Progettazione di Algoritmi Anno Accademico 2018/2019 Appello del 8/11/2018 (6 CFU)

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1 Cognom Nom: Numro i Mariola: Spazio rirao alla orrzion Toal /25 /30 /20 /25 /100 1.Grafi a) Fornir lo puooi un algorimo riorio h in O(n+m) roa l orinamno opologio i un DAG. Oorr aggiungr allo puooi anh l iruzioni h onnono i onr il mpo i uzion O(n+m) illurano il ignifiao ll ruur ai uilizza all algorimo. S non i è in grao i aggiungr qu iruzioni (puooi NON rizion), l i oma nno ono h in quo ao i prranno i puni. Pag. 1

2 ) Analizzar il mpo i uzion nl ao pimo ll algorimo i ui al puno prn. S il oro algorimo non ha mpo i uzion O(n+m) anh a quo puno arà ariuio un numro infrior i puni. Pag. 2

3 ) Dimorar h in un DAG è almno un noo nza arhi nrani. Pag. 3

4 2. Algorimi gry a) Si ria lo puooi ll'algorimo i Prim h fa uo lla oa a priorià on l aggiuna ll iruzioni h onnono i oruir il minimo alro rioprn. Si illuri il ignifiao ll nuali ruur ai uilizza a qu iruzioni aggiuni. S non i è in grao i aggiungr qu iruzioni (puooi NON rizion), l i oma nno ono h in quo ao i prranno i puni. Pag. 4

5 ) Si analizzi il mpo i uzion ll'algorimo propoo nl ao in ui la oa ia implmnaa on un hap. Analizzar il mpo i uzion ignifia fornir un limi uprior ainoio quano miglior è poiil al mpo i uzion ll'algorimo giuifiano la ripoa. ) Dir in qual pao ll algorimo in ffuaa la la gry prh ogni ola qua la prra la proprià h l alro oruio fino a qul puno è un ooinim llo MST? Pag. 5

6 ) Si mori l uzion ll algorimo i Krukal ul grafo riporao i guio. Pr iaun pao, oorr ignar la fora orriponn a qul pao a f Pag. 6

7 3. Programmazion inamia Si oniri la gun formula, o è un numro ral maggior o ugual i 0 j è un inro maggior o ugual i 0. OPT(0,)= 0 OPT(j,)=OPT(j-1,) < j OPT(j,)= max{opt(j-1,), OPT(j-1,- j )+ j } alrimni Ciauno i guni puni arà aluao olo i è ripoo in moo orro ai puni h lo prono. a) Si ria un prolma i oimizzazion pr il qual la ua formula forni il alor lla oluzion oima. Non è uffiin fornir il nom l prolma ma oorr rir l inpu l oupu l prolma. Pag. 7

8 ) Si pighi in moo hiaro oa rapprna OPT(j,) ) Si pighi in moo hiaro om i arria alla formula i ui al puno a). Pag. 8

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10 4. Maimo fluo a) Si oniri la gun r i fluo la funzion i fluo i ui alori ono iniai a inira ll apaià gli arhi. i. Si igni la r riua ripo alla funzion fluo iniaa i ia qua funzion ha alor maimo. ii. Nl ao in ui la funzion non aia alor maimo, i fornia la funzion fluo on alor maimo appliano l'algorimo i For-Fulkron a parir alla funzion i fluo aa. Pr ogni irazion ll'algorimo, oorr ignar la r riua all inizio i qull irazion, iniar il ammino aumnan lo morar il fluo aoiao a ogni aro lla r i fluo originaria al rmin i qulla irazion iii. Si ia qual è il alor l maimo fluo i fornia un aglio i apaià minima. N.B.: l ripo h non ono onu a parir alla funzion i fluo aa non aranno alua. 5/6 2/2 10/10 7/8 5/5 2/5 13/15 3/6 1/3 1/2 3/3 Pr ora omoià, i guio ono ripora ir opi lla r i fluo, uii a oppi. A parir alla funzion i fluo aa, ua l immagin i inira i iauna oppia pr ignar la r riua l immagin i ra pr riporar i alori lla funzion fluo agnai a iaun aro. Oiamn por r nario aggiungr anllar (on una x) arhi nll immagini i inira. Il numro i oppi i ri non è iniaio l numro i irazioni ffua all algorimo i For-Fulkron. Pro all alo ro il ao uilizzano olo l oppi i grafi h i rono pr illurar l inra uzion ll algorimo. Pag. 10

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13 ) Si imori h non iono ammini aumnani nlla r riua i G ripo al fluo f allora f è maimo. ) Si imori h non iono ammini aumnani nlla r riua i G ripo al fluo f allora i un aglio - (A,B) al h ap(a,b)=(f). Si giuifihino u l rlazioni i uguaglianza o iuguaglianza uilizza nlla imorazion. Pag. 13