Fondamenti di Automatica

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1 Fndamnti di Autmatica Allivi dl CL in Inggnria Elttrica Prima Prva 03/04-05 Sttmbr 04 Cgnm Nm N di Matricla Firma La prva dura 0 minuti. Durant la prva nn è cnntita la cnultazin di libri, dipn quadrni. Qut facicl cntin 5 rcizi numrici. Si prga di nn allgar alcun fgli di nn utilizzar il rtr dll ingl pagin.

2 Ercizi Si cnidri l chma a blcchi gunt z f dv G ( ) ( + ) è la funzin di trafrimnt di un itma linar tmp invariant dl cnd rdin, mntr, mntr f è una funzin ch lga algbricamnt l ucita dl blcc linar z z cn l cita nl md gunt f ( α z, dv α è un paramtr pitiv.. Si criva una ralizzazin in pazi di tat di G().. Si crivan l quazini in frma nrmal dl itma cmpliv i vrifichi ch l rigin è l unic tat di quilibri..3 Si tudi la tabilità dll tat di quilibri in funzin dl paramtr α> x& x u + z [ ]x x& x& x x x α( x x ) ( x x ) Quindi all quilibri x 0 x x ch ddifa x ( + α ) 0 la cui unica luzin (i ricrdi ch α>0) è x 0. Il itma linarizzat intrn all rigin ha matric dinamica 0 A. L rigin è dunqu aintticamnt tabil pr 0<α< intabil pr α>. α + α

3 Ercizi Si cnidri l chma a blcchi u H () dv G( ) α, + H ( ) + ( + )( + 3).) Si tudi la tabilità ainttica in funzin dl paramtr α 0..) Si tudi la raggiungibilità dl itma da u in funzin dl paramtr α 0..3) Si tudi l rvabilità dl itma da in funzin dl paramtr α 0. Il plinmi carattritic è: (7 + α) + 3 α 3 + E quindi (applicand il critri di Ruth Hurwit i ha ch il itma è aintticamnt tabil pr α > -.5. Dal punt di vita dlla raggiungibilità i può cnidrar l chma in ri u H () Dv i vinc ch nn ci n zri di G() ch cancllan pli di H(). Quindi il itma è raggiungibil da u pr tutti i valri (nn nulli) di α. Dal punt di vita dlla rvabilità i può cnidrar l chma in ri H () dv i vinc ch nn ci n zri di G() ch cancllan pli di H(). Quindi il itma è rvabil da pr tutti i valri (nn nulli) di α.

4 Ercizi 3 Si cnidri l chma a blcchi d H () R () dv G ( ), H ( ), ( ram(, d( ± ca(. ( + 0) ( + 0) Si ricavi un rglatr tal ch 0. ω c rad / c φ M 60 Nn c bign di inrir un altr intgratr. Pr ttnr il vincl tatic il guadagn tatic dl rglatr dv r maggir di 0. Scgliam 0. Bata allra una rt ritardatric quindi + 0 (0 )( + 0) una luzin è R( ) 0 cl ch L( ) 0 quindi + 00 ( + 0)( + 00) ω c, φm Bd Diagram Magnitud (db) Stm: untitld Frqunc (rad/c):.09 Magnitud (db): Pha (dg) Stm: untitld Frqunc (rad/c):.9 Pha (dg): Frqunc (rad/c)

5 Ercizi 4 Si cnidri in figura la chmatizzazin di un di un mantnitr idal di rdin zr a cadnza unifrm di prid T. v (k) v ˆ( ZOH 4. Si dica qual è il lgam tra la variabil di ingr a tmp dicrt v (k) qulla di ucita a tmp cntinu v ˆ(. 4. Si dimtri il lgam (ciè i ricavi l prin analitica di H () ) tra la trafrmata zta mnlatra V ( dlla variabil di ingr la trafrmata di Laplac mnlatra V ˆ( ) dlla variabil di ucita: ˆ T V ( ) H ( ) V ( ). v ˆ( v( k), k [ kt, ( k + ) T ) T t t t Vˆ( ) vˆ( dt vˆ( dt v( k) dt v( k) 0 k 0 ( k + ) T kt k 0 ( k + ) T kt k 0 kt T V ( T )

6 Ercizi 5 Si cnidri l chma a blcchi di un itma di cntrll a tmp dicrt: d R ( G ( dv z G (, d ( k) ca( k) ( z 5)( z ) Si ricavi un rglatr R ( tal ch il itma di cntrll ia aintticamnt tabil, l rrr (k) ia null a rgim, l rrr ia a rgim dp un numr finit minim di pai. La funzin di nitività S( dv avr 3 pli nll rigin, un zr in z, un zr in z5 inltr ddifar S(), S(), quindi ( z )( z 5)( z p) S( cn 3 ( p ) 8, quindi p4/3. Infin 3 z R ( G ( S( S( 3z 35 3z 4