MATEMATICA CORSO A I COMPITINO (Tema 2) 18 Gennaio 2010

Transcript

1 MATEMATICA CORSO A I COMPITINO (Tma ) 18 Gnnaio 010 TESTO E SOLUZIONI 1. Una oluzion è un itma omogno prodotto dallo cioglimnto di una otanza olida, liquida o gaoa (oluto) in un opportuno liquido (olvnt). La concntrazion di una oluzion, pra olitamnt in prcntual, è il rapporto tra la maa dl oluto qulla dlla oluzion. a) 0 g di al vngono diciolti in 180 g di acqua; quanto val la concntrazion dlla oluzion? b) Aggiungndo 100 g di olvnt ad una oluzion al 10% i ottin una oluzion final al 8%; calcola la maa inizial dlla oluzion. Indichiamo con il oluto con S il olvnt. a) Abbiamo = 0 g S = 180 g quindi la concntrazion è data da c = S = 0 00 = 1 10 = 10% b) Indichiamo la maa inizial dlla oluzion S con x, allora x = x 100 = = x 10 = Uguagliando l du quantità i ottin (x 100) 5. da cui x (x 100) = 10 5 (5/)x = x 00 x = 400 gr. Un acchtto contin pallin Ro, 4 pallin Vrdi 3 pallin Blu; i traggono 3 pallin nza rima. 1

2 a) Calcola la probabilità ch tutt 3 iano Vrdi. b) Calcola la probabilità ch iano Blu 1 Vrd. c) Calcola la probabilità ch almno 1 ia Roa. Si hanno 9 pallin in total quindi P(R) = 9 P(V ) = 4 9 P(B) = 3 9 = 1 3 a) b) P(3V ) = 4 9 P(B 1V ) = ( = 1 1 ) = 1 7 c) P(almno 1R) = 1 P(0R) = = (4 punti) In un laboratorio i miurano l lunghzz dll fogli di un dato albro tali lunghzz ono compr tra 7 cm 15 cm. La dviazion tandard può r cm? Giutifica la ripota. S x i ono l miur ffttuat i ha 7 x i 15 i quindi 7 < x i < 15 x max x min 8. La dviazion tandard è una miura dlla diprion di dati intorno al valor mdio può miurar cm. 4. Riolvi la gunt diquazion Digna poi l inim S T dov 1 x x x S = {(x, y) R R : y 1 x } T = {(x, y) R R : y x x} Poiamo procdr analiticamnt o graficamnt (vdi Figura 1); cgliamo la prima trada. S x 1 allora 1 x x x x x 1 0 x 1 5 x 1 5

3 da cui gu (ricorda ch x 1) S x > 1 allora x 1 5 x 1 x x x 3 x1 0 x 3 5 da cui gu (ricorda ch x > 1) x 3 5 x 3 5 La oluzion complta è allora (com puoi vdr in Figura 1) x 1 5 x 3 5 Figura 1: Grafici dll funzioni y = 1 x y = x x. L inim S T è qullo compro tra i du grafici 5. In una data popolazion un alll dominant è rponabil di una crta malattia M. Sia 0.1 la frqunza di tal alll nlla popolazion upponiamo ch la popolazion ia in quilibrio di Hardy-Winbrg. a) Qual è la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia ano? b) Qual è la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia ano, apndo ch i gnitori ono ntrambi afftti da M? c) Sapndo ch, in una coppia con 3 figli, i gnitori ono ntrambi afftti da M, qual è la probabilità ch almno un figlio ia ano? 3

4 Dtto A l alll dominant (rponabil dlla malattia M) a l alll rcivo, la frqunza dll alll A è p = 0.1, mntr qulla dll alll a è q = 0.9, quindi l frqunz gnotipich ono dat da AA p = 1% Aa p q = 18% aa q = 81% a) Snza informazioni aggiuntiv la probabilità ch un individuo pro a cao nlla popolazion ia ano è pari alla frqunza dl gnotipo aa, 81%. b) Si dv qui calcolar una probabilità condizional P(F S P M M M ) dov F S ta pr figlio ano, P M ta pr padr malato M M ta pr madr malata. S il padr è malato (Aa o AA) la madr pur (Aa o AA) il figlio arà ano ntrambi ono Aa d ntrambi portano l alll a: P(F S P M M M ) = P(F S P M M M ) P(P M )P(M M ) = (1/) 0.18 (1/) 0.18 (1 0.81) 0.09 (1 0.81) = 81 c) Siamo nlla ituazion dl punto b): gnitori malati. La probabilità ch almno un figlio ia ano è ( 3 1 P(almno 1 ano) = P(1 ano) P( ani) P(3 ani) = oppur ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 81 ) ( ) ( P(almno 1 ano) = 1 P(3M) ) ( ) 81 3 dov P(3M) = (1 P(F S P M M M )) 3 = ( )

5 6. Sia data la funzion f(x) = (a 1)x b 1 x con i paramtri a, b R a, b 1. a) Calcola i paramtri a b apndo ch f( 1) = 6 f( 5) = 10. b) Dtrmina l prion plicita dlla funzion g(x) ottnuta tralando il grafico di f(x) di 1 unità vro dtra poi dividndo pr l ordinat. c) Data la funzion con i paramtri calcolati nl punto a) trova i valori di x pr i quali f(x) 6. a) L inim di dfinizion dlla funzion, qualunqu iano i paramtri (uppoti ntrambi divri da 1), è R {0}. Imponndo l condizioni f( 1) = 6 f( 5) = 10 i arriva al itma linar di du quazioni nll du incognit a b { a b = 8 5 (a 1) (b 1)/5 = 10 ch ha com oluzion a = b = 6 (i può riolvr, ad mpio, pr otituzion). La funzion crcata è quindi f(x) = x 5 x b) La prima traformazion da applicar è x x 1 ottnndo la funzion h(x) = (x 1) 5/(x 1) ; tnndo poi fia la funzion dividndo pr l ordinat, i ha un ricalamnto ch porta alla traformazion h(x) h(x) ottnndo g(x) = [ (x 1) 5 (x 1) S la diviion pr dll ordinat fo tata intrprtata com diviion di valori dlla funzion avrmmo avuto g(x) = 1 [ ] (x 1) 5 (x 1) c) Imponndo f(x) 6 i ha x 5 x 6 x4 5 6 x x x x 4 6 x 5 0 (x 1)(x 5) 0 (x 1)(x1)(x 5)(x5) 0 5 x 1 1 x 5 ] 5