro ho k DOF poibili pr l lmnto -imo. Lavoro dll variabili intrn lmnto -imo: -W int = T x v =v T x ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

7 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi VARIABILI INTERNE (STRUTTURA COMPLETA): Si accorpano l variabili intrn di tutti gli lmnti ch compongono la truttura. v v v =... p =... p Si hanno p lmnti. La dimnion di vttori è p x ki dov ki ra la dimnion di ogni lmnto. Lavoro dll variabili intrn: -W int = T x v=v T x ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

8 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUILIBRIO E CONGRUENZA: EQUAZIONI DI EQUILIBRIO: l forz intrn d trn dvo potri quilibrar, prtanto poo dfinir una matric b tal ch: b... b n P = b P =... = dimnioni: n: numro di gradi di librtà nziali l: rapporto pxk i l b l P n La colonna j-ima di b contin tutt l forz nodali intrn corripondnti allo tato di carico trno Pj =, P Pn = 0 ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

9 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUILIBRIO E CONGRUENZA: EQUAZIONI DI CONGRUENZA: l variabili cinmatich intrn ono conn attravro l quazioni di congrunza con l variabili cinmatich trn v a... a n V v = a V =... = dimnioni: n: numro di gradi di librtà nziali l: rapporto pxk i v l a l V n La colonna j-ima di a contin tutt l variabili nodali intrn corripondnti allo tato di dformazion trno Vj =, V Vn = 0 ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

10 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUILIBRIO E CONGRUENZA: Principio di lavori virtuali Torma dlla dualità b T =a -, a T =b - ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

11 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUAZIONI COSTITUITIVE MATRICE DI FLESSIBILITA (critta ul itma di rifrimnto local): Connt, conocndo l variabili forza intrn di ogni lmnto, di dtrminar l variabili potamnto intrn all lmnto to. v = f + v = v... = f f k... + v... v k f k k v k fij è lo potamnto dl nodo i-imo indotto dalla forza unitaria j= La matric f è critta ul itma di rifrimnto local dll lmnto -imo. Spotamnto nodal indotto da carichi non nodali (g. tmpratura ) ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

12 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUAZIONI COSTITUITIVE MATRICE DI RIGIDEZZA (critta ul itma di rifrimnto local): Connt, conocndo l variabili potamnto intrn di ogni lmnto, di dtrminar l variabili forza intrn all lmnto to. = k v + =... = k k k v k k k v k k kij è la forza al nodo i compatibil con lo potamnto unitario dl nodo j-imo La matric k è critta ul itma di rifrimnto local dll lmnto -imo. Forz dovut ai carichi ugli lmnti ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

13 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi EQUAZIONI COSTITUITIVE PROPRIETA DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA E DELLA MATRICE DI FLESSIBILITA : Quadrata (kxk) Simmtrica Rgolar ( i conidrano olo l variabili indipndnti), dt 0 Dfinita poitiva ( i conidrano olo l variabili indipndnti) Singolar ( i conidrano l variabili complt) dt = 0 Smi dfinita poitiva ( i conidrano l variabili complt) V Variabili complt Vd Variabili indipndnti N M Md Nd M Md Nd ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

14 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi SCHEMA DI TRASFORMAZIONE COMPLETO, variabili indipndnti: carichi L rlazioni prcdnti rano critt in un itma di rifrimnto local, pr paar a qull critt riptto ad un itma di rifrimnto global occorr utilizzar lo chma di traformazion complto. V = b T v Congrunza v f + v = Eq. cotitutiv = b P Equilibrio V = b T f b P + b T v = F P + b T v ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

15 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi SCHEMA DI TRASFORMAZIONE COMPLETO, variabili indipndnti: potamnti L rlazioni prcdnti rano critt in un itma di rifrimnto local, pr paar a qull critt riptto ad un itma di rifrimnto global occorr utilizzar lo chma di traformazion complto. P = a T Equilibrio = k v + Eq. cotitutiv v = a V congrunza P = a T k a V + a T = K V + a T ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

16 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi PROPRIETA DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA K = a T k a E la matric di rigidzza pra nl itma di rifrimnto global, d ha l gunti carattritich: Quadrata Simmtrica Rgolar dtk 0, quindi invrtibil K = F - Dfinita poitiva S la truttura è ucttibil di atti di moto rigido Singolar dtk =0, Smi dfinita poitiva ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

17 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi FUNZIONI DI FORMA L analii computazional ha viluppato una moltitudin di lmnti finiti, ogni lmnto è carattrizzato da una funzion di forma, ovvro, una funzion ch dcriv l u quantità cinmatich. u = φ uˆ v = φˆ uˆ Dov, u û φ v φˆ : campo dgli potamnti approimato dll lmnto : potamnti nodali : matric di approimazion : gradi di librtà dll lmnto : matric ch imprim l condizioni nodali al contorno Matric dll funzioni di forma dll lmnto ˆ ( ) ( ) ˆ φ v u = φ ˆ φ v = Ω v u =. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

18 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi FUNZIONI DI FORMA L analii computazional ha viluppato una moltitudin di lmnti finiti, ogni lmnto è carattrizzato da una funzion di forma, ovvro, una funzion ch dcriv l u quantità cinmatich. Condizioni fondamntali:. Ogni colonna dlla matric φˆ dv r linar indipndnt ai fini dll invrion 2. L funzioni forma dvono r continu diffrnziabili un numro di volt pari all ordin dlla funzion ta Critri di convrgnza condizioni di compltzza: A. Rapprntazion dllo tato di dformazion cotant (tato ba) B. Invarianza ni confronti dgli atti di moto rigido Critri di convrgnza conformità: C. Condizioni di raccordo dlla dformazion al contorno, congrunza tra un lmnto qullo adiacnt conno. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

19 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi MATRICE DI RIGIDEZZA Applicando un oprator diffrnzial dicrto alla matric dlla funzion di forma i può rialir alla matric di rigidzza latica: ε = D k u = D k Ω v = H v Oprator cinmatico dicrto Attravro l intgrazion dll oprator diffrnzial dicrto i arriva alla formulazion dlla matric di rigidzza latica dll lmnto. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

20 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi MATRICE DI RIGIDEZZA ELEMENTO E-ESIMO, E ESIMO, mtodo dirtto dlla rigidzza: Empio lmnto trav piano con variabili complt: V Vd N M Nd Md N V M N V d M d d = EA l 0 2EJ l 3 0 6EJ 4EJ l l 2 EA l 0 0 EA l 0 2EJ 6EJ 0 2EJ l l l EJ 2 l 2EJ l 0 6EJ 4EJ l l 2 u w d w φ d ϕ u d Kij Forza al nodo i compatibil con lo potamnto dl grado di librtà j-imo ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

21 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi MATRICE DI RIGIDEZZA: Qualunqu ia il mtodo pr la dtrminazion dlla matric dll rigidzz, a rapprnta una proprità intrinca dlla truttura (dl modllo). Ogni matric di rigidzza dgli lmnti utilizzati nlla dicrtizzazion, è critta nl itma di rifrimnto local di ogni lmnto, a va tradotta in un itma di rifrimnto global. Ogni matric di rigidzza dgli lmnti utilizzati, una volta tradotta nl itma di rifrimnto global, occuprà una prcia poizion all intrno dlla matric dlla truttura amblata. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

22 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi ASSEMBLAGGIO DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA: 2 Z X Tablla dll incidnz: Vi ELEMENTO ELEMENTO ELEMENTO ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

23 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Matric lmnto : critta nl itma di rif. global # 0 0 # # # 0 # # 3 0 # # 0 # # 4 # 0 0 # # # 0 # # 6 0 # # 0 # # 2 3 Amblaggio Matric di Rigidzza L matrici locali vngono tradott nl itma di rifrimnto global, mdiant rotazion. K = a T g k g a g pao ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

24 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Matric lmnto 2: critta nl itma di rif. global # 0 0 # # # 0 # # 3 0 # # 0 # # 4 # 0 0 # # # 0 # # 6 0 # # 0 # # 2 3 Amblaggio Matric di Rigidzza L matrici locali vngono tradott nl itma di rifrimnto global, mdiant rotazion. K = a T g k g a g pao ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

25 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Matric lmnto 3: critta nl itma di rif. global # 0 0 # # # 0 # # 3 0 # # 0 # # 4 # 0 0 # # # 0 # # 6 0 # # 0 # # 2 3 Amblaggio Matric di Rigidzza L matrici locali vngono tradott nl itma di rifrimnto global, mdiant rotazion. K = a T g k g a g pao ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

26 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi LIBRERIA DI ELEMENTI FINITI ED IMPIEGHI ANALITICI tru bam cabl aolid olid hll mmbran link nl plat Statica lin. Modal Statica nl. Dinamica TH Stabilità Modllo computazional ING. LEONARDO BANDINI,

27 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi PROGRAMMI CLASSICI FEM BERKELEY SAP TABS MIT STRUDL FEABL BOCHUM FEMAS HOUSTON ANSYS ING. LEONARDO BANDINI,

28 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi Univrità dgli Studi di Firnz Facoltà di Inggnria - Coro di Laura in Inggnria Civil Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi 30/05/2005 CODICE DI CALCOLO SAP2000: -STATICA (SLU, SLE) -SISMICA (STATICA LIN.) Ing. Lonardo Bandini ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

29 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi ESEMPIO : -dificio pr uffici da ralizzari nl trritorio di Napoli -4 tlai idntici dipoti lungo la dirzion y -6 tlai idntici dipoti lungo la dirzion x -olai orditi condo la dirzion y -3 livlli dipoti a quota: 3.5 m, 7.0 m 0.5 m ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

30 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi TRAVI: 30X50 cm, PILASTRI: 30X30 cm. ING. LEONARDO BANDINI,

31 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi NOMENCLATURA CARICHI: -PP: Po proprio truttural [automatico] -QP: carico prmannt prima prmutazion [26.5 kn/m] -QP2: carico prmannt conda prmutazion [26.5 kn/m] -QA: carico accidntal prima prmutazion [0.0 kn/m] -QA2: carico accidntal conda prmutazion [0.0 kn/m] -Qnv: carico nv [3 kn/m] -QW: carico vnto [4.9 kn, 7,4 kn] ING. LEONARDO BANDINI,

32 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi D.M «Norm tcnich pr il calcolo, l cuzion d il collaudo dll truttur in cmnto armato, normal prcompro pr l truttur mtallich». STATI LIMITE: SLU SLE SLE SLE Fd = γ g Gk + γ p Pk + γ q Qk + γ q Ψ i=2 d = Gk + Pk + Qk + Ψ0i Qki i=2 = Gk + Pk + ΨQk + Ψ2i Qki i=2 0i Q F Comb. Rar [0.995] F Comb. frq. [0.95] d = Gk + Pk + Qk + Ψ i=2 2i Q F Comb. quai prm. [0.5] d ki ki ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

33 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi D.M «Norm tcnich pr il calcolo, l cuzion d il collaudo dll truttur in cmnto armato, normal prcompro pr l truttur mtallich». γ g =,4 (oppur,0 il uo contributo aumnta la icurzza); γ p =,2 (oppur 0,9 il uo contributo aumnta la icurzza); γ q =,5 (oppur 0,0 il uo contributo aumnta la icurzza); ψ 0i = cofficinti di combinazion allo tato limit ultimo, da aumr pari a 0,7 pr i carichi variabili di rcizio ni fabbricati pr abitazion uffici pr l azioni da nv, pari a 0 pr l azioni da vnto. Dtinazion d'uo Ψoi Ψ2i Abitazioni, uffici Uffici aprti al pubblico, cuol, ngozi, autorim Ttti coprtur con nv Magazzini, archivi Vnto ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

34 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi D.M «Norm tcnich pr il calcolo, l cuzion d il collaudo dll truttur in cmnto armato, normal prcompro pr l truttur mtallich». S d R d SLU: CALCOLARE LE S d [AZIONI INTERNE: N,T,M] AGENTI NELLE SEZIONI PIU SOLLECITATE IN CORRISPONDENZA DELLE COMBINAZIONI DI CARICO PIU GRAVOSE. CALCOLARE LE RESISTENZE DI PROGETTO R d INTESE COME LE RESISTENZE DELLE SEZIONI SIGNIFICATIVE. SLE: CALCOLARE LE S d [DEFORMAZIONI, SPOSTAMENTI, DIMENSIONI DI FESSURE, ECC.] PRODOTTE DALLE COMBINAZIONI DI CARICO PIU GRAVOSE TENENDO CONTO DI EFFETTI DI LUNGA DURATA. CALCOLARE LE RESISTENZE DI PROGETTO R d CHE SONO VALORI NOMINALI RITENUTI ACCETTABILI. ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

35 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi COMBINAZIONE DEI CARICHI: -COMBO: Fd =.4x(PP+QP+QP2)+.5x(QA+QA2)+.05x(QNEVE+QW); -COMBO2: Fd =.4x(PP+QP)+x(QP2)+.5x(QA)+.05x(QNEVE+QW); -COMBO3: Fd =.4x(PP+QP2)+x(QP)+.5x(QA2)+.05x(QNEVE+QW); -COMBO4: Fd =.4x(PP+QP+QP2)+.05x(QA+QA2+ QNEVE)+.5x(QW); F d = γ g Gk + γ p Pk + γ q Qk + γ q Ψ i=2 0i Q ki ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

36 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi METODO DI ANALISI STATICA LINEARE modllo pazial Calcolo dl taglio alla ba: n G k + ΨEi Q i= ki PESO SISMICO Y Z X PIANO 3: P3=G3+0.3xQ3+0.2xQN= t PIANO 2: P2=G2+0.3x0.5xQ2 = t PIANO : P=G+0.3x0.5xQ = t Ptot= t 2.5 Tc S Adx( T x) = ag S 0.25x.25x x g q = T x = 2.5 Tc S Ady ( T y ) = ag S = 0.25x.25x x g q T y = V V MAX bx MAX by = x955.5 = 76.9t = x955.5 = 8.8t F i = V b Wi zi W z j j F i, F i,2 F i,3 ING. LEONARDO BANDINI, pota@lonardobandini.it

37 Elmnti di progttazion truttural Prof.a Ing. Gloria Trnzi ING. LEONARDO BANDINI,