METODI NUMERICI PER IL CONTROLLO

Transcript

1 METODI NUMERICI PER IL CONTROLLO Relazione 4: Equazioni differenziali ESERCIZIO 1 Risolvere il problema ai valori iniziali 3 x& = 1x + t x(0) = 0 1t + 6t 3 1 nell intervallo [0 1] con passo h=0.1 usando almeno due metodi. L equazione differenziale è non omogenea????? ed è già del primo ordine, quindi non necessita l introduzione di altre variabili. La soluzione analitica può essere calcolata immediatamente e corrisponde a: x(t) = 1 t 3 t Per la risoluzione si sono utilizzati i metodi di Eulero esplicito e quello di Heun. Al fine di utilizzare gli script occorre definire una nuova funzione in grado di calcolare, ogni volta che viene richiamata, il valore di x&. Questa funzione è stata definita nel modo seguente: function dx=es1(t,x) dx=0 dx=-1*x+3/*t^-1*t+6*t^3 end

2 Che viene richiamata dalla funzione dell algoritmo utilizzato ad ogni step. Visualizziamo ora la stima della soluzione con il metodo di Eulero confrontata con la soluzione reale: Vediamo immediatamente come i valori calcolati dal metodo di Eulero non si discostano di molto troppo vago quantificare dalla soluzione reale fino a metà intervallo, inoltre si vede che il modulo dell errore aumenta al crescere del numero di passi. E allora? Possiamo visualizzare l andamento di questo errore e di quello stimato con l estrapolazione di Richardson a mezzo passo:????? Vediamo che entrambi gli errori crescono in modulo e in nell intervallo considerato sono dell ordine di 10 3.???????????????????? Applicando ora il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine otteniamo la seguente stima della soluzione dell equazione differenziale di partenza:

3 Vediamo come in questo caso la stima della funzione è molto più precisa rispetto????? al caso precedente vediamo inoltre che le due curve non si discostano come succedeva nel caso precedente. Questo fatto può essere osservato considerando anche i grafici seguenti sull errore. Essi mostrano la differenza tra la funzione analitica e il valore della funzione soluzione stimato con il metodo in esame e la stima di Richardson dell errore. Osserviamo che entrambi gli errori sono dell ordine di 10 4 all aumentare del numero di passi. Conclusione---- essi sono molto simili e aumentano

4 ESERCIZIO Risolvere il problema a valori iniziali: && y + 3y& = 1 9x y(0) = 1, y& (0) = 0 nell intervallo [ 0 4]. Come prima operazione trasformiamo l equazione differenziale del secondo ordine in un sistema di equazioni del primo ordine definendo due nuove variabili. z = = & = & 1 y z y z1 Attraverso queste due nuove variabili deduciamo il seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine: z& z& 1 = z = 3z + 1 9x Il sistema in esame può essere risolto numericamente utilizzando uno tra i metodi di Eulero, Heun, Runge-Kutta. Questi script necessitano di una funzione ausiliaria in grado di calcolare i valori di z& 1 e z& ad ogni iterazione dell algoritmo. In questo caso questa funzione è stata definita come: function dy=es(x,y) dy=zeros(,1); dy(1)=y(); dy()=-3*y()+1-9*x^; end Per risolvere questo problema di Cauchy utilizziamo la tecnica di Heun con un passo h = 0. e h = 0.1. La soluzione fornita dallo script dal metodo di Heun è la seguente:

5 Notiamo immediatamente che non ci sono differenze sostanziali????? tra i due valori di y(t) anche se sono stati stimati con un passo di integrazione dimezzato.????? Plottiamo inoltre l andamento dell errore stimato con l estrapolazione di Richardson: Vediamo che l errore che si ottiene utilizzando un h = 0.1 risulta in modulo minore rispetto a quello che si ottiene con h = 0. e sono entrambi dell ordine di 10 e crescono all aumentare del numero di campioni calcolati. E questo è in accordo con la teoria o no??? Possiamo anche confrontare il risultato ottenuto con quanto calcolato dal comando matlab ode45, il quale permette di risolvere equazioni differenziali. Il risultato ottenuto è il seguente:

6 Vediamo come non ci siano apprezzabili differenze????? tra i tre differenti output.

7 ESERCIZIO 3 Risolvere il problema ai valori iniziali: y& = 50( y cos( x)) y(0) = 0 nell intervallo [ 0 1]. Come prima cosa si deve inserire l equazione differenziale del primo ordine nel seguente modo: function dy=esercizio3(x,y) dy=0; dy=-50*(y-cos(x)); end Viste le considerazioni ed i confronti tra i vari metodi fatti nell esercizio1, si è scelto di risolvere il sistema con il metodo di Runge-Kutta del 4 ordine (il più preciso tra quelli visti). Per stimare la soluzione adottiamo due passi differenti. Come prima stima utilizziamo un passo h=0.05 e successivamente riduciamo il passo a h=0.01. Non conoscendo la soluzione analitica del sistema si stima l errore con l estrapolazione di Richardson. La stima della soluzione con i due passi è rappresentata in figura: Dalla figura si evince che nell intervallo iniziale [0 0.1] la funzione soluzione ha un transitorio molto veloce, questo indica che siamo in un caso di equazioni stiff. Allora in questo caso conviene utilizzare il metodo di Crank Nicolson che risulta incondizionatamente stabile. Essendo questo metodo di ordine, conviene scegliere un passo piccolo, ad esempio h = 0.01 come prima prova e successivamente h = La stima della soluzione con il metodo di Crank Nicolson è la seguente:

8 La successiva immagine mostra uno zoom sull intervallo sensibile considerato [0 0.1]: Si nota subito che la stima effettuata con i due passi non abbia differenze sostanziali. Plottiamo ora l errore stimato con l estrapolazione di Richardson, ottenendo la seguente figura:

9 3 Si vede che con il passo h = 0.01 si ha un errore dell ordine di 10, mentre con il passo h = si ha un errore minore, dell ordine di 10. Al fine di verificare la correttezza della soluzione trovata confrontiamo i risultati con quanto ottenuto dalla funzione ode15s che in matlab implementa la soluzione delle funzioni stiff. Il grafico seguente rappresenta l output delle 3 funzioni: Come si può vedere dalla figura non si notano sostanziali differenze tra le varie stime, possiamo effettuare uno zoom sull intervallo sensibile [0 0.1], ottenendo in questo caso la seguente figura:

10 Vediamo che non ci sono differenze tra la stima con Crank Nicolson di passo h = e la funzione ode15s.