Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
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- Isidoro Agostini
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1 Ingrl Indinio l Anidriv Il prosso invrso dll drivzion si him ingrzion. No l vrizion isnn di un grndzz p.s. l vloià è nssrio spr om si ompor l grndzz isn pr isn p.s. l posizion. No llor un unzion il problm onsis nl rovr un lr unzion F l h F = Ad s. s =^, porbb ssr F=^/ D. D l unzion, si him ni-driv o primiiv di in un inrvllo I un unzion F l h pr ogni di I vl: F = No. Un unzion primiiv dv ssr un unzion drivbil sull inrvllo I. No. Si mosrrà in sguio h un unzion oninu in un inrvllo [;b] mm smpr un primiiv mgri non sprimibil lmnrmn. No. Un onsgunz di orollri dl orm di Lgrng rm h l unzion primiiv di un unzion non è uni. L primiiv sono ini inini dirisono un dll lr pr un osn ddivi. Cr. il sondo orollrio l orm di Lgrng.
2 Ingrl Indinio l Anidriv Es. Si =^. Allor: F È un primiiv. M lo sono nh: F F F F k k In quno: F' F' k F' F' F' D. Si him ingrl indinio dll unzion l insim dll primiiv in un inrvllo I. Nor: Si indi on: d Simbolo di ingrl oppur Funzion ingrnd Vribil di ingrzion Dirnzil dll vribil di ingrzion Ed è osiuio d u l unzion dll orm F+ on =osn d F primiiv di No Vl pr dinizion: ' d No Vribil di ingrzion mu: d y dy
3 Ingrl Indinio l Anidriv No. Mnr nll oprzion di drivzion di ssoi d un unzion un lr unzion l su driv, nll ingrl indinio si ssoi d un unzion un lss insim di unzioni. Il lolo ingrl risul più diiil rispo l lolo dll driv No: Esisnz dll ingrl indinio. Pr lun unzioni nh bbsnz smplii non sis l orm nlii smpli pr l ingrl indinio: d s.: Inolr, non u l unzioni mmono un primiiv su un rmino inrvllo I un ondizion suiin è h sino oninu. Un unzion primiiv dv ssr un unzion drivbil quindi dv possdr lun proprià di rgolrià. Allo sopo vl il sgun orm:
4 Ingrl Indinio l Anidriv Torm. Si drivbil in un inrvllo I, llor può vr disoninuià solo di II spi: No. Non ogni unzion dini in un inrvllo é un unzion driv. Ad smpio unzioni on disoninuià liminbili o di I spi in rmino inrvllo, non sono driv di nssun unzion. As s. I [,] pr 0 pr - No. All unzion = non si può pplir il orm prdn rlivmn ll inrvllo I=[-,] in quno l unzion non è drivbil in =0 quindi non lo è in uo l inrvllo I. 0
5 5 L Tbll dll ni-driv immdi - d d d d os d sn os sn d n n os d d rn d rsn d Ch d Sh Sh d Ch
6 L Tbll dll ni-driv immdi Sh d Ch Ch d Sh d SSh d SCh d rsn 6
7 7 Proprià Ingrl Indinio Dll proprià dll driv disnd: d g d d g d k d k p. di ddiviià * p. di omognià ** Es. Ingrzion polinomi d 5 5 d d g H g H ' * F F ' g G g G ' ' ' ' ' G F G F g H G F H k H k H ' ** F F ' ' ' ' kf H kf kf H
8 8 Anidriv qusi immdi Considrimo: d ' d d d d d d d d os os sin os sin n
9 Considrimo: Anidriv qusi immdi k ' d k k on k - No: sin sin os d os sin os d sin d sin os d os sin os osn 5 5 d d
10 0 Anidriv qusi immdi ' d ' d d sin sin os d d d d
11 Anidriv qusi immdi os ' d sn ' os sn d n ' os d d sn d sn os d d n os os
12 Anidriv qusi immdi 5 ' rsn d rn ' d rsn d d d d rn 9 9
13 Anidriv qusi immdi 6 SSh d ' SCh d - ' SSh d sin sin sin sin os SCh d d
14 Rissuno: mbimno di vribili Quno sinor o può ssr osì rissuno: NOTO : g d G Possimo lolr: g ' d G Poihé: DG G' ' g ' Possimo nh usr un mbimno di vribili nll ingrl indinio: y dy ' d g ' d g y dy G y y G
15 Ingrzion Funzioni Rzionli Considrimo or ingrli dl ipo: N d D Con N D polinomi nll vribil. S n è il grdo di N d il grdo di D n d, l lgorimo di division di polinomi prm di srivr rvrso il quozin Q d il rso R dll division om sgu: N D Q R D Allor Q h grdo q=n-d d il rso R h grdo r<d. In u gnrlià supporrmo h n<d, pondoi ridurr quso so. Ci ouprmo in priolr di si n d smpr on n<d pr smpliià. 5
16 6 Ingrzion Funzioni Rzionli : dnominor di primo grdo Considrimo ingrli dl ipo: d b k d b k d b k d b k b k b k Es. d d
17 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ>0 Considrimo or ingrli dl ipo: m q d on b b S d sono l soluzioni rli disin dll q. di grdo ssoi l dnominor vl: b 0 Il prodimno vl nh pr m=0 L unzion ingrnd vin osì risri: m q b m q Si prod poi llo sviluppo in rzioni przili dl sondo or: m q A B 7
18 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ>0 A A B B A B A B Grzi l prinipio di idnià di polinomi, il sgun sism linr prm di rovr i vlori di A B: In onlusion: A B m A B q m q b d A d B d A B 8
19 9 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ>0 d d 5 d 5 B A B A B A / / 0 B A B A B A d d d 5
20 0 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ>0 d d 5 5 d 5 5 B A B A B A / 5 B A B A B A d d d / 5 /
21 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ=0 Considrimo or ingrli dl ipo: q d on b 0 b In quso so, s 0 é l rdi doppi dl dnominor bbimo: b 0 q q d d b 0 q 0 Es. d / d d /
22 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ=0 Considrimo or ingrli dl ipo: 0 on b d b q m * 0 d q m d b q m Si prod llo sviluppo in rzion przili dll unzion ingrnd: B A B B A B A q m Il sgun sism linr prm di rminr A B: q B A m B 0 d B A * 0 0 B A 0 0
23 Es. Ingrzion Funzioni Rzionli Δ= d 9 5 / d 5 / A / B / A B / / B A / B / B A B / 5 A / 9 / d / / d 9 / /
24 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ=0 Un modo lrnivo onsis nl r omprir l numror, on opporun rsormzioni lgbrih, l driv dl dnominor: Es d d d d d d d 9 / / / 9 9
25 5 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ<0 Considrimo or ingrli dl ipo: 0 on b d b Si dv onr il omplmno dl qudro di primi du rmini +b l dnominor poi ingrr in rongn. d d d d d y d dy dy y rn y rn d dy y
26 6 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ<0 Considrimo or ingrli dl ipo: 0 on b d b q m Si lvor in modo d r omprir numror l driv dl dnominor; qullo h rimn si ingr in rongn om nl so prdn: d d d d d d * d
27 7 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ<0 rn d d d d d dy y dy y rn y rn 6 *
28 8 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ<0 bis Considrimo or ingrli dl ipo: 0 on b d b q m Si lvor in modo d r omprir numror l driv dl dnominor; qullo h rimn si ingr in rongn om nl so prdn: d d 6 d 6 d d d - 6 * - d
29 9 Ingrzion Funzioni Rzionli Δ<0 bis 6 rn d d d d 6 d dy 6 6 y dy y 6 rn y 6 rn 8 - *
30 Ingrzion pr Pri Priolr ni di ingrzion. D du unzion,g oninu on driv oninu : g' 'g g' g ' 'g g' 'g g' g 'g g' 'g g g' ' g d g Appli ll ingrl dl prodoo di du unzioni di ui dv ssr no, in prnz, un primiiv di un dll du nll s. l. g' d Spsso i si riris ll d om or dirnzil d ll g om or inio No In luni si è vnggioso onsidrr nh = Es. L ingrl dl logrimo d d d 0
31 Ingrzion pr Pri Es. os d g ' os sn d sn sn sn d sn os os d sn os sn g ' sn In gnrl si us [ P polinomio ] : P h d g P ' h os b sn b g h ' P rn h l d h sn b,os b, l sn b,os b, L sl di g è indirn
32 Ingrzion pr Pri d d sn os Es. g ' d Es. d sn sn g ' d sn sn os d sn sn os sn d sn os sn d sn os d
33 Ingrzion pr Pri d sn d sn os os os Es. ' sn sn g d sn os os d sn sn d sn sn os os os sn d sn sn d sn os Alrniv: d sn d os d os sn sn
34 Ingrzion pr Pri 5 d os d sn sn sn os Es. os ' os g d sn sn os d sn d sn os os os os os os sn d sn d os os Es. d sn d os sn sn os os d os... os d Es. sn
35 Es. Ch d Ingrzion pr Pri 6 Sh Sh d Sh Ch Sh Ch Ch g Ch ' Ch Sh d Ch d Sh Ch d Sh Ch Sh Ch Ch d Es. Sh d Ch Ch d Ch Sh Ch Sh d Ch Sh Sh d Ch Sh Ch Sh g Sh ' Sh Sh Ch Sh d d
36 Ingrzion pr Sosiuzion E l ni più diiil gnrl. Pr pplirl bisogn ini sosiuir nll ingrl indinio ll vribil un lr unzion on l obiivo non di risolvr immdimn il lolo m di smpliirlo. d g g' È nssrio ll in dl lolo dll ingrl sondo mmbro nll vribil riornr ll vluzion dll ingrl primo mmbro nll vribil mdin l invrsion dll rlzion =g. Priò, più prismn, l rlzion prdn divn: g d g' d g g' g 6
37 Ingrzion pr Sosiuzion: pplizioni simili l mbimno di vribil Tipologi F d F : unzion rzionl Sosiuzion d d Es. d d d rn rn rn 7
38 Ingrzion pr Sosiuzion: pplizioni simili l mbimno di vribil Tipologi F, b d F unzion rzionl Sosiuzion: b b d d Es. 5 5 d d d
39 Ingrzion pr Sosiuzion: pplizioni simili l mbimno di vribil Tipologi F sn b,os b d F unzion rzionl Sosiuzion : os sn d d d Es. os sn d os os os os sn d 9
40 Es. Ingrzion pr Sosiuzion: pplizioni simili l mbimno di vribil d d d d d rn rn 0
41 Ingrzion pr Sosiuzion: Esmpi priolri 0 d os d sn d Sh d Ch d Ch d Sh
42 Es. Ingrzion pr Sosiuzion: Esmpi priolri d os d sn os sn sn os ros sn sn sn snros ros * ros S uo l sosiuzion sn d os rsn * snros : y ros os y sn y os y
43 Es. Ingrzion pr Sosiuzion: Esmpi priolri Sh Ch Sh Ch SSh d Ch Ch Ch * SSh Sh d Ch SSh : * ChSSh : y SSh Sh y Ch y Sh y
44 Ingrzion pr Sosiuzion: Esmpi priolri Es. Sh Ch d Sh Sh Sh SCh Ch Sh SCh * Sh d Ch : SCh : ShSCh * SCh y y Ch y Sh y Ch
45 Ingrzion pr Sosiuzion: Esmpi priolri d SSh d SCh d rsn 5
Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
Ingral Indinio l Anidrivaa Il prosso invrso dlla drivazion si hiama ingrazion. Noa la variazion isanana di una grandzza p.s. la vloià è nssario sapr om si ompora al grandzza isan pr isan p.s. la posizion.
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Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
Integrale Indefinito e l Antiderivata Il proesso inverso della derivazione si hiama integrazione. Nota la variazione istantanea di una grandezza p.es. la veloità) è neessario sapere ome si omporta tale
9. Eventuali Punti di non derivabilità: Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. 10.Derivata seconda (calcolo)
Capisaldi:. Insim di sisnza Sudio di una funzion.. Evnuali simmri pari, dispari, priodicià. Grafico riconducibil. Inrszioni con gli assi. Sgno dlla funzion [f 0] 5. Limii alla fronira dll insim di dfinizion
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