ELEMENTI DI ELETTRONICA APPLICATA E DI CONTROLLI AUTOMATICI Ing. Meccanica Consorzio Nettuno Torino Compito del

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1 Soluzion rcizio L quazioni dinamich dl itma ono: art lttrica: di v Ri + L + ω dt dov ω è la forza controlttromotric. art mccanica: dω J ϑ βω + i dt dϑ ω dt dov Jl M è il momnto d inrzia dl itma a du ma. Si noti ch l forz po ch agicono ull du ma gnrano du coppi di ugual valor vro oppoto la cui omma è nulla. rimo punto. finndo i ϑ, ω u v, y ϑ, l quazioni dinamich divntano: R L J L J + u L β J y Nlla rapprntazion in variabili di tato A + Bu y Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino

2 l matrici A,B, ono allora: Scondo punto. R L L L A, B, β J J J [ ],. r il calcolo dll funzioni di trafrimnto i può procdr L-traformando l quazioni dinamich: V() ( R + L)() + Ω() ( J+ β) Ω( ) Θ( ) + ( ) Θ( ) Ω() Ricavando Ω() dalla trza quazion otitundolo nlla prima nlla conda i ha: V () ( R + L)() + Θ( ) ( J + β + ) Θ( ) () Ricavando () dalla conda di qut otitundolo nlla prima i ottin: V La funzion di trafrimnto crcata è allora: () ( R+ L)( J + β + ) Θ( ) + Θ( ) Θ( ) G() V () [( R + L)( J + β + ) + ] Soluzion Ercizio rimo punto Siano N G,N, G i numratori i dnominatori di G. l critrio di Routh dv allora r applicato al dnominator dlla funzion di trafrimnto in catna chiua ch riulta r il polinomio di trzo grado: G G ( + 4) + ( ) + N N + + Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino

3 La tablla di Routh aociata a tal polinomio è la gunt: Affinché l radici dl polinomio abbiano tutti part ral ngativa è ncario ufficint ch: > 4 > > Qut diguaglianz dfinicono l inim di valori di paramtri, ch garantic la tabilità aintotica dl itma in catna chiua. Scgliamo ora i valori 4 on tali valori, il diagramma di Bod di G a ()()G() è il gunt: Bod iagram 4 From: U() ha (dg); Magnitud (db) To: Y() Frquncy (rad/c) Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino

4 al diagramma di Bod i ricava il diagramma di Nyquit di G a (): Nyquit iagram From: U() maginary Ai To: Y() Ral Ai l numro p cc di poli intabili dl itma in catna chiua è dato da: p cc n + pca dov n è il numro di giri in no orario ch il diagramma compi attorno al punto p ca è il numro di poli intabili in catna aprta. Nl notro cao, contando com tabil il polo nll origin chiudndo in vro orario il diagramma di Nyquit, p ca, n quindi p ; la tabilità è prciò vrificata. cc Soluzion Ercizio Analii dll pcifich progtto dl compnator. Affinché il itma in catna chiua abbia un rror a rgim indotto da un rifrimnto a rampa finito, la funzion di trafrimnto dl itma ad anllo aprto dv avr un polo nll origin. È allora ncario ch il controllor () contnga un fattor dlla forma ) r dtrminar k occorr calcolar l rror aintotico d inguimnto a rampa: ( k r ; lim G( ) k k r k Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino 4

5 Si ha allora ch r. k n ba alla poibilità di tabilizzar il itma, tudiata mdiant il diagramma di Nyquit di G, cgliamo k poitivo, ad mpio k. l diagramma di Bod dlla funzion di trafrimnto F G è il gunt: Bod iagram From: U() 5 ha (dg); Magnitud (db) To: Y() Frquncy (rad/c) a quto diagramma i vd ch, pr avr un margin di fa maggior di 4 o, è ufficint diminuir la frqunza di taglio; poiché una riduzion dl guadagno provochrbb un aumnto dll rror d inguimnto, occorr utilizzar una rt attnuatric. Scgliamo allora com frqunza di taglio ω c.6 rad/, valor pr il qual i ha: F F on il compnator τ i + mi ( ), mi F + τ ( jωc ).74 o ( jω ) c ω ( jω ).74, τ 65, c i i c Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino 5

6 la funzion di trafrimnto F G, ha un margin di fa di o a.6 rad/ d un rror a rgim dovuto a rampa unitaria r.8. Tutt l pcifich ono quindi oddifatt la tabilità è ultriormnt vrificata dalla poizion di poli dl itma complto in catna chiua: i i L prion analitica dl controllor progttato è allora: () () () Valutazioni a potriori. r valutar la maima ampizza a rgim A dl comando u dovuto al diturbo d, occorr conidrar la f.d.t. L ampizza crcata è allora: U( ) ( ), ( ) + ( ) G( ) A U () () j4 *..9*..9. Tutor: Stfano Malan, ipartimnto di Automatica nformatica, olitcnico di Torino 6