METODI DI ANALISI ESEMPI 2

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1 CORSO DI AGGIORNAMENTO SULLA NORMATIVA SISMICA DI CUI ALL ORDINANZA 374 DEL 3 3, 8 aprile 1 maggio 4 METODI DI ANALISI ESEMPI 1

2 Dati struttura ESEMPIO Edificio adibito ad uso uffici Edificio di due piani realizzato con struttura a telai in cemento armato con copertura piana Altezza di interpiano 3.5 m Solai orditi in direzione y y x 6

3 TIPO DI ANALISI La struttura soddisfa i requisiti del punto risultando regolare sia in pianta sia in elevazione Essendo contemporaneamente regolare in pianta ed in elevazione, la struttura è sicuramente regolare. La condizione di regolarità in pianta ed in altezza della struttura consentirebbe di utilizzare l analisi statica lineare considerando due distinti modelli piani,, uno per ciascuna direzione principale (punto 4.4). Tuttavia, a titolo di esempio, si svolgerà la valutazione dell azione sismica con il metodo dell analisi modale 3

4 MODELLI PIANI In base alle caratteristiche di regolarità della struttura si considerano i modelli separati dei due telai piani evidenziati in figura Direzione x 6 x 4 y z x 6 Direzione y z y 4

5 SEMPLIFICAZIONI I solai si possono considerare rigidi nel proprio piano Poiché l edificio ha meno di tre piani,, il coefficiente correttivo λ è assunto pari ad 1 Nel calcolo dell azione sismica, i pesi di ogni piano si considerano uniformemente ripartiti su tutti i telai 4.5. λ : coefficiente pari a:.85 per edifici con almeno 3 piani e se T 1 <T C 1. per tutti gli altri casi 5

6 Dati dei telai in direzione X: Dimensione delle travi: Dimensione delle colonne: Peso dei solai: Peso dei muri divisori: Sovraccarico: Modulo elastico del calcestruzzo:.3x.5 m.3x.3 m 4 kn/m 1.3 kn/m kn/m (D.M. 16/1/1996) E8.5x16 kn/m Peso volumetrico del cls: 5 kn/m 3 (D.M. 16/1/1996) z x 6

7 3.3 EFFETTI AZIONE SISMICA Gli effetti dell azione sismica saranno valutati tenendo conto delle d masse associate ai seguenti carichi gravitazionali: G k + ( ψ Q ) i Ei ki dove: Ψ Ei è il coefficiente di combinazione dell azione variabile Q i che tiene conto della probabilità che tutti i carichi Ψ i Q Ki (SLD) o Ψ i Q Ki (SLU) siano presenti sull intera struttura in occasione del sisma, e si ottiene moltiplicando Ψ i o Ψ i per ϕ Destinazione d uso Abitazioni, uffici Uffici aperti al pubblico, scuole, negozi, autorimesse Tetti e coperture con neve Magazzini, archivi, scale Vento Y i Y i Carichi ai piani Carichi indipendenti Archivi Carichi correlati ad alcuni piani Copertura Altri piani Copertura Piani con carichi correlati Altri piani

8 CARICHI TELAIO DIREZIONE X In conformità con il punto 3.3 della norma, gli effetti dell azione sismica sul telaio in direzione X sono valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenti carichi gravitazionali: Piano 1: 1 m x1 ((G x1d Piano : m x ((G xd Piano 3: 3 x3 ((G x3d m x3 x1d +G x1p )+ xd +G xp )+ x3d +G x3p )+.5x.3xQ x1 )/ ton )+.5x.3xQ x )/ ton x3p )+1x.3xQ x3 +.5x.xQ xn )/ ton 3.3 G + ( ψ Q ) + ( ϕ ψ Q ) k i Ei ki G k i i ki Destinazione d uso Abitazioni, uffici Tetti e coperture con neve Y i.3. Carichi ai piani Carichi indipendenti Copertura Altri piani

9 MATRICI M,K DEL MODELLO Tenendo conto delle proprietà geometriche e meccaniche degli elementi strutturali e delle masse associate a ciascun piano del telaio, è possibile calcolare le matrici di massa e di rigidezza che descrivono il modello matematico della struttura M ton K kn/m 9

10 Sistemi a più gradi di libertà (MDOF) : In generale le matrici di massa e rigidezza della struttura introdotte prima risultano essere non diagonali. Per questo motivo non è possibile disaccoppiare le equazioni di moto. Si procede con una sostituzione di variabili per l individuazione dei modi propri di vibrazione della struttura: Mu && + Ku u e Mω e K e iωt iωt iωt Φ Φ + Φ ( K M? ) Φ Tralasciando la soluzione banale Y è possibile ottenere le frequenze angolari proprie del sistema: 1 MK ω I λ ω 1 MK λi Questa espressione è equivalente al calcolo degli autovalori λ della matrice (M- 1 K).. Si calcolano poi i corrispondenti autovettori Φ che rappresentano i modi di vibrazione e si assembla la matrice F dei modi. 1

11 CALCOLO FREQUENZE PROPRIE Per valutare le frequenze proprie del sistema è necessario risolvere l equazione agli autovalori: K ω M ω ω ω Dalla quale si ricava che gli autovalori e le corrispondenti frequenze proprie della struttura sono: ω ω.9 rad / s

12 CALCOLO FORME MODALI Per calcolare il primo autovettore si procede alla soluzione del sistema lineare (ponendo ω7.7) 7.7): K ω M Φ Φ Φ Φ 1,1 1, 1,3 Procedendo in maniera analoga per gli altri modi e normalizzando gli autovettori rispetto allo spostamento massimo, si ottengono i tre autovettori: Φ Φ Φ

13 Calcolo del fattore di partecipazione modale Fattore di partecipazione M * Φ T MΦ * M M { } * 1 γ Φ T M i M * γ γ { } Il vettore di influenza del terremoto {i}, è un vettore unitario poiché si è supposto che il sisma agisse nella stessa direzione dei gradi di libertà del sistema 13

14 CALCOLO MASSE MODALI PARTECIPANTI Massa modale partecipante ~ M T ( Φ M i ) M * 146 ~ M 15 ton.8 Poiché la massa totale è pari a ton, le percentuali delle masse modali partecipanti sono: ~ M 146 / /163.8 %.8 / % 1.71 Il primo modo di vibrare attiva la quasi totalità della massa partecipante 14

15 ACCELERAZIONE SPETTRALE A SLU Zona a g.5g Suolo di tipo B S1.5 T B.15 s T C.5 s T D s Periodi di vibrazione T π ω T.81.7 s.18.8 Elastico T T T C B B T 1 < T < T < T T T C C D ; ; ; S S S Ad Ad Ad (T ) a (T (T 3 1 ) ) a a g g g S S S.5 q.5 q.5 q T T C 1.134g.134g.8g S AD [g].6.4 T 3 T T 1 Strutture a telaio+piani+campate Periodo [s] 15

16 Forze modali Le forze modali che si esercitano sulla struttura possono essere ricavate dalla relazione: F max s MΦ Ad ( T ξ ) γ gs, max F si kn i : numero di piani : numero di modi Modo 1 Modo Modo 3 16

17 PARAMETRI DI RISPOSTA Si deve svolgere un analisi statica per ciascuna delle distribuzioni ioni di forze modali calcolate: max F si kn max max F si 14.6 kn F si kn I parametri di risposta relativi a ciascun modo (spostamenti, reazioni vincolari, sollecitazioni), ricavati da ciascuna analisi, devono essere combinati (secondo quanto riportato dalle norme al punto 4.5.3) per ottenere il valore di progetto Verifica dell indipendenza reciproca dei modi di vibrare T.7s <.9 T 1.73s T 3.18s <.9 T.4s Dal momento che i modi sono indipendenti, le risposte possono essere combinate utilizzando il metodo SRSS E E i 17

18 COMBINAZIONE PARAMETRI DI RISPOSTA A titolo di esempio sono riportate le combinazioni modali delle reazioni derivanti dall analisi statica delle forze esercitate da ciascun modo di vibrare Reazioni F s1 max F s max F s3 max SRSS R x Pilastro laterale R z M y [knm] R x Pilastro centrale R z M y [knm] Rx kn 7. 14kN 18

19 CONFRONTO ANALISI Poiché lo stesso edificio è stato in precedenza studiato mediante e analisi statica lineare, è interessante confrontare i risultati ottenuti: : in un caso applicando alla struttura le forze statiche equivalenti, nell altro svolgendo l analisi modale Reazioni R x Pilastro laterale R z M y [knm] R x Pilastro centrale R z M y [knm] Analisi STATICA Analisi MODALE Errore % 9% 15% 11% 1% 14% 11% In questo caso le due analisi sono in buon accordo. L analisi statica sovrastima i valori delle reazioni del 1 15% rispetto all analisi dinamica. In strutture regolari,, dove il primo modo di vibrare è solitamente quello prevalente,, è possibile usare l analisi statica lineare con un buon livello di precisione. 19

20 ESEMPIO 3 Struttura regolare in pianta ma non in altezza Masse di piano: m 1 9 ton m 3 ton m 3 9 ton 3 m 3 m m 1 m m 3 M ton 4 m K kn/m

21 Percentuali masse modali partecipanti ~ M 74 6 % Periodi di vibrazione T.4.16 s.9 Accelerazioni spettrali Forze modali.133 S Ad.133 g max F si kn 1

22 ANALISI SOLLECITAZIONI Applicando staticamente ciascun vettore di forza si calcolano le sollecitazioni, che vengono poi combinate con il metodo SRSS. In modo analogo, ripetendo la procedura per il calcolo delle azioni statiche equivalenti con il metodo dell analisi lineare si ottengono le seguenti forze: 168 max F si 39 kn 67 da cui, con un analisi statica, si possono calcolare le sollecitazioni.

23 CONFRONTO AZIONI TAGLIANTI Analisi Statica (L.Petrini, R.Pinho, G.M.Calvi) (L.Petrini, R.Pinho, G.M.Calvi) Analisi Modale 3

24 CONFRONTO ANALISI In questo secondo caso, il controllo esemplificativo delle reazioni vincolari negli elementi strutturali mette in evidenza differenze e tra le due soluzioni non più trascurabili. Essendo la struttura irregolare, il primo modo di vibrare non può più avere l andamento lineare ipotizzato dall analisi statica (punto ). Inoltre i modi superiori al primo possono diventare rilevanti. Pilastro laterale sinistra Pilastro laterale destra Pilastro centrale destra Reazioni R x R z M y [knm] R x R z M y [knm] R x R z M y [knm] Analisi STATICA Analisi MODALE Errore % 6% 7% 7% 35% 18% 5% 18% -46% 5% 4

25 ESEMPIO 4 Edificio alto e flessibile (3 piani) regolare in pianta ed in altezza Non è soddisfatta la relazione 3.67T 1.5T C.5 L analisi statica non è ammessa dalla normativa In figura sono indicati gli errori in termini di tagli tra l analisi l modale ed una eventuale analisi statica 71 % 66 % 6 % 53 % 46 % 38 % 31 % 3 % 16 % 9 % % -3 % -8 % -1 % -11 % -1 % -8 % -4 % % 5 % 1 % 15 % 18 % 5

26 BIBLIOGRAFIA 1. Ordinanza 374 del P.C.M. Del /3/3, Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per la costruzione in zona sismica. Nota esplicativa del Dipartimento di Protezione Civile del 4/6/3 3. Ordinanza 3316 del P.C.M. del /1/3, Modifiche ed integrazioni all Ordinanza del P.C.M. N.374N del Marzo 3 4. L.Petrini, R.Pinho, G.M.Calvi,, Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici, IUSSPRESS, Pavia, 4 5. A.Neulichedl,, La progettazione secondo la nuova normativa sismica in zona 4, Merano, 3 6. Aurelio Ghersi,, La regolarità strutturale nella progettazione di edifici in zona sismica 6