Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 12

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1 Complemeni di Maemaica e Calcolo Numerico A.A Laboraorio 12 Cosideriamo il Problema di Cauchy: y () = f(,y()) I = [ 0, max ], y( 0 ) = y 0 y 0 R Scegliamo di suddividere I in sooinervalli di uguale ampiezza h > 0, e consideriamo i puni n = 0 +nh per n = 0,...,N con N max che individuano una discreizzazione dell inervallo I. Meodo di Heun A parire da y 0 calcoliamo y 1,...,y N araverso la relazione y n+1 = y n + h 2 [f( n,y n )+f( n+1,y n +hf( n,y n ))] Il meodo di Heun è esplicio. Problema Si scriva una funzione che implemeni il meodo di Heun. Sinassi: [T,Y] = heun (fun,t,y0), inpu: fun = f(,y) funzione daa di due variabili T = [ 0, 1,... N ] veore riga dei empi y 0 condizione iniziale del problema

2 oupu: T = [ 0, 1,..., N ] veore colonna dei empi Y = [y 0,y 1,...,y N ] veore colonna della soluzione approssimaa agli isani in T Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy y () = 5y() [0,5] y(0) = 1 la cui soluzione esaa è y() = e 5. Approssimare il problema di Cauchy con il meodo di Heun. Calcolare la norma infinio dell errore ra la soluzione esaa e quella approssimaa in ui i passi calcolai. Eseguire prove per h = 0.5, 0.05, 0.005, e compilare la abella seguene. h errore Heun Dedurre dalla abella l ordine del meodo moivando la risposa. Spiegare i risulai oenui con h = 0.5 2

3 Meodo di Crank-Nicolson (o dei rapezi) A parire da y 0 si calcolino y 1,...,y N araverso la relazione y n+1 = y n + h 2 [f( n,y n )+f( n+1,y n+1 )] Il meodo di Crank Nicolson è implicio infai ad ogni passo occorre risolvere una equazione non lineare in y n+1 uilizzando a ale scopo un opporuno meodo numerico. Ovvero occorre risolvere F(Y) = 0 con F(Y) := Y y n h 2 [f( n,y n )+f( n+1,y)] Tenuo cono che F (Y) := 1 h 2 df dy ( n+1,y) il passo di Newon per Crank Nicolson divena Y k+1 = Y k Y k [y n + h 2 f( n,y n )] h 2 f( n+1,y k ) 1 h df 2dY ( n+1,y k ) a parire da Y 0 = y n. 3

4 Problema Si scriva una funzione che implemeni il meodo di Crank Nicolson uilizzando il meodo di Newon per risolvere l equazione non lineare ad ogni passo. Sinassi: [T,Y] = cranknic(fun,t,y0,dfy,oll,nimax), inpu: fun = f(,y) funzione daa di due variabili T = [ 0, 1,... N ] veore riga dei empi y 0 condizione iniziale del problema dfy derivaa di f rispeo ad y oll olleranza per l arreso di Newon nimax numero massimo di ierazioni di Newon oupu: T = [ 0, 1,..., N ] veore colonna dei empi Y = [y 0,y 1,...,y N ] veore colonna della soluzione approssimaa agli isani in T Esercizio 2 Si ripea quano richieso nell Esercizio 1 uilizzando il meodo di Crank Nicolson. 4

5 Esercizio 3 Si considerino i segueni problemi di Cauchy di riferimeno: y () = 2 [1 3y()] [0,2], Sol: y() = 1 y(0) = 2 3 (1+5e 3 ) y () = y() + ( y() ) 2 [e,e+2], y(e) = e y () = y() +πcos(π) [1,3], y(1) = 0 Sol: y() = 2 log() Sol: y() = sin(π) Si approssimi la soluzione di ciascun problema con i meodi di Heun e Crank Nicolson per h = Si disegni il grafico della soluzione approssimaa a confrono con quella esaa. Sia Y la soluzione calcolaa agli isani del veore T si calcoli il massimo errore commesso e = y(t) Y 5

6 Esercizio 4 (Esame luglio 2014) Si consideri il problema di Cauchy y () = y 2 ()(cos() ), 0 5 y(0) = la cui soluzione esaa è y() = sin() Si approssimi il problema di Cauchy con il meodo di Eulero Implicio (EI) e con il meodo di Crank-Nicolson (CN), usando h=0.005, oll=1e-6 e nimax=200. Si calcolino gli errori in norma infinio err EI e err CN ra la soluzione esaa e quella approssimaa con i meodi EI e CN rispeivamene. Si riporino i due errori in forma shor e. err EI = err CN = 2. Si approssimi l inegrale I = 5 0 y()d con la formula dei rapezi composia usando i valori approssimai di y fornii dai meodieiecn.siriporinoivaloricalcolaiinforma shor e. I EI = I CN = 6

7 Esercizio 5 (Esame luglio 2018) Si consideri il problema di Cauchy y = (y +2) , y(0) = 1 la cui soluzione esaa è y() = e Si approssimi il problema di Cauchy assegnao con il meodo di Heun con passo h = nell inervallo [0,2]. 2. Si calcoli l errore in norma infinio ra la soluzione approssimaa e quella esaa nei nodi di discreizzazione fissai e lo si ripori in forma shor e. Sia err= y(t) Y dove T denoa il veore dei nodi di discreizzazione equispaziai di passo h e Y la soluzione calcolaa con il meodo di Heun in ali puni. err = 3. Sia calcoli la radice della soluzione esaa del problema di Cauchy sopra definia, y() nell inervallo [0, 2] uilizzando la funzione predefinia di malab. Si ripori il valore α oenuo in forma shor e. α = 7