Risolvi i seguenti esercizi rispondi a 4 quesiti a scelta tra quelli proposti nel questionario

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1 Risolvi i segueni esercizi rispondi quesii scel r quelli proposi nel quesionrio Clcol le segueni primiive. Quindi c ln e. Pongo d cui segue, llor: ( e ) d ( e ) c ( e ) c e e d. sin ( ) Pongo d cui segue, llor: d sin [ cos cos d] [ cos cos d] c [ cos sin ] c [ cos( ) ( )] c sin sin Clcol i segueni inegrli.

2 6 6. ln e e Pongo e ln d cui si oiene: ln d d d d e e [ ] rcn rcn rcn π π π d. 9, ± ± ± e llor pplichimo il principio di idenià dei polinomi: Quindi uguglindo i coeicieni delle poenze omologhe 6 Quindi l inegrle inizile diven:

3 [ ln ln ] ( ln ln( ) ln ln ) ln ln( ) ln Prolemi sui solidi di rozione. Clcol l re e il volume del solido di rozione genero d un rozione comple orno ll sse dll unzione Dll ormul per il volume di rozione si oiene: V π π y e delimio dlle ree vericli e. ( ) pplichimo il principio di idenià dei polinomi: ( ) ( ) ( )( ) Quindi uguglindo i coeicieni delle poenze omologhe π, quindi 6 6 ( ) π ln9 ln ln 9 π L re vle: π [ ln ( ) ] π [ ln 9 ( 9) ln ( ) ] ln, π π d π d π 6 rcn 6, 6 6 π 6 rcn 6 rcn d π. Si S il grico dell unzione delimio dlle ree vericli,. Clcolre l're dell supericie del solido genero cendo ruore S orno ll'sse y. Poiché l rozione vviene orno l sse y devo ricvre l unzione rispeo l vriile y: y y Inolre per le limizioni: y ( ) y y

4 Dll ormul per l supericie di rozione: π ydy Pongo y d cui si oiene y y Per le limizioni si h: y ( ), y ( ) ( ) dy π ( ) dy π dy π dy π π π π Quesionrio. Clcol un primiiv dell unzione ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln ( ln ) ln ( ln ) ln ( ln ) ln ln [ ln ] ln [ ln ] c ln ln c ln. Illusr il conceo di inegrle deinio. Il signiico di inegrle deinio rppresen l misur dell re delimi d un unzione, dell sse e d due esremi (sempre per l unzione). Considerimo il seguene grico: L inegrle deinio quindi rppresen l esensione dell zon color in gillo. Per clcolre il suo vlore procedimo uilizzndo delle pprossimzioni per oenere vere un sim dell re conrssegn.

5 pprossimzioni per dieo L ulim igur rppresen un sim migliore dell re soes dl grico dell unzione, ini si vede chirmene che i rengoli gilli riescono ricoprire un supericie mggiore rispeo quno ccde nell igur precedene. Per vere un sim ncor migliore dell re è possiile scegliere di uilizzre rengoli di se decrescene. Queso procedimeno, in ogni cso, resiuisce un sim per dieo dell re in quesione. Ripeimo il rgionmeno eeuo, scegliendo di uilizzre rengoli che conengno il grico dell unzione. pprossimzioni per eccesso

6 Le ulime due igure rppresenno un sim mggiore dell re soes dl grico dell unzione, il vlore dell pprossimzione che si oiene in pricolre nell ulim igur resiuisce un sim più vicin l vlore rele dell supericie. Per vere un sim ncor migliore dell re è possiile scegliere di uilizzre rengoli di se decrescene. Queso procedimeno, in ogni cso, resiuisce un sim per eccesso dell re in quesione. Possimo chimre S in l pprossimzione per dieo dell re deermin dll unzione e S sup l pprossimzione per eccesso dell medesim re. Si h quindi S in S sup Fcendo endere zero l misur dell se dei rengoli si h che le due ree S, S endono in sup llo sesso vlore che rppresen quindi l misur dell re, cioè il vlore dell inegrle deinio. Se per un le unzione è possiile re queso ipo di operzione diremo che è inegrile nell inervllo ssegno. Per deerminre precismene il vlore di le re si uilizz l Formul ondmenle del clcolo inegrle: Si un unzione inegrile su un inervllo [ ] R primiiv di in [, ], si h, e do di primiiv. llor, se F è un F ( ) F( ) Inolre do un inervllo [, ] R e un unzione :[, ] R, un unzione F [, ] R dice primiiv di se F è derivile su [, ] e risul [, ] F :, si

7 Teorem (ormul ondmenle del clcolo inegrle) Si un unzione inegrile su un inervllo [ ] R primiiv di in [, ], si h F, e do di primiiv. llor, se F è un ( ) F( ). Illusr il eorem dell medi inegrle e ppliclo per clcolre il vlor medio per l unzione Teorem dell medi Si R( [ ; ] ) e nell inervllo ;. llor esise (per l limiezz di ) un vlore µ le che per cui risul µ in ;sup [ ; ] [ ; ] µ ( ) Se è coninu su [ ; ] llor esise c [ ; ] le che ( c) Esso ci dice che esise un puno c [ ; ] ( c)( ) µ e l inegrle si può esprimere le che l re del rengolo vene se e lezz ( c) h l sess re soes dll inegrle. e. ( c) e e e e [ e ] e. Spieg il conceo di inegrle generlizzo Un inervllo compo è un inervllo chiuso e limio, un inervllo non compo è un inervllo pero o non limio, oppure si pero che non limio. Deinizione: si un unzione inegrile secondo Riemnn su ogni inervllo [ ; ] [ α; β ] esise inio il vlore di.se

8 lim α β L llor è inegrile in senso generlizzo su ] ; [ e il vlore L è deo inegrle generlizzo di su ] ; [. Possimo vere inegrli generlizzi del ipo con lmeno uno degli esremi non ppreneni l dominio di oppure oppure ininio con lmeno uno degli esremi vene vlore nel cso un puno di disconinuià c osse inerno ll inervllo di inegrzione [ ; ] per sudire l convergenz risulne si deve sudire l singol convergenz degli inegrli generlizzi secondo memro c In quesi csi si procede llor sosiuendo l esremo di inegrzione che non è compreso nell inervllo compo con un leer generic, Nel cso in cui l inegrle ssegno vesse vlore ininio si conclude ermndo che l inegrle è divergene. Per il clcolo di inegrli generlizzi si possono uilizzre si il eorem di inegrzione per sosiuzione si il eorem di inegrzione per pri ed in seguio ll ppliczione di li regole è possiile pssre d un inegrle ordinrio (cioè deinio su un inervllo chiuso e limio) d un inegrle generlizzo e vicevers. c. pplicndo il meodo dei rengoli clcol un pprossimzione dell inegrle Scomponimo l inervllo in pri: I ; I ; M I M I 6 6 6

9 I ; I ; M I M I L inegrle pprossimo llor diven: (,9,,,),,,, 9 6. Clcol l re dell supericie compres r le unzioni y 6 e y Poiché l second prol h coeiciene negivo per sso, perno è l unzione superiore, ini: h concvià rivol verso il Clcolimo gli esremi di inegrzione: y 6 y d cui si oiene llor: S ( 6) ( ). Uilizzndo l ormul l [ ] per il clcolo dell lunghezz di un curv, deermin l lunghezz dell rco dell unzione esremi e. compres r gli l [ 6 6] 6 6

10 Dimo un sim del vlore l uilizzndo un meodo di pprossimzione: scomponimo l inervllo [ ;] in [ ; ] [ ;] [ ;] ( (, ) (,) ) (,6,), l. Enunci e dimosr l regol di inegrzione per pri e uilizzl per clcolre cos. Teorem di inegrzione per pri Sino e g due unzioni derivili su [ ; ] e sino e g inegrili su [ ] ormul ;. llor vl l g ( ) g( ) ( ) g( ) g Dimosrzione Le ipoesi ssicurno che su [ ] g (nch ess inegrile su [ ; ] ), llor: ; risul inegrile si g si g, considerimo llor [ g] g g D llor per il eorem ondmenle del clcolo inegrle e dl o che g g g è un primiiv di Per le proprieà dell inegrle ( g g ) ( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) g g d cui si oiene l ormul che dimosr il eorem Clcolimo g ( ) g( ) ( ) g( ) cos sin sin sin cos c g