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1 ESECIZI di FONDMENTI DI UTOMTIC a ura di Paolo Maioni pmaio@homail.om diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org Qu pagin ono pro dall lggi ul dirio d auor. L uor via quindi pramn qualunqu uilio a fini di luro di qu pagin. Chiunqu è libro di ariar, onular, ampar diribuir qu pagin purhé non iano alra nuno n ragga vanaggio onomio. Qui appuni vngono ri pubblii dall uor al fin di rndr un uil rviio agli udni. Nonoan la ura l numro rviioni dl o, l uor non può garanir l aolua orra dl onnuo di qu pagin. Il onnuo di quo doumno non è di pr é uffiin pr il upramno dll am. diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org I i dgli rii ono rai dai mi d am dl prof. Paolo oo dl Polinio di Milano, ariabili dal io: hp:// Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

2 POBLEM Si onidri il gun ima dinamio a mpo oninuo: ( ) ( ) u( ) () () ) Srivr i movimni libri di ao uia a parir dal gnrio ao iniial ; ) Srivr l prioni di movimni forai di ao uia quando u()in(); ) Srivr l prion dll uia ompliva quando nd ad infinio; ) Vrifiar il riulao dl puno prdn ol orma dlla ripoa in frquna. Pr rivr l prioni di movimni libri forai i ono du vi: riordar la formula di Lagrang oppur riolvr l quaion diffrnial dl ima. L prion di Lagrang è noa r: ( τ ) () Bu( τ ) dτ ( τ ) () C ( ) CBu τ dτ Du I offiini (ui alari in quo ao) ono: -, B, C D. Il movimno libro è dao dunqu da: libro libro mnr pr qullo forao: ( τ ) ( τ ) τ forao Bu( τ ) dτ in( ) d [ ( in( ) o( ))] in() o() τ τ τ τ i riava dunqu: in o forao forao ( ) ( ) in( ) o( ) In alrnaiva, non riordando l prion di Lagrang, è poibil riolvr l quaion diffrnial, riordando h l ingral gnral è dao dalla omma dll ingral dll quaion omogna più un ingral pariolar. Pr quano riguarda l omogna, la oluion arà dl ipo: omogna a mnr l ingral pariolar, daa la inuoidalià di u, arà dl ipo: pariolar bin ( ) o( ) oiundo nll quaion diffrnial i oin: bo ( ) in( ) bin( ) o( ) in( ) da ui ui rova h b b b pr ui l ingral gnral vin ad r: gnral a in( ) o( ) in ui imponndo la ondiion iniial: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

3 dunqu: ( ) a a gnral gnral ( ) o( ) in ui è poibil diingur il moo forao da qullo libro prhé il ondo dipnd dalla ondiion iniial d il primo no. S nd ad infinio, avrmo: ainoio in π ainoio π in poihé i rmini ponniali ndono a ro. diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org in () o() in Pr vrifiar il orma dlla ripoa in frquna, riaviamo () paando nl dominio dlla raformaa di Lapla: U da ui failmn i rova: () U () () la ripoa in frquna è daa da: ( jω ) j ω valuaa pr la pulaion in am, ioè, i oin: ( j) ( j) j π arg( ( j) ) proprio om i volva dimorar. POBLEM Si onidri il gun ima manio (maa, molla moraor): ) Srivr la funion di rafrimno () dall nraa F all uia p; ) Poo M, D K, rivr l prion analiia dlla ripoa allo alino uniario; Si onidri il gun ima di onrollo: Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

4 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org dov è la funion di rafrimno dl puno, mnr µ> ) Drminar i valori di µ pr ui il ima in anllo hiuo è ainoiamn abil. Si può ubio, dalla fiia dl ima: F Dp Kp p M rivr l quaioni dl ima dinamio: u M M D M K Si può poi paar nl dominio dlla raformaa di Lapla: U M K M D M U M M D M K U M M D M K pr ui: () K D K M K Con i numri indiai, i ha: () ( ) la ripoa allo alino arà: () () alla qual i può appliar lo viluppo di Haviid: () b b a a b a

5 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org b a b a b a () () () a La funion di rafrimno ompliva dll anllo hiuo arà: () µ µ µ µ pr lo udio dlla abilià i dv appliar il ririo di ouh: ( ) µ µ µ da ui (imponndo h i rmini dlla prima olonna iano ui onordi, ioè poiivi in quo ao): < < µ POBLEM Si onidri il gun ima dinamio a mpo oninuo: ( ) ( ) ( ) () () () () () () () () () u ) Drminar i valori dl paramro pr ui il ima è ainoiamn abil; ) Poo -, drminar il guadagno aio dl ima; ) Smpr pr -, drminar l arariih ainoih, pr h nd a infinio, dl movimno libro dl movimno forao dll uia quando u()a(). Convin rivr la funion di rafrimno dl ima, paando nl dominio dlla raformaa di Lapla:

6 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org ( )( ) ( )( ) U U U ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U U U pr ui: () ( ) ( ) la diuion dlla abilià rihid la ompilaion dlla ablla di ouh: ( ) da ui (imponndo h i rmini dlla prima olonna iano ui onordi, ioè poiivi in quo ao): < Pr - val: () da ui riula un guadagno aio pari a 8. In prna di un gnal u()a() il movimno libro ndrà ad annullari pr h nd ad infinio daa l ainoia abilià. Il movimno forao ndrà inv al valor oan di vol il guadagno (). POBLEM In rlaion alla gun r lria:

7 ) Drminar la funion di rafrimno dalla nion u alla nion. Il grafio di guio mora l andamno dlla ripoa all impulo: ) Drminar C ulla ba dl grafio Chiamando i i l du orrni di maglia (aniorari), on l lggi ai nodi d all magli i può rivr: i C i ( i i ) i C ( ) ( ) ( ) u i i i u C u C C la oa h ona è h: ( ) u C C la funion di rafrimno è riavabil failmn paando al dominio dlla raformaa di Lapla, da ui: () C ( ) C C La ripoa all impulo è la funion di rafrimno a (arbb la funion di rafrimno pr ); dal orma dl valor iniial: ( ) lim ( ) lim C C dal grafio appar h al valor è,5, da ui: C La duraa dl raniorio (mbra r 5) è pari a 5 vol la oan di mpo, h è C diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

8 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org POBLEM 5 Si onidri il ima idraulio in figura: Il ima è oiuio da du rbaoi di ion oan ollgai da una valvola; anh il ondo rbaoio prna una valvola di uia. L du valvol, nramb ad aprura oan, abiliono ra la poraa di liquido h l aravra il livllo nl rbaoio a mon l rlaioni: h q h q Si auma om ingro la poraa nran u om uia la poraa in uia q. ) Poo,,, drminar il puno di quilibrio orripondn ad una nraa oan u u ; ) Diur la abilià dl puno di quilibrio rovao prdnmn; ) Si upponga h a parir dal puno di quilibrio di ui opra il ima ia oopoo ad una piola variaion a alino dll ingro u. Traiar l andamno qualiaivo dll uia a guio di al prurbaion. L variabili di ao ono hiaramn i du livlli; i può rivr: h h h h u h pr ui l quaioni dl ima, on i numri propoi, divnano: u Il puno di quilibrio i rova annullando l driva: 9 9 h h h

9 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org 9 9 Pr la diuion dlla abilià i dv linariar il ima nll inorno dl puno di quilibrio: u u la mari dl ima è dunqu: ndo riangolar prna gli auovalori ulla diagonal; dao h ono ngaivi l quilibrio è abil. Pr lo udio dlla prurbaion allo alino i fa mpr rioro al ima linariao. S n può rivr la funion di rafrimno paando nl dominio dlla raformaa di Lapla: ( ) ( ) ( ) ( ) U U U pr ui: () ( ) quo ipo di funioni di rafrimno è aoiao un raniorio dlla duraa di ira 7 vol la oan di mpo, on angna orional iniial. L andamno qualiaivo dl grafio arà:

10 POBLEM Si onidri il gnrio ima dinamio linar: C ( ) ( ) Bu( ) () () Du() ) Srivr l prioni dl movimno libro di ao d uia; ) Srivr l prioni dl movimno forao di ao d uia; Siano: - [ ] [ ] B C D ) Drminar l prioni dl movimno libro dll uia ima a parir dalla ondiion iniial: Pr ripondr ai primi quii è uffiin onor la formula di Lagrang: ( τ ) () Bu( τ ) dτ ( τ ) () C ( ) CBu τ dτ Du in ui i primi rmini (qulli dipndni dalla ondiion iniial) ono i movimni libri, mnr i ondi (gli ingrali) ono qulli forai. La rihia di drminar il movimno libro nl ao propoo pora alla nià di riolvr l quaioni diffrniali dl ima in prna di nraa nulla: la prima è diaoppiaa, pr ui: a a la oluion dlla onda arà daa dalla omma di un ingral pariolar dll ingral dll omogna; quaion omogna: o b ingral pariolar: p oiundo l ingral pariolar: a a l ingral gnral vin dunqu ad r: a a b appliando la ondiion iniial, è fail vdr h: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

11 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org uno di rmini ponniali è pario! Ma nin paura, può apiar. Il movimno libro dll uia arà: () [ ] l l C POBLEM 7 In rifrimno al gnrio ima dinamio mpo-invarian: ( ) ( ) () ( ) u g u f,, ) Dar la dfiniion di abilià dl movimno; ) Dir pr qual agoria di imi mpo-invariani ha no parlar di abilià dl ima pr qual moivo. In rlaion al gun ima dinamio: u ) Drminar i valori di pr ui il ima è abil ainoiamn; ) Spifiar pr i valori di prima riavai il ima è anh a fa minima. Sia: n () il movimno dl ima dinamio oo am h ha origin on una nraa u () da una ondiion iniial n al mpo. Sia: p () il movimno dl ima dinamio oo am h ha origin on una a nraa u () da una ondiion iniial p al mpo. Il movimno n () i di abil (ondo Lapunow) olano : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p n p n > < < > > ε ε ε ε Pr i imi linari i può dimorar h lo udio dlla abilià pora agli i riulai pr ui i movimni; prano i può parlar di abilià dl ima. Infai dfinndo: p n p n orando mmbra a mmbro l quaioni diffrniali h drivono i du movimni, i oin: ( ) ( ) ( ) lo udio dlla abilià è dunqu indipndn dai movimni, onrn olano lo mari.

12 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org Il ima propoo: u è linar; la ua mari è n può rivr il polinomio arariio: ( ) ( ) ( ) ( )( ) λ λ λ λ λ λ λ Π na biogno di ouh, i vd h è nario uffiin pr la abilià h i offiini dl ondo faor dl polinomio iano onordi, pr ui: < Si può rivr la funion di rafrimno dl ima paando nl dominio dlla raformaa di Lapla: U U ono hiaramn inrvnu dll anllaioni (in ffi è fail vdr h l du prim variabili di ao non ono raggiungibili). Il guadagno è poiivo mpr, i poli ono a par ral ngaiva quando il ima è abil; priò pr ui i valori di rovai il ima è anh a fa minima. POBLEM 8 Si onidri il ima di onrollo in figura: Dov () ( ) ( ).5 ) Drminar la funion di rafrimno dl rgolaor al h: In prna di un gnal di rifrimno ( ) ( ) a d in ana di diurbo d, l rror a raniorio aurio ia minor o ugual a.;

13 Il margin di fa ia maggior o ugual a 5 la banda paan la più grand poibil. ) Con al rgolaor oì progao, drminar l inim dll pulaioni ω pr ui un diurbo d in ω ia anuao all uia di almno un faor. in lina d andaa ( ) ( ) La funion raa arà poa: ( ) ( ) ( ) dov la prima oddifrà il progo aio la onda il progo dinamio. Pr la ondiion ull rror, avrmo: lim lim () () µ µ g g da ui:,,97,µ µ,5 µ pr iura omodià i pon: µ Pr l praioni dinamih, i ominia ol dignar il diagramma di Bod dlla funion: L () () () () (in roo).5 ( ) ( ) il ima non è a fa minima, prano biognrà nr ono dl onribuo di fa dllo ro. Una oluion porbb r qulla di agliar l a a ro dibl prima di al ro, pr mpio a,. Un polo in baa frquna (fuori dal grafio!) uno in ala frquna rvono pr raordar l du funioni agli rmi. La funion d anllo arà dunqu: L() (in blu) 5,5 ( )( ) ω, ϕ aran(,) aran( 5,) aran(,5,),8 89,,, ϕ m 8, 57, La pifia è dunqu oddifaa. umnar ulriormn la banda paan non è poibil, prhé lo ro di () non può r anllao avr pulaion riia olr a al ro ignifihrbb margin di fa ngaivo. Si può dunqu rivr h: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

14 () L ( ) () ( ) ( 5)(,5) La funion di rafrimno dl diurbo in lina d andaa è: E( ) D() L() la rihia faa i radu dunqu in: < (approimando) L( jω ) > L( jω ) Dal grafio i vd h iò è vro pr ω <, (dao h al valor orripondono dibl). POBLEM 9 Un ima dinamio prna la gun ripoa allo alino uniario: ) Drminar l prion () dlla funion di rafrimno. ) Conidrando il gun ima rroaionao: in ui () raiar il luogo dll radii al variar di, pr >. ) Sulla ba dl luogo prdnmn raiao, pigar è poibil rndr il ima di onrollo arbirariamn vlo (oia aumnarn arbirariamn la banda paan). La ripoa allo alino on ripoa invra iniial è ipia di funioni di rafrimno dl primo ordin on uno ro ral poiivo. La oan di mpo mbra r ira, il guadagno è hiaramn, prano la funion arà dl ipo: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

15 τ () pr drminar il valor dll ulima oan rimaa i può uar il orma dl valor iniial: τ,5 lim () τ τ () La funion di rafrimno d anllo arà:,5 () ( ) ( ) Inrrà il luogo dll radii invro ( > ). Il luogo ha rami h parono dai poli pr rminar uno all infinio uno nllo ro. Il digno arà dunqu: ffinhé il ima ia abil in anllo hiuo, l radii dvono r a par ral ngaiva. Pr por rndr il ima arbirariamn vlo dovrbb r poibil aumnar il faor all infinio, ma om i vd dal grafio iò omporrbb la naia di radii a par ral poiiva. La ripoa è dunqu ngaiva. POBLEM Si onidri il gun ima a gnali ampionai: dov il mpo di ampionamno è. () 5 ( )( ) ) Drminar l prion dlla funion di rafrimno *() da u* a *. ) Commnar il lgam ra i poli di *() qulli di (), ndndo il riulao al ao gnral. Si innd uiliar il modo di dar alla () uno alino a mpo oninuo, rovar l prion analiia dlla ripoa, ampionarla, rovarn la raformaa a da ui rovar la rihia *(). La ripoa allo alino è: 5 () diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org ( )( ) Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

16 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org è ora nario uno viluppo di Haviid: () ( )( ) ( )( ) 5 B B B 5 B B B () () ()( ) a i ampiona : ( ) ( ) ( ) pr * T T T ( ) ( ) ( )( ) * in ulimo: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) * * Fra i poli dlla funion a mpo oninuo qulla a mpo diro val la rlaion: p oninuo diro p infai nl ao gnral i ha h: Tp oninuo diro p dov T è il mpo di ampionamno. POBLEM Si onidri il ima di onrollo in figura: Dov () ( )( )( ),5 5 ) Drminar la funion di rafrimno dl rgolaor al h: In prna di un gnal di rifrimno ( ) ( ) a d di diurbo ( ) ( ) D d a, on D l rror a raniorio aurio ia minor o ugual a.5; Il margin di fa ia maggior o ugual a la pulaion riia maggior o ugual a,5 rad/. Il rgolaor ia di ordin non uprior a du.

17 ) Con al rgolaor oì progao, raiar il diagramma polar qualiaivo aoiao alla funion di rafrimno d anllo, individuando approimaivamn il puno orripondn a ω ω. La funion raa arà poa: ( ) ( ) ( ) dov la prima oddifrà il progo aio la onda il progo dinamio. Pr la ondiion ull rror, avrmo: D D lim ( D) lim () () µ µ g g da ui: D,5,95,5µ µ 5,9 µ pr iura omodià i pon: µ Pr l praioni dinamih, i ominia ol dignar il diagramma di Bod dlla funion: L () () () (in roo) 5,5 ( )( )( ) il ima è a fa minima quindi non dà pariolari problmi, l unia aora da avr è qulla di limiar l ordin pr ui i ra di mannr il più poibil gli ri originari. S i aglia l a a ro dibl in,5 om rihio una poibil la è: L() (in blu) ( )(,5) pr ui i ha: ω,5 ϕ aran(,5) aran(,5,5) 89, 8, 7,5 ϕ m 8 7,5,5 La pifia è dunqu oddifaa. Si può dunqu rivr h: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

18 ( ) () ( )( 5) ( )(,5) L () h è di ordin du. Il diagramma polar approimaivo ( non in ala) dlla funion d anllo è: il puno rihio è qullo indiao; la ironfrna indiaa è qulla di raggio. POBLEM Si onidri il gun ima in rroaion: in ui () è un ima dinamio, a fa minima, il ui diagramma dl modulo dlla ripoa in frquna è riporao qui di guio: ) Drminar in via approimaiva il mpo di aamno dlla ripoa allo alino. ) Drminar approimaivamn il margin di guadagno dl ima in anllo hiuo. Si onidri il gun ima di onrollo: dov () è la funion di rafrimno dl ima dl puno prdn. Si upponga di volr drminar il rgolaor nlla la di PID, uiliando l rgol di Ziglr Nihol in anllo hiuo. ) Drminar i valori T dll oillaion riia d il valor K p dl guadagno riio. diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

19 Dal diagramma di Bod i può rialir alla funion di rafrimno prhé appiamo h è a fa minima: (), ( ) ( ) ω ϕ aran( ) aran(, ),,7, 59,8 ϕ m 8 59,8, Poiamo imar la funion di rafrimno dll anllo hiuo om: F() ξ ω ω dao il bao margin di fa. Si ima: ϕ m ξ, prano il mpo di aamno è imabil om: 5 T a 8, ξ ω Pr la drminaion dl margin di fa, onvin raiar rapidamn il diagramma di Nqui: non i ono poli a par ral poiiva, prano la lina non dv girar aorno a. Si ra la pulaion pr ui avvin l aravramno dll a ral, ioè qulla h dà fa pari a 8 : 8 aran( ωπ ) aran(, ω π ) Qua quaion è problmaia prhé non è riolubil analiiamn. Tuavia on aluni naivi i rova failmn h ω ; ora i può alolar il margin di guadagno: m π ( jω ) π ( j) (, j),5 Dalla oria appiamo h il modo di Ziglr Nihol pr l anllo hiuo i baa proprio ull individuaion primnal dl margin di guadagno, h riula: K,5 p m mnr pr il priodo dll oillaion appiamo h o arà: π T π ω π diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

20 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org POBLEM Si onidri il gun ima a mpo diro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ) Drminar il puno d quilibrio orripondn all ingro oan pari a. ) Diur a abilià di al quilibrio. Pr rovar l quilibrio baa porr: ( ) ( ) i i i Pr lo udio dlla abilià biogna linariar il ima nll inorno dl puno di quilibrio: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u la mari dl ima è riangolar prano prna i uoi auovalori ulla diagonal. Il ima onidrao è inabil prhé ha dgli auovalori a modulo maggior di uno. POBLEM Si onidri il ima di onrollo in figura: in ui () ( )( ) ) Drminar la funion di rafrimno () dl rgolaor dll anllo inrno in modo h il ima di funion di rafrimno ()/V() ia ainoiamn abil, on du poli oinidni in. ) Si progi quindi il rgolaor () dll anllo rno nlla la di rgolaori ingrali, in modo h il margin di fa valga almno.

21 ) Con i rgolaori progai, drminar approimaivamn il mpo di aamno dlla ripoa dlla ripoa allo alino in. Pr la prima rihia il onvin fruar il luogo dll radii; pr () è failiimo da dignar arà (in roo il diro, in blu l invro): l ainoo vrial i rova in mo ai du poli, dunqu a,5. Il polo poiivo non può r anllao, ma i può poar l alro anora a inira (fino a ) in modo h il puno mdio fra i du poli rimai ia proprio. Il rgolaor arà dunqu: () ρ () () ( )( ) dalla rgola di punggiaura: ρ quindi: () 8 () () ( )( ) ( )( ) diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org () ( ) (, ) 5 Pr l alro rgolaor, h dv r ingral, non i ono pifih ull rror a raniorio aurio, prano il progo aio non pon pariolari vinoli. Il rgolaor arà dunqu dl ipo: µ µ () L() (, 5 ) l unia oa h i può far è rar di rgolar il guadagno affinhé la pulaion riia ia minor di, pr viar i onribui ulla fa dgli alri du poli. Si può pr mpio agliar in ω, ponndo: µ µ,5 pr ui: ω ϕ 9 aran(,5 ) 9 5,, ϕ m 8,,9 la pifia riula oddifaa. Pr la ima dl mpo di aamno ad uno alino, poiamo imar la funion di rafrimno dll anllo hiuo om: F() ξ ω ω dao il bao margin di fa. Si ima: Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

22 ϕ m ξ,7 prano il mpo di aamno è imabil om: 5 T a,5 ξ POBLEM 5 Si onidri il gun ima di onrollo: in ui: () ( )( ) ω ; () ; H () ) Poo C(), drminar in modo h un diurbo d() a() abbia ffo nullo a raniorio aurio ull uia. ) Drminar un prion dlla funion di rafrimno dl ompnaor C() in modo h il ima nl uo omplo ia ainoiamn abil h un diurbo d() in() abbia ffo nullo a raniorio aurio ull uia. Sia in anllo hiuo h in anllo apro, un ompnaor idal dovrbb r al h: H () () () () ( ) H C C () uavia non è poibil far quo, priò i rhrà di vola in vola h la rlaion ia oddifaa almno pr la pulaion h inra. Nl primo ao, dao h il ompnaor arà olo un guadagno, i ha h: H () ( ) C ( ) Nl ondo ao, biognrà avr una funion di rafrimno h vrifihi la rlaion: H ( ) ( j) arg( C( j) ) 8 aran aran() aran, C j ( j) C( j) pr quano riguarda la abilià, a ( il ompnaor è di uo abil) oinidrà on la abilià dll anllo di rgolaion prinipal, h i può vrifiar r già abil. Prano i può provar on un ompnaor di quo ipo ( filro paauo ): diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

23 , aran τ C () µ τ µ µ quindi: C() E ainoiamn abil quindi va bn om oluion. POBLEM ( τ ) τ an( 7, ) Si onidri un ampionaor idal, on priodo di ampionamno T: ) Srivr la rlaion h inrorr ra la raformaa di Fourir dl gnal di ingro la raformaa di Fourir dl gnal di uia. ) Si ampioni il gun gnal inuoidal on un priodo di ampionamno lo in modo al da mr in vidna il fnomno dll aliaing (i i limii a gnar i ampioni nlla figura). ) Enuniar il orma di Shannon. ) Conidrando il gun gnal a mpo oninuo, onuo ommando du inuoidi: drminar il maimo valor dl priodo di ampionamno pr la onvrion analogio/digial orra (na aliaing) dl gnal. La rlaion h dà la raformaa dl gnal a mpo diro a parir da qulla dl gnal a mpo oninuo è: j ( ) ( ) π F * F jω F j ω h ω T T h T Sglindo un mpo di ampionamno pari a ¾ dl priodo, il gnal propoo appar avr un priodo r vol maggior, om morao in figura: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

24 Il orma di Shannon affrma h un gnal a mpo oninuo a banda limiaa (on maima pulaion dllo pro pari a ω ) vin ampionao on un mpo di ampionamno T, è poibil rialir aamn al gnal originario da qullo ampionao olo ω < Ω N, dov Ω N è la pulaion di Nqui h è dfinia om: π Ω N T lla lu di uo iò, i può imar il minimo mpo di ampionamno dl gnal prnao in figura. L armonia a pulaion maggior mbra avr priodo, in quano in ompi 5 ili. Prano: π ω π il orma di Shannon rihid h: π ω π < Ω N T < T Il minimo mpo di ampionamno nario pr non avr quivoaion in frquna dl gnal è dunqu. POBLEM 7 Si onidri il ima di onrollo in figura: dov: () ( )(,) ) Drminar la funion di rafrimno () dl rgolaor in modo al h: in prna di un gnal di rifrimno () a(), on oan arbiraria, di un diurbo d() in(,), l rror a raniorio aurio ia minor di,; il margin di fa ia maggior o ugual a la pulaion riia ia maggior o ugual a rad/. Si upponga ora h la funion di rafrimno dl proo oo onrollo ia in ralà affa da un riardo di mpo: 5 τ (), diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org 5 ( )( ) Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

25 ) Drminar il maimo valor h può aumr il riardo τ prhé il ima in anllo hiuo on il rgolaor progao opra rimanga ainoiamn abil. La funion raa arà poa: ( ) ( ) ( ) dov la prima oddifrà il progo aio la onda il progo dinamio. Pr la ondiion ull rror, i arà da ompnar ia l rror dovuo al rifrimno, ia qullo dovuo al diurbo. Daa l arbirarià dlla oan, biognrà imporr l rror ul rifrimno om nullo: lim lim () () g µ 5 g il guadagno non vin vinolao. La funion di rafrimno dl diurbo in lina d andaa è: E( ) D() L() la rihia faa i radu dunqu in: < (approimando) L(, j) > L(, j) ondiion h i rhrà poi di ripar in fa di progo dinamio. Si digna il diagramma di Bod dlla funion: 5 L () () () () (in roo). ( )( ) La lina roa aglia l a a ro dibl in una ona a pndna, quindi non va bn; i può far un naivo on una funion d anllo h agli proprio in rad/ a pndna, h olruo hiva la ona inrda dall pifih ulla riion dl diurbo (rao nro po). L (), (in blu) ( ) ω ϕ 9 aran ϕ m 8,, (,) 9,, diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

26 L pifih ono oddifa, prano non ra h riavar la funion di rafrimno dl rgolaor: L () ( ) ( ) () (.) Il riardo di mpo non fa nin alro h diminuir il margin di fa; prano dovrà r h: 8 πϕm ϕ m τω >τ <, π 8 ω POBLEM 8 Si onidri il gun ima in rroaion: dov: () ρ ( )( )( ) ) Traiar il luogo dll radii di (). ) Sulla ba dl luogo raiao, drminar i valori di ρ pr ui il ima è ainoiamn abil in anllo hiuo. Il luogo ha rami pr il luogo invro r pr qullo diro, quaro ainoi h i inroiano nl puno: 7 non rvono alr indiaioni, pr ui i può raiar (in roo il diro, in blu l invro): Il ima in anllo hiuo è ainoiamn abil non i ono radii a par ral poiiva. Prano pr la onda rihia i riorr alla formula di punggiaura: pr la par dira, barà punggiar il puno nll origin: ρ M Pr il luogo invro è mno fail dao h non i ri a apir bn dov o aravri l a immaginario. Prò è noo h il grado rlaivo è maggior o ugual a du, om in quo ao, il barinro dl luogo riman oan; prano inv di punggiar il puno a par ral nulla, diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

27 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org barà punggiar qullo in (infai la omma dll pari rali dll radii oinid on la omma di poli). ( )( )( ) 8,57 MIN ρ Pr ui il ima arà ainoiamn abil in anllo hiuo quando:,57 8 < < ρ POBLEM 9 Si onidri il ima a mpo diro drio dalla gun funion di rafrimno: ( ) ( )( ) ) Drminar il guadagno di (). ) Drminar il ipo di (). ) Diur la abilià dl ima. ) Dir il ima è a fa minima o no. 5) Drminar i primi 5 ampioni dlla ripoa allo alino uniario. uardando la funion i vd h il ipo è ro (nun polo o ro nl puno ); il guadagno è il valor dlla funion in uno, h i rilva r ½. Il ima è mplimn abil daa la prna dl polo in (il ui indi è iuramn in quano ha molpliià algbria ). Il ima non è a fa minima. Pr rovar i primi 5 ampioni dlla ripoa allo alino, n riv la raformaa a: () () ( )( )( ) i and dunqu una lunga diviion: i ampioni rihii ono dunqu: ampion mpo

28 POBLEM Si onidri il ima di onrollo in figura: dov: (), ) Drminar la funion di rafrimno dl rgolaor al h: un diurbo n, raformabil ondo Fourir, avn omponni armonih ignifiaiv olo a pulaioni maggiori di ω rad/, ia anuao all uia almno d un faor ; Il margin di fa ia maggior o ugual a la pulaion riia maggior o ugual a rad/. ) Drminar un valor adguao dl mpo di ampionamno pr la orra raliaion digial dl onrollor. Tra l pifih dl rgolaor non i ono indiaioni ulla ripoa allo alino dl rifrimno, h omunqu avrà rror nullo a raniorio aurio dao il ipo dl ima. Pr la riion dl diurbo, arà: L ( jω ) L( jω ) < L ( jω ) < (ira) pr ω > ω Si fa un primo naivo on un rgolaor proporional on guadagno, di ui i raia il grafio di Bod (in roo) h oinid on qullo di : La ona bordaa di nro rapprna la ona inrda da viar pr la riion dl diurbo in lina di riorno. Si può far un naivo di funion d anllo om qullo raffigurao in blu, nndo prn h lo ro poiivo non va aoluamn anllao (ma for fa anh omodo):, L(), diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

29 ω ϕ 9 aran ϕ m 8, 5,9 va più h bn, prano i riava: Dao h ω, i dovrà avr: POBLEM (,) aran(,) Ω N () L Si onidri un gnrio ima di onrollo: ( ), (), π ω T,57 9,,8, ) Spigar h oa i innd pr diagramma di Nqui aoiao a. ) Enuniar il ririo di Nqui. Si onidri: () on > ) Drminar ol ririo di Nqui é nuniao l inim di valori di pr ui il ima è ainoiamn abil in anllo hiuo. Il diagramma di Nqui è una mappa ul piano omplo dll immagini di puni dl proro di Nqui aravro una daa funion di rafrimno. Il proro di Nqui è l a immaginario, proro da mno infinio a più infinio, on l aora di arar ulla dra prorrndo miironfrn infiniim vnuali poli immaginari puri dlla funion di rafrimno. Si dfiniono: P: numro di poli a par ral poiiva dlla funion di rafrimno; N: numro di giri dl diagramma di Nqui aorno al puno, in vro poiivo aniorari (i di non bn dfinio il diagramma paa pr -); Il ririo di Nqui affrma h un ima è ainoiamn abil in anllo hiuo (on rroaion ngaiva) olo N è bn dfinio N P. Pr raiar il diagramma di Nqui dlla funion propoa onvin prima abboar i diagrammi di Bod di modulo fa: diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

30 da ui è ora banal riavar il diagramma di Nqui qualiaivo: biognrà riavar la pulaion pr ui il grafio oa l a ral ngaivo, porr il modulo dlla funion di rafrimno minor di uno in al pulaion. 8 9 aran( ω ) ω Quindi dovrà r minor di. POBLEM Con rifrimno al gun ima di onrollo: in ui: j j j ( jω ) < π diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org π *( ) ) Drminar la funion di rafrimno () dl rgolaor in modo h il ima in anllo hiuo ia ainoiamn abil, la ripoa di * allo alino in * non prni rror a rgim i auria in mpo finio minimo. ) Diur la abilià dl rgolaor progao. Si uilia allo opo propoo il modo di againi. È mglio ririvr la funion in modo da vidniarn i poli: *( ) ( ) Il polo in è problmaio prhé non andrà anllao. La F* dovrà avr grado rlaivo almno (om *), una ondiion ul guadagno aio d una ondiion pr la onrvaion dl polo, prano arà dl ipo: π Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org

31 diponibil in r all'indirio hp://pmaio.alrvia.org Erii di Fondamni di uomaia ura di Paolo Maioni - pmaio@homail.om Diponibil in r all indirio hp://pmaio.alrvia.org *( ) b a F i impongono l ondiioni: () ( ) ( ) * * * F b a ab a ab a b a F b a F pr ui: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) * * * F F ( ) ( ) ( )( ) Il rgolaor è mplimn abil dao il polo in.