2. Differenze Finite. ( ) si

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1 . Differenze Finite In questa Nota tratteremo della soluzione numerica di equazioni a derivate parziali scalari attraverso il metodo delle differenze finite. In particolare, affronteremo il problema della soluzione dell equazione di Poisson (l equazione di Laplace è un caso particolare di questa equazione), Helmholtz, diffusione e propagazione. In tutti questi l operatore laplaciano 1 governa il comportamento spaziale delle soluzioni. Dunque, la questione che affronteremo è come approssimare questo operatore nel modo più semplice possibile. Solo allo scopo di esemplificare affronteremo il problema dell approssimazione numerica dell operatore laplaciano con le differenze finite studiando l equazione di Poisson. Per non appesantire la trattazione considereremo dapprima un problema monodimensionale. Estenderemo poi i risultati a situazioni più generali e ad altre equazioni..1 Differenze finite: un problema modello monodimensionale Un metodo alle differenze finite per la soluzione di un problema con condizioni al contorno consiste: a) nel sostituire al dominio di definizione del problema continuo! un dominio discreto costituito da un insieme finito di punti, compreso la frontiera!" ; 1 Il laplaciano di un campo scalare u = u ( r;t ), che di solito viene indicato con! u, è, per definizione, la divergenza del gradiende del campo scalare u,! u =! "!u. Ad esempio, in coordinate cartesiane rettangolari ( x, y, z) si ha! u = " u / "x + " u / "y + " u / "z e in coordinate cilindriche r,!, z ha! u = 1 r " "r r "u "r + 1 r " u "# + " u "z. ( ) si

2 b) nell approssimare sul dominio discreto le derivate che compaiono nell espressione dell operatore laplaciano; c) nell approssimare sul dominio discreto le condizioni al contorno. In questo modo il problema continuo è approssimato con un problema discreto, più precisamente con un sistema di equazioni di dimensione finita. Il metodo alle differenze finite è particolarmente efficace quando la frontiera!" ha particolari simmetrie, altrimenti può risultare poco conveniente..1.1 Problema di Dirichlet Applichiamo il metodo alle differenze finite per risolvere il seguente problema: determinare la funzione u = u x con le condizioni al contorno ( ), definita nell intervallo [ 0,l], che verifica l equazione d u dx = f x ( ) per x! ( 0,l ), (.1) ( ) = g 0 ( ) = g l.! u 0 " # u l (.) Figura.1 Griglia monodimensionale per il problema di Dirichlet La (.1) è un equazione di Poisson monodimensionale e le (.) sono condizioni al contorno del tipo Dirichlet. Se la funzione f è limitata in ( 0,l) le soluzioni dell equazione (.1) sono continue con la derivata prima. Introduciamo sull intervallo [ 0,l] una partizione I j = " # x j!1, x j con j = 1,,..., N, N + 1, x 0 = 0 e x N +1 = l, Figura.1. Assumiamo solo per semplicità che gli intervalli I j abbiano tutti la stessa lunghezza!x, Indichiamo con u i = u x i incognita u x (.) abbiamo!x = l N + 1. (.3) ( ) i = 0,1,..., N, N + 1 i valori dei campioni della funzione ( ) nei punti della griglia del dominio [ 0,l]. Dalle condizioni al contorno

3 3 u 0 = g 0, u N +1 = g l. (.4) Vogliamo determinare u 1,u,...,u N senza risolvere analiticamente la (.1), ma con un metodo numerico. Siamo disposti ad accettare una soluzione approssimata purché il metodo sia abbastanza generale e l errore sia controllabile. E possibile ottenere le N equazioni per i campioni u 1,u,...,u N imponendo che la (.1) sia verificata nei punti della griglia x 1, x,..., x N e approssimando la derivata seconda attraverso le differenze finite. Posto f i = f x i verificata nei punti interni della griglia x 1, x,..., x N si ottiene ( ), imponendo che l equazione (.1) sia d u dx x= x i = f i per i = 1,,..., N. (.5) Per tradurre le (.5) in equazioni (come vedremo approssimate) per i campioni u 1,u,...,u N bisogna esprimere d u / dx x= x i in funzione dei campioni. Se la funzione u è sufficientemente regolare nell intorno del generico punto x! 0,l alle differenze! u( x ) " u( x + #x) u( x ) + u( x #x) ( ) allora l operatore #x (.6) rappresenta una buona approssimazione della derivata seconda. Infatti si ha d u dx =! u( x ) + O ("x ). (.7) La dimostrazione della (.7) è abbastanza semplice. Sviluppando attraverso la formula di Taylor u x +!x ( ) e u( x! "x) nell intorno di x = x si ottiene e u( x +!x) = u( x ) + du dx!x + 1 d u x= x dx x= x!x + 1 d 3 u 6 dx 3 x= x!x3 + 1 d 4 u 4 dx 4 x= x!x4 (.8) + u( x! "x) = u( x )! du dx "x + 1 d u x= x dx x= x "x! 1 d 3 u 6 dx 3 x= x "x3 + 1 d 4 u 4 dx 4 x= x "x4 (.9)! dove x +! x, x + "x ha [ ] e x! " x! #x, x [ ]. Sommando membro a membro le (.8) e (.9) si Come al solito O!x n ( ) indica una grandezza che tende a zero come!x n per!x " 0.

4 4 d u u x +!x x= x = dx ( ) " u( x ) + u( x "!x) Allora una buona approssimazione per d u / dx x= x i è data da + O (!x ). (.10)!x d u dx x= x i! " u i = u i+1 # u i + u i#1 x, (.11) si commette un errore che tende a zero come!x (.11) abbiamo per!x " 0. Combinando le (.5) e u i+1! u i + u i!1 "x = f i per i = 1,,..., N. (.1) Questa è l approssimazione dell equazione (.1) ottenuta approssimando l operatore di derivata seconda con l operatore alle differenze finite (.6). Si ricordi che i valori di u 0 e u N +1 sono noti dalle condizioni al contorno. E evidente dalla (.7) che questo metodo è consistente, cioè per!x " 0 l operatore alle differenze tende all operatore differenziale. Le (.1) costituiscono un sistema di equazioni algebriche lineari nelle incognite u 1,u,...,u N. Posto e u N = u 1,u,...,u N T, (.13) b N = f 1! g 0 / "x, f,..., f N!1, f N! g l / "x (.14) L N = 1!x " "1 " "1 " "1 " "1 il sistema (.1) può essere così espresso in forma matriciale: (.15) L N u N =!b N. (.16) La matrice L N è tridiagonale, simmetrica e definita positiva. Il fatto che sia tridiagonale e simmetrica è evidente. Essendo

5 5 x T L N x = 1 ( x!x 1 " x 1 x + x " x x x N " x N "1 x N ) = 1 (.17) # x!x 1 + ( x 1 " x ) ( x N "1 " x N ) + x N & > 0 per x! 0, si ha che L N è definita positiva. In conseguenza di questa proprietà il sistema (.16) ha una ed una sola soluzione. Essendo L N simmetrica gli autovettori sono ortogonali e gli autovalori sono reali. Infine, essendo L N definita positiva gli autovalori sono positivi. Commento Gli autovalori! i e gli autovettori q i della matrice L N (.15) possono essere espressi analiticamente. Si ha! i = "x & 1# cos( i )'( per i = 1,,..., N, (.18) q i = sin( i! ),sin( i! ),...,sin( Ni! ) T per i = 1,,..., N, (.19) dove! = " N + 1. (.0) L autovalore più grande è dato da! max = + N 1# cos "x & ' N + 1 (. - ) * 0, / (.1) mentre quello più piccolo è dato da! min = + 1 1# cos "x & ' N + 1 (. - ) * 0, /. (.) Nel limite N >> 1 si ha! max " 4 #x, (.3)! min " 1 ( #x & ' N + 1) * = ( & ' l ) *. (.4) Essendo L N simmetrica e definita positiva si ha (vedi Appendici 1 e )

6 6 L N!1 = 1 " min L N ( ) # l & ' ( ) * (.5) dove! è la norma hermitiana della matrice, quindi L N!1 è limitata 3 per ogni valore di N. In conseguenza di ciò una piccola perturbazione!f del termine noto dà origine a una piccola perturbazione della soluzione!u per ogni valore di N,!u " L N #1!f & l ) ' ( * +!f. (.6) Questa è anche una proprietà del problema continuo, quindi il metodo alle differenze finite introdotto oltre ad essere consistente è anche numericamente stabile. Esercizio.1 Si dimostrino le (.18) e (.19); verificare, inoltre, che gli autovettori sono ortogonali. Programma.1: Poisson 1D function [x,uh]=df_poisson_1d(a,b,n,ua,ub) Poisson monodimensionale risolta con le differenze finite: N numero di intervalli; h=(b-a)/n; z=[a:h:b]; e=ones(n-1,1); U=[-e *e e]; A=spdiags(U,-1:1,N-1,N-1); spdiags(.,.,.,.) create a sparse (N-1)x(N-1) sparse band and diagonal matrices clear U; x=z(:end-1); [f]=fun(x,n-1); f(1)=f(1)+ua/h/h; f(end)=f(end)+ub/h/h; uh=a\(h*h*f); uh=[ua;uh;ub];x=z; return I parametri in ingresso del Programma.1 sono: gli estremi a e b dell intervallo di definizione del problema; il numero di intervalli N ; i valori dell incognita negli estremi dell intervallo di definizione ua e ub. La funzione f è assegnata attraverso una function. I parametri di uscita sono i nodi della griglia x e la soluzione calcolata. Si noti che la matrice A è memorizzata in un formato sparso, attraverso il comando spdiags. Quando in MATLAB si risolve un sistema la cui matrice è memorizzata in tale 3 Un vettore x è limitato se una sua norma è limitata, ad esempio, x è limitata. Una matrice A si dice limitata se per ogni x limitato si ha che Ax è limitato.

7 7 formato vengono automaticamente richiamate delle tecniche di risoluzione, come il metodo di Thomas (vedi Nota 4), che consentono di ottimizzare i tempi di calcolo e l occupazione di memoria..1. Il problema dell errore Indichiamo con u! la soluzione esatta nei nodi della griglia. E di fondamentale importanza valutare l errore dovuto al troncamento (per il momento a assumiamo che non vi sia errore di arrotondamento) Il metodo alle differenze finite si dice convergente se e = u N! u ". (.7) e! 0 per N! ". (.8) Dalla (.10) abbiamo immediatamente che u! è soluzione del problema L N u! = "f N + c N ( u! )#x, (.9) dove c N ( u! ) è il vettore che porta in conto il contributo dovuto ai termini del quarto ordine in!x nelle espansioni (.8) e (.9). Sottraendo membro a membro le (.9) e (.16) otteniamo Dalla (.30) segue immediatamente che L N e = c N ( u! )"x. (.30) e! L N "1 c N #x, (.31) quindi utilizzando la (.5) si ha e! c N & l"x # Si noti che se la derivata quarta di u è limitata in 0,l f è limitata in 0,l ( ), allora c N ' ( ). (.3) ( ), ovvero se la derivata seconda di! N 1 max x" 0,l [ ] d f dx, (.33)

8 8 quindi c N!x tende a zero almeno come!x per!x " 0. Questo risultato è, quindi, conseguenza di due proprietà del metodo alle differenze finite impiegato: (a) il metodo è consistente; (b) il metodo è numericamente stabile. In generale, verificare direttamente la convergenza può non essere agevole. Per i problemi con valori al contorno vale, in generale, il teorema di equivalenza di Lax: se il metodo alle differenze finite è consistente ed è stabile allora è convergente. La stima dell errore assoluto che si ottiene combinando le (.3) e (.33) è troppo conservativa. Se f è continua con le sua derivata prima e seconda, allora si ha [.1] max i e i! l "x 96 max x# [ 0,l] d f dx. (.34) Fino ad ora abbiamo supposto che non vi siano errori di arrotondamento. In realtà ogni volta che risolviamo un problema con il metodo delle differenze finite usiamo un calcolatore e, quindi, oltre l errore di troncamento c è anche l errore di arrotondamento. L errore di arrotondamento ha influenza nella soluzione al calcolatore del sistema (.16). Gli effetti dell errore di arrotondamento possono essere valutati attraverso il numero di condizionamento della matrice L N (vedi Nota 4). Essendo la matrice L N simmetrica e definita positiva si ha (vedi Appendici 1 e ) K ( ) =! max L N! min (.35) dove! max e! min sono, rispettivamente, l autovalore più grande e più piccolo di L N. Dalle (.3) e (.4) si può determinare il numero di condizionamento della matrice L N # K ( L )! N " & ' ( # l & )x ' ( # = & " ' ( ( N + 1). (.36) Il numero di condizionamento cresce come N al crescere di N. Quindi, per ridurre gli effetti dovuti all errore di troncamento si incrementa il condizionamento della matrice e, di conseguenza, si incrementano gli effetti dovuti all errore di arrotondamento. A causa di ciò l errore totale, cioè la somma di quello dovuto al troncamento e all arrotondamento, ha un minimo per!x " 0 allo stesso modo di quanto si osserva nella soluzione di un problema ai valori iniziali con il metodo delle differenze finite (vedi Nota 6). Esempio.1 Risolviamo il problema (.1)-(.) con il Programma.1 con f = cos t. o f =!x + ". In questo caso la (.34) ci dice che non c è errore di troncamento. Tuttavia

9 9 la soluzione numerica ha un errore che cresce al crescere di N, ciò è dovuto al fatto che cresce il numero di condizionamento della matrice L N e, quindi, diventano sempre più rilevanti gli effetti degli errori di arrotondamento. Esercizio. Risolvere il problema (.1)-(.) con il Programma.1 per f = cos t., f =!x + ", f =!x + " e f =! cos kx + " assumendo condizioni al contorno omogenee (si scelgano a piacere i valori dei parametri del problema). Confrontare per ogni caso la soluzione numerica con quella analitica al diminuire del passo di discretizzazione e discutere i risultati..1.3 Relazione tra l operatore!d / dx e la matrice L N. Indichiamo con C 0 0,l condizione [ ] lo spazio delle funzioni C [ 0,l] 4 che verificano la u( 0) = u( l) = 0. (.37) Ora mostreremo che la matrice L N non è altro che una rappresentazione approssimata dell operatore!d / dx applicato alle funzioni u( x)!c 0 [ 0,l]. Le autofunzioni dell operatore!d / dx sono le funzioni g = g x ( ) tali che! d g dx = " g (.38) dove la costante! è il corrispondente autovalore. Le funzioni g che verificano la (.38) sono del tipo g( x) = Asin( kx +! ) (.39) dove A,! e k sono costanti arbitrarie. L autovalore corrispondente è dato da! = k. (.40) 4 Con C [ 0,l] indichiamo lo spazio lineare delle funzioni continue e derivabili due volte definite sull intervallo chiuso [ 0,l].

10 10 Le funzioni (.39) appartengono a C [ 0,l], ma in generale non verificano la condizione (.37). E possibile scegliere i valori di! e k in modo tale che questa condizione sia verificata. Si ha immediatamente che per! = 0 e k i = i! l per i = 1,,... (.41) la condizione (.37) è verificata per ogni valore dell ampiezza A. In conclusione, le autofunzioni g i ( x) e gli autovalori! i dell operatore!d / dx definito in C 0 [ 0,l] sono, rispettivamente, e g i ( x) = sin k i x! i = i " # & l ' ( ( ) per i = 1,,... (.4) per i = 1,,... (.43) dove k i è dato dalla (.41). Essendo arbitrario il valore dell ampiezza A, l abbiamo scelta uguale a uno. Le autofunzioni g i ( x) sono ortogonali l! sin( k i x) sin( k j x)dx = 0 per i! j. (.44) 0 ( )!C 0 [ 0,l] può essere rappresentata attraverso una combinazione Qualsiasi funzione u x lineare delle autofunzioni (.4). In generale, questa combinazione è una somma infinita (serie di Fourier), ( ) = a i g i ( x) u x dove i coefficienti dell espansione a i sono dati da! " (.45) i=1 a i = l l! u( x)sin( k i x)dx. (.46) 0 Allora, la soluzione del problema (.1) con le condizioni ai limiti omogenee (.37) può essere espressa attraverso la (.45) con a i =! 1 k i b i i = 1,,... (.47)

11 11 dove b i = l l! f ( x)sin( k i x)dx. (.48) 0 Allora, se f è limitata anche la soluzione è limitata. Se le ampiezze b i delle armoniche della funzione f sono uguali a zero o sono trascurabili per i > M c, la soluzione si riduce alla somma delle prime M c armoniche. In questi casi si dice che l M =! k M (.49) è la più piccola lunghezza caratteristica su cui la funzione f varia apprezzabilmente. Viceversa, se l M è la più piccola lunghezza su cui la funzione f varia apprezzabilmente, c è bisogno delle prime M c armoniche per rappresentarla adeguatamente, con M c dato da 5! l M = int " # &. (.50) I campioni dell autofunzione (.4) nei nodi x j = j!x, j = 1,,..., N, sono l M (" g i ( x j ) = Asin * i! # l ) & ' j l + N + 1, - = Asin (" * i! # ) l & ' j l + N + 1 -, = Asin ( ji. ) (.51) dove! è dato dalla (.0). Confrontando la (.51) con la (.19) scopriamo che il componente j! esimo dell autovettore i! esimo della matrice L N è proprio uguale a g i ( x j ). Analogamente al modello continuo, la soluzione numerica può essere rappresentata attraverso gli autovettori di L N, ( N ) dove i coefficienti a i sono dati da N N u =! a ( ) q i (.5) i i=1 ( N a ) i =! 1 q T i f N. (.53) " i q T i q i 5 Per definizione int ( x) dà x se x è intero, altrimenti dà la parte intera di x più 1.

12 1 E immediato verificare che e N N!xq T i q i =!x' sin # h( i" ) & ( = sin # k i ( h!x) &!x + )', h=1 * h=1 - =. ( sin k i x)dx + O!x l 0 ( ) (.54) N N!xq T i f N =!x' sin # h( i" ) & ( f i = sin # k i ( h!x) & f!x + )' i, h=1 * h=1 - l =. sin( k i x) f ( x)dx + O (!x ). 0 (.55) Abbiamo utilizzato il metodo dei rettangoli (Vedi Nota 7) per approssimare i due integrali definiti. Combinando le (.54) e (.55) si ha immediatamente ( N a ) i! " 1 b i. (.56) # i " i ! i i 100 Figura. Confronto tra gli autovalori della matrice L N e dell operatore d / dx. Confrontiamo, ora, gli autovalori. Dalla (.18) segue che per i << N mentre per i! N e N >> 1 si ha! i " i # ' & l ( ), (.57)

13 13! i " 4 #x. (.58) I primi N c autovalori di L N con N c << N (ad esempio, N c = N /10 ), sono con buona approssimazione uguali ai primi N c autovalori! i dell operatore!d / dx in C 0 [ 0,l]. Invece, gli altri autovalori di L N si discostano, anche notevolmente, dagli autovalori! i. In Figura. sono confrontati gli andamenti di! i e! i per i = 1,,..., N con N = 100. Gli effetti di questa discrepanza sono praticamente ininfluenti se M c = N c << N. In base a quanto abbiamo visto possiamo concludere che, la matrice L N è una buona [ ] se la soluzione del problema non approssimazione dell operatore!d / dx in C 0 0,l contiene armoniche spaziali di ampiezza significativa di ordine maggiore a N c, in altri termini se!x << l c (ad esempio,!x = l c /10 ). Esercizio.3 Risolvere il problema (.1)-(.) con condizioni al contorno omogenee con il Programma.1 per f = cos( kx) e diversi valori di k. Si verifichi, confrontando la soluzione numerica con quella analitica, che si ottiene una buona approssimazione se N >> kl /! (ad esempio, N = 10 int lk /! ( ))..1.4 Problema di Neumann Applichiamo il metodo alle differenze finite per risolvere il seguente problema: determinare la funzione u = u x con le condizioni al contorno ( ), definita nell intervallo [ 0,l], che verifica l equazione d u dx = f x ( ) per x! ( 0,l ), (.59)! du # dx = q 0, " # du dx = q l. # (.60) A differenza del problema di Dirichlet, i valori di u agli estremi dell intervallo di definizione del problema non sono noti, ma sono noti i valori della derivata prima. Di conseguenza, anche u( 0) e u( l) sono valori incogniti. Ricordiamo che questo problema ammette soluzione solo se i dati del problema verificano la condizione

14 14 q l! q 0 = " f ( x)dx. (.61) In questo caso la soluzione non è unica, essa è definita a meno di una costante additiva arbitraria. In conseguenza di ciò abbiamo che: l 0 a. si può imporre il valore di u in un punto del dominio, compresi gli estremi, ad arbitrio, ad esempio u 0 ( ) = 0. b. oltre all equazione (.59), basta imporre una delle due condizioni al contorno (.60), ad esempio la seconda. Per imporre la seconda condizione al contorno (.60) bisogna discretizzare l operatore di derivata prima. L operatore di derivata seconda nella (.59) può essere trattato come nel problema di Dirichlet. Possiamo discretizzare du / dx a x = l utilizzando, ad esempio, le formule di Eulero, oppure la formula della derivata centrale. Se si scelgono le formule di Eulero conviene impiegare quella in avanti, du = u! u N +1 N dx x=l "x In questo caso la seconda delle condizioni al contorno (.60) diventa + O ("x). (.6) u N +1! u N "x # q l. (.63) Aggiungendo alle equazioni ottenute discretizzando la (.59) nei nodi interni (come nel Problema di Dirichlet) otteniamo un sistema di ( N + 1) equazioni algebriche in altrettante incognite u 1,u,...,u N +1. A causa dell equazione (.63) la matrice del sistema complessivo non è simmetrica a differenza di quanto si ha per il problema di Dirichlet. La matrice è definita positiva? Lasciamo al lettore la risposta a questa domanda. Questo modello ha un problema: l errore introdotto dalla discretizzazione della condizione al contorno (nel problema di Dirichlet non c è errore nell imposizione delle condizioni al contorno), tende a zero come!x per!x " 0. Ciò vanifica l accuratezza con cui viene imposta numericamente l equazione (.59): ricordiamo che l errore di discretizzazione della (.59) tende a zero come!x per!x " 0. Esercizio.4 Implementare in MATLAB la soluzione del problema di Neumann applicando il la formula di Eulero per imporre la condizione al contorno. Usare il programma per

15 15 risolvere il problema (.59)-(.60) per f = cos t., f =!x + ", f =!x + ", f =! cos kx + " e diversi valori delle condizioni al contorno. Confrontare per ogni caso la soluzione numerica con quella analitica al diminuire del passo di discretizzazione e discutere i risultati. Figura.3 Griglia del problema di Neumann con nodo virtuale. Per ottenere un errore nella discretizzazione della condizione al contorno dello stesso ordine di grandezza di quello introdotto dalla discretizzazione dell equazione (.59) con il metodo illustrato nel.1.1 bisogna impiegare una formula di discretizzazione della derivata prima del secondo ordine, ad esempio, la formula delle derivate centrali. Però, per poter impiegare questa formula nella discretizzazione di du / dx a x = l c è bisogno del valore di u in x N + = l +!x, Figura.3. Questo punto pur non appartenente al dominio di definizione del problema, può essere introdotto (nodo virtuale) per questa ragione: possiamo sempre pensare di prolungare la funzione all intervallo elementare [ l,l +!x] imponendo che u( x) sia continua con tutte le sue derivate in x = l. Allora la seconda equazione della condizione (.60) può essere così approssimata u N +! u N "x # q l. (.64) In questo caso l errore di discretizzazione tende a zero come!x per!x " 0. All equazione (.64) bisogna aggiungere l equazione che si ottiene imponendo la (.59) in x = l, u N +! u N +1 + u N "x # f N +1. (.65) Aggiungendo a queste due equazioni quelle ottenute discretizzando la (.59) nei nodi interni (come nel Problema di Dirichlet) otteniamo un sistema di N + ( ) equazioni algebriche in altrettante incognite u 1,u,...,u N +. A causa dell equazione (.64) la matrice complessiva è sempre non simmetrica. La matrice del sistema complessivo è definita positiva? Si lascia di nuovo al lettore la risposta a questa domanda.

16 16 Esercizio.5 Implementare in MATLAB la soluzione del problema di Neumann applicando la formula delle derivate centrali per imporre la condizione al contorno. Usare il programma per risolvere il problema (.59)-(.60) per f = cos t., f =!x + ", f =!x + ", f =! cos kx + " e diversi valori delle condizioni al contorno. Confrontare per ogni caso la soluzione numerica con quella analitica al diminuire del passo di discretizzazione e discutere i risultati.. Differenze finite: problemi bidimensionali Il metodo delle differenze finite può essere esteso a problemi nel piano e nello spazio purché la frontiera della regione in cui il problema è definito si sposi con una griglia di calcolo di tipo strutturato. Ora esamineremo il caso bidimensionale. L estensione a geometrie tridimensionali la lasciamo al lettore come un problema da risolvere...1 Formulazione del problema Risolviamo il problema di Dirichlet:! u = f in!, (.66) u!" = g, (.67) dove! è un rettangolo, Figura.4. Per prima bisogna costruire una griglia sul rettangolo!. Introduciamo una discretizzazione del lato di lunghezza l x in N x + 1 intervalli [ ] h = 1,,..., N x + 1 (vedi Figura.4), che per semplicità assumiamo ( x I ) h = x h!1, x h uniformi. Se indichiamo con!x la lunghezza di ciascun intervallo, abbiamo e!x = l x N x + 1 (.68) x h = h!x per h = 0,1,..., N x + 1. (.69) { } i nodi della griglia sul lato di lunghezza l x. In Indichiamo con X!x = x 0, x 1,..., x Nx +1 maniera del tutto analoga discretizziamo il lato di lunghezza l y. Abbiamo N y + 1 ( y intervalli I ) k = y k!1, y k [ ] k = 1,,..., N y + 1 (vedi Figura.4), che per semplicità

17 17 assumiamo sempre uniformi. Se indichiamo con!y la lunghezza di ciascun intervallo, abbiamo e!y = l y N y + 1 (.70) y k = k!y per k = 1,,..., N y + 1. (.71) Indichiamo con Y!y = { y 0, y 1,..., y Ny +1} i nodi della griglia sul lato di lunghezza l y. Il prodotto cartesiano G! = X!x " Y!y dà la griglia sul rettangolo!. Figura.4 (a) Griglia bidimensionale strutturata su di un rettangolo; (b) supporto per lo schema a 5 punti per l approssimazione del laplaciano sul piano. Dobbiamo determinare i valori di u = u( x, y) nei nodi della griglia, cioè u h,k = u( x h, y k ). (.7) Nel problema in esame sono assegnati i valori di u sulla frontiera!". Posto nei nodi interni della griglia e f h,k = f ( x h, y k ) (.73) g h,k = g( x h, y k ) (.74)

18 18 nei nodi di frontiera, le u h,k devono essere cercate in modo tale che! u ( xh,y k ) = f h,k nei nodi interni della griglia (.75) e u ( xh,y k ) = g h,k nei nodi di frontiera della griglia. (.76) Per poter utilizzare la (.75) bisogna approssimare! u ( xh,y k ) In coordinate cartesiane rettangolari si ha attraverso differenze finite.! u = " u "x + " u "y. (.77) Entrambe le derivate seconde parziali possono essere approssimate con le stesse formule alle differenze finite che abbiamo impiegato per approssimare la derivata seconda ordinaria nei problemi monodimensionali. Posto! x u h,k " u h#1,k # u h,k + u h+1,k x, (.78) si ha che! y u h,k " u h,k #1 # u h,k + u h,k +1 y, (.79)! u ( xh,y k ) = " xu h,k + " y u h,k + O (#x ) + O (#y ). (.80) Combinando le (.75) e (.80), trascurando i termini O (!x ) e O (!y ), otteniamo! x u h,k +! y u h,k = f h,k nei nodi interni della griglia. (.81) Combinando le (.81) e (.76) otteniamo un sistema di N x N y equazioni algebriche lineari in altrettante incognite. Se!x =!y la (.81) diventa u h!1,k + u h,k!1! 4u h,k + u h,k +1 + u h+1,k = "x f h,k nei nodi interni della griglia. (.8)

19 19 Le equazioni (.8) mettono in relazione 5 incognite i cui corrispondenti nodi formano una croce con centro nel nodo ( x h, y k ), Figura.4b. Per questa ragione questo schema è noto come schema a 5 punti per l equazione di Poisson. Il metodo alle differenze finite che abbiamo illustrato è consistente perché! x u h,k +! y u h,k " # u ( xh,y k ) (.83) per!x " 0 e!y " 0. Come in seguito verificheremo, la matrice che approssima il laplaciano ha inversa limitata, quindi il metodo è numericamente stabile. Di conseguenza la soluzione numerica converge alla soluzione esatta per!x " 0 e!y " 0 (Teorema di Lax). Si può dimostrare che se!x =!y [.1] max h,k u! ( ) " u h,k # CM x (.84) x h, y k dove u! indica come al solito la soluzione esatta, C è una costante e M è il massimo valore delle derivate quarte della soluzione in!... Costruzione della matrice L N Ora affronteremo il problema della costruzione della matrice L N. Una volta costruita L N bisogna solo risolvere un sistema di equazioni algebriche. Considereremo due modi diversi di costruire L N, uno mette in evidenza subito le proprietà strutturali di L N, l altro è particolarmente efficiente per implementare la costruzione di L N in un algoritmo da implementare in MATLAB. Il sistema di equazioni algebriche lineari costituito dalle equazioni (.81) e (.76) può essere costruito facilmente ordinando in modo opportuno i nodi interni della griglia a partire, ad esempio, dal nodo 1 di coordinate ( x 1, y 1 ), Figura.4, proseguendo da sinistra verso destra e dal basso verso l alto, numerandoli progressivamente da 1 a N = N x N y. Indichiamo con u i il valore di u nel nodo i! esimo e con u N il vettore colonna u N = u 1,u,...,u N T. (.85) Con questo ordinamento, detto lessografico, il sistema di equazioni algebriche lineari che approssima il problema in esame può essere scritto nella forma L N u N =!b N (.86) dove la matrice L N ha una struttura che, come tra poco vedremo, ricorda quella della matrice L N del caso monodimensionale. Come in questo, sia il contributo delle

20 0 condizioni al contorno, sia il contributo delle sorgenti interne al dominio sono rappresentate dal vettore f N. Figura.5 Allo scopo di esemplificare la trattazione facciamo riferimento alla griglia di Figura.5. Ciascun nodo della griglia, sia interno che di frontiera, è individuato dalla coppia di numeri interi ( i, j) con i, j = 1,,...,5. Inoltre, i nodi interni sono ordinati da 1 a 9 secondo la regola lessografica. Esistono tre tipologie di nodi interni: a) i nodi non contigui a ciascun lato di frontiera, 5 ; b) i nodi contigui a un solo lato di frontiera,, 4, 6, 8 ; c) i nodi contigui a due lati di frontiera, 1, 3, 7, 9. Scriviamo le equazioni per i nodi interni 4, 5 e 6. Abbiamo le seguenti equazioni g 1,3! u 4 + u 5 + u! u + u "x "y = f 4 nodo interno 4 ; (.87) u 4! u 5 + u 6 + u! u + u 5 8 "x "y = f 5 nodo interno 5 ; (.88) u 5! u 6 + g 5,3 + u! u + u "x "y = f 6 nodo interno 6. (.89) Esse possono essere riscritte nel seguente modo:

21 1 " 1!x + 1 #!y! 1 "x u # "x + 1 "y! 1 "x u # "x + 1 "y Poniamo & ' u 4 ( 1!x u 5 ( 1 u!y 1 + u 7 ( ) = f 4 + g 1,3 & ' ( u 5! 1 "x u 6! 1 u "y + u 8 & ' ( u 6! 1 u "y 3 + u 9 nodo interno 4 ; (.90)!x ( ) = f 5 nodo interno 5 ; (.91) ( ) = f 6 + g 5,3 nodo interno 6. (.9) "x u ( 1) T = u 1,u,u 3, u ( ) T = u 4,u 5,u 6, u ( 3) T = u 7,u 8,u 9. (.93) In generale, u ( n) rappresenta le incognite nei nodi interni appartenenti al segmento y = y n. Il blocco di equazioni relative ai nodi interni appartenenti al segmento y = y può essere rappresentato attraverso la seguente forma matriciale! 1 "y u ( 1) + T 3 u ( )! 1 "y u ( 3) = f ( ), (.94) dove T 3 = 1!x A 3 +!y I 3, (.95) A è la matrice ( 3! 3) A 3 =!1 0!1!1 0!1 (.96) e I 3 è la matrice identità ( 3! 3). In modo analogo, si mostra che il blocco di equazioni per i nodi interni appartenenti al segmento y = y 1 è T 3 u ( 1)! 1 "y u ( ) = f ( 1) (.97) e il blocco di equazioni per i nodi interni appartenenti al segmento y = y 3 è! 1 "y u ( ) + T 3 u 3 ( ) = f 3 ( ). (.98)

22 I vettori f ( 1), f ( ) e f ( 3) rappresentano i contributi dei termini noti. Allora, il sistema completo di equazioni può essere così scritto T 3 S S 3 T 3 S S 3 T 3 u ( 1) u ( ) = ( ) u 3 f ( 1) f ( ) (.99) f ( 3) dove S 3 =! 1 "y I 3. (.100) E immediato, allora, che in generale la matrice L N ( N! N ) ha la forma a blocchi T Nx S Nx 0 Nx... 0 Nx L N = S Nx T Nx S Nx... 0 Nx Nx... S Nx T Nx S Nx 0 Nx... 0 Nx S Nx T Nx. (.101) Il numero di blocchi è N y. Le matrici T e S sono simmetriche, quindi anche la matrice L N è simmetrica. Inoltre, la matrice L N è definita positiva. Solo per semplicità, esemplifichiamo attraverso il caso N x = N y = 3 che abbiamo appena analizzato. La forma quadratica u N T L N u N ha la seguente espressione u T N L N u N = 1 3 " u ( i)t A!x 3 u ( i) # " u ( i) # u i+1 i=1 # u ( 1)T S 3 u ( 1) # u ( 3)T S 3 u 3 i=1 ( ). ( ( ) ) T S 3 u i ( ( ) # u ( i+1) ) (.10) In generale si ha u T N L N u N = 1 N y N " u ( i)t A!x Nx u ( i) y #1 # " ( u ( i) # u ( i+1) ) T S Nx ( u ( i) # u ( i+1) ) i=1 i=1 (.103) # u ( 1)T S Nx u ( 1) # u ( N y )T S Nx u ( N y ).

23 3 La matrice A Nx è definita positiva mentre S Nx è definita negativa, quindi L N è definita positiva. Essendo L N definita positiva il sistema (.86) ha una ed una sola soluzione. Osserviamo, inoltre, che la matrice L N è fortemente sparsa. Figura.6 Nell implementazione dell algoritmo di costruzione della matrice L N conviene adottare una diversa strategia. Questa volta ciascun nodo della griglia, sia interno che di frontiera, è individuato dalla coppia di numeri interi ( i, j) con i = 1,,..., N x + e j = 1,,..., N y +. Ordiniamo i nodi della griglia, compresi quelli di frontiera, secondo la regola lessografica, così come illustrato in Figura.6. L indice i dei nodi interni può essere espresso in questo modo: i = n + ( m! 1) ( N x + ) (.104) per n =, 3,..., N x + 1 e m =, 3,..., N y + 1. La matrice K di dimensioni " #( N x + )! ( N y + )! ( N x + )! ( N y + ) viene definita come matrice sparsa e la si riempie in questo modo: " 1 K ( i,i) =!x + 1 #!y & ', (.105) K i! 1,i ( ) = K i,i + 1 ( ) =! 1 "x, (.106)

24 4 K ( i! N x!,i) = K ( i + N x +,i) =! 1 "y. (.107) Ovviamente le (.106) e (.107) accendono elementi relativi ai nodi di frontiera che contribuiscono solo attraverso termini noti, quindi bisogna eliminarli per ottenere la matrice L N. Programma. Poisson bidimensionale function [x,y,u]=df_poisson_d(a,b,c,d,nx,ny,f,g) Poisson bidimensionale risolta con le differenze finite Una serie di posizioni nx=nx+1; ny=ny+1; hx=(b-a)/nx; hy=(d-c)/ny; nx1=nx+1; ny1=ny+1; hx=hx^; hy=hy^; kii=/hx+/hy; kix=-1/hx; kiy=-1/hy; dim=(nx+1)*(ny+1); K=speye(dim,dim); rhs=zeros(dim,1); y=c; for m=:ny x=a;y=y+hy; for n=:nx i indice dei nodi interni i=n+(m-1)*(nx+1); Calcolo matrice K e rhs K(i,i)=kii; K(i,i-1)=kix; K(i,i+1)=kix; K(i,i+nx1)=kiy; K(i,i-nx1)=kiy; x=x+hx; rhs(i)=eval(f); end end include nel rhs il contributo del contorno rhs1=zeros(dim,1); y=c; x=[a:hx:b]; rhs1(1:nx1)=eval(g); y=d; rhs1(dim-nx:dim)=eval(g); x=a; y=[c:hy:d]; rhs1(1:nx1:dim-nx)=eval(g); x=b; rhs1(nx1:nx1:dim)=eval(g); rhs=rhs-k*rhs1; Estrae dalla matrice K la matrice L nbordo=[[1:nx1],[dim-nx:dim],[1:nx1:dimnx],[nx1:nx1:dim]];ninterni=setdiff([1:dim],nbordo); K=K(ninterni,ninterni); rhs=rhs(ninterni); utemp=k\rhs;uh=rhs1; uh(ninterni)=utemp; costruzione x(i) e y(j) x=[a:hx:b]; y=[c:hy:d]; return Per ottenere il termine noto, si riempie prima il vettore rhs di dimensione " #( N x + )! ( N y + ) tenendo conto del solo contributo dovuto alla sorgente interna

25 5 rhs( i) = f ( i). (.108) Per portare in conto il contributo delle condizioni al contorno, si definisce il vettore rhs1 di dimensione " #( N x + )! ( N y + ) e lo si riempie in questo modo: rhs1( i) =! 0 se il nodo è interno; " # g i ( ) se il nodo è di frontiera. (.109) Per come sono stati costruiti rhs1 e K il termine noto del sistema (.86) è dato da rhs = rhs! Krhs1. (.110) Questa è la strategia impiegata nel Programma., [.1]. Esercizio.6 f ( x, y) = 8! sin(! x)cos(! y) e ( ) utilizzando il Programma.. Si verifichi che la soluzione ( ) e si studi l errore per diverse discretizzazioni. Si risolva il problema (.66)-(.67) con g( x, y) = sin(! x)cos! y esatta è u( x, y) = sin(! x)cos! y.3 Equazione di Poisson non lineare Impiegando le tecniche di approssimazione dell operatore laplaciano che abbiamo introdotto precedentemente è possibile risolvere tutti i problemi richiamati nel.1. In questo paragrafo faremo vedere come si risolve un problema di Poisson non lineare. Solo per esemplificare consideriamo il problema monodimensionale d u dx ( ) in 0,l = F u; x [ ], (.111) ( ) = g 0, ( ) = g l.! u 0 " # u l (.11) Assumiamo che la soluzione esista e sia unica. Facciamo riferimento alla griglia di Figura.1. Nei nodi interni x 1, x,..., x N dobbiamo imporre l equazione (.111), mentre nei nodi di frontiera x 0 e x N +1 bisogna imporre le condizioni al contorno (.11). Allora abbiamo

26 6 e d u = F( u dx x= x k k ; x k ) per k = 1,,..., N (.113) u 0 = g 0, u N +1 = g l, (.114) dove u k = u( x k ) per sono i campioni della funzione incognita nei nodi della griglia. Utilizzando la (.11), l equazione (.113) può essere approssimata in questo modo Posto u k +1! u k + u k!1! F( u "x k ; x k ) = 0 per k = 1,,..., N. (.115) F N il sistema (.115) può essere così riscritto u N = u 1,u,...,u N T, (.116) ( u N ) = F( u 1 ; x 1 ),F( u ; x ),...,F( u N ; x N ) T, (.117) d N = 1!x g,0,...,0,g T 0 l, (.118) L N u N + F N ( u N ) = d N, (.119) dove la matrice L N è data dalla (.15). L equazione (.119) è un sistema di N equazioni algebriche non lineari in N incognite..4 Equazione di Helmholtz In questo paragrafo impiegando le tecniche di approssimazione dell operatore laplaciano descritte precedentemente affrontiamo il problema della soluzione dell equazione di Helmholtz. Solo per esemplificare consideriamo un equazione di Helmholtz con condizioni al contorno di tipo Dirichlet in un dominio piano,! u " # u = f ( r) in, (.10) u!" = g. (.11) Se! è un autovalore dell operatore laplaciano la soluzione non è unica. Se la geometria del dominio! ha particolari simmetrie è possibile costruire una griglia strutturata e, quindi, adoperare le differenze finite. Assumiamo che! sia, ad esempio, un rettangolo, come quello di Figura.4. Nei nodi interni al dominio!

27 7 dobbiamo imporre l equazione (.10), mentre nei nodi di frontiera bisogna imporre le condizioni al contorno(.11). Allora abbiamo e! x u h,k +! y u h,k " # u h,k = f ( x h, y k ) nei nodi interni della griglia (.1) u ( xh,y k ) = g h,k nei nodi di frontiera della griglia. (.13) Utilizzando l ordinamento lessografico come per il problema di Poisson (vedi.3) otteniamo il sistema di equazioni algebriche lineari L N u N +! u N = "b (.14) dove le espressioni della matrice L N e del termine noto b sono le stesse che si ottengono per l equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet. L equazione (.14) è un sistema di M equazioni algebriche lineari in altrettante incognite. La soluzione del sistema (.14) non è unica se!" è un autovalore della matrice L N..5 Equazione di diffusione lineare Ora faremo vedere come impiegando le tecniche di approssimazione dell operatore laplaciano descritte precedentemente sia possibile risolvere un equazione di diffusione lineare. Solo allo scopo di esemplificare consideriamo un equazione di diffusione monodimensionale!u!t " D! u!x = f x;t con condizioni al contorno di tipo Dirichlet ( ) 0<x < l, t > 0 (.15) ( ) = g 0 t ( ) = g l t u x = 0;t u x = l;t ( ), ( ), (.16) e la condizione iniziale u( x;t = 0) = u 0 ( x). (.17) Per la condizione di compatibilità deve essere u 0 x = 0 ( x = l) = g l ( t = 0). La soluzione è unica. u 0 ( ) = g 0 ( t = 0) e

28 8 Facciamo riferimento di nuovo alla griglia di Figura.1. Nei nodi interni x 1, x,..., x N dobbiamo imporre l equazione (.15), mentre nei nodi di frontiera x 0 e x N +1 bisogna imporre le condizioni al contorno (.16). Allora abbiamo e #!u!t " D! u &!x ' ( x= x k = f x k ;t ( ) per k = 1,,..., N (.18) u 0 = g 0, u N +1 = g l. (.19) In questo problema la funzione incognita u = u( x;t) dipende anche dal tempo oltre che dallo spazio, quindi i campioni di u nei nodi della griglia sono funzioni del tempo. Posto u( x k ;t)! u k ( t) e utilizzando la (.11) l equazione (.18) può essere approssimata in questo modo du k dt! D u k +1! u k + u k!1 = f ( u "x k ;t) per k = 1,,..., N. (.130) Il sistema (.130) può essere così riscritto dove u N du N dt + DL N u N = b N, (.131) ( t) = u 1 ( t),u ( t),...,u N ( t) T, (.13) le componenti del vettore b N sono date da b h ( t) = f x h ;t ( ) + 1!x # g 0 ( t)" h1 + g l ( t)" hn & (.133) e L N è dato (.15). La (.131) è un sistema di N equazioni differenziali lineari del primo ordine in N funzioni incognite. Esso deve essere risolto con la condizione iniziale dove u( t = 0) = U (.134) U = u 0 ( x 1 ),u 0 ( x ),...,u 0 ( x N ) T. (.135)

29 9.6 Equazione di propagazione lineare Ora faremo vedere come impiegando le tecniche di approssimazione dell operatore laplaciano descritte precedentemente sia possibile risolvere un equazione di propagazione lineare. Solo allo scopo di esemplificare consideriamo un equazione di propagazione monodimensionale! u!t "! u c!x = f x;t con condizioni al contorno di tipo Dirichlet ( ) 0<x < l, t > 0 (.136) e le condizioni iniziali ( ) = g 0 t ( ) = g l t u x = 0;t u x = l;t u x;t = 0!u!t ( ), ( ), ( ) = u 0 x =!u t =0 0 ( x). ( ), (.137) (.138) ( ) = g 0 ( t = 0) e Per la condizione di compatibilità deve essere u 0 x = 0 u 0 ( x = l) = g l ( t = 0). La soluzione è unica. Facciamo riferimento di nuovo alla griglia di Figura.1. Nei nodi interni x 1, x,..., x N dobbiamo imporre l equazione (.136), mentre nei nodi di frontiera x 0 e x N +1 bisogna imporre le condizioni al contorno (.137). Allora abbiamo e #! u!t "! u & c!x ' ( x= x k = f x k ;t ( ) per k = 1,,..., N (.139) u 0 = g 0, u N +1 = g l. (.140) Posto u k modo ( t) = u x k ;t ( ) e utilizzando la (.11), la (.139) può essere approssimata in questo d u k u! c! u + u k +1 k k!1 = f ( u dt "x k ;t) per k = 1,,..., N. (.141) Il sistema (.141) può essere così riscritto d u N dt + c L N u N = b, (.14)

30 30 dove u N è definito dalla (.13), b N è dato dalla (.133) e L N è data dalla (.15). La (.14) è un sistema di N equazioni differenziali lineari del secondo ordine in N incognite. Esso deve essere risolto con le condizioni iniziali dove u( t = 0) = U du dt t =0 =!U U = u 0 ( x 1 ),u 0 ( x ),...,u 0 ( x N ) T,!U =!u 0 ( x 1 ),!u 0 ( x ),...,!u 0 ( x N ) T. (.143) (.144) Il sistema (.14) può essere riscritto come un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Si ha " du N! w = 0, dt # dw dt + c L N u N = b. (.145).7 Equazione di diffusione non lineare Ora faremo vedere come impiegando le tecniche di approssimazione dell operatore laplaciano descritte precedentemente sia possibile risolvere un equazione di diffusione non lineare. Solo allo scopo di esemplificare consideriamo un equazione di diffusione non lineare monodimensionale #!b!t "! u!x = f x;t & b = B ( u) ( ) 0<x < l, t > 0 (.146) con condizioni al contorno di tipo Dirichlet ( ) = g 0 t ( ) = g l t u x = 0;t u x = l;t ( ), ( ), (.147) e la condizione iniziale b( x;t = 0) = b 0 ( x). (.148)

31 31 ( ) = B g 0 ( t = 0) Per la condizione di compatibilità deve essere b 0 x = 0!" # e b 0 ( x = l) = B!" g l ( t = 0) #. Assumiamo che la soluzione sia unica. Facciamo riferimento di nuovo alla griglia di Figura.1. Nei nodi interni x 1, x,..., x N dobbiamo imporre le equazioni (.146), mentre nei nodi di frontiera x 0 e x N +1 bisogna imporre le condizioni al contorno (.147). Allora abbiamo e -#!b!t "! u & /!x ' ( x= x k = f x k ;t. / 0 b( x k ;t) = B )* u( x k ;t) +, ( ) per k = 1,,..., N (.149) u 0 = g 0, u N +1 = g l. (.150) Posto u k b k ( t) = u( x k ;t), ( t) = b( x k ;t), (.151) e utilizzando la (.11), le (.149) può essere approssimata in questo modo # & db k dt ( )! u! u + u k +1 k k!1 = f u "x k ;t b k = B ( u k ) per k = 1,,..., N. (.15) Il sistema (.15) può essere così riscritto! db N # + L N u N = d, " dt # b N = B ( u N ), (.153) dove u N è definito dalla (.13), b N è dato dalla (.133) e L N è data dalla (.15), b N ( t) = b 1 ( t),b ( t),...,b N ( t), (.154) B ( u) = B ( u 1 ),B ( u ),...,B ( u N ) T. (.155) La (.131) è un sistema di N equazioni differenziali lineari del primo ordine accoppiato a N equazioni algebriche non lineari in N incognite. Esso deve essere risolto con la condizione iniziale

32 3 dove b( t = 0) = B (.156) B = b 0 ( x 1 ),b 0 ( x ),...,b 0 ( x M ) T. (.157) Il sistema (.131) può essere ridotto a un sistema di sole equazioni differenziali del primo ordine. Il sistema ridotto nell incognita u è J B ( u N ) du N dt dove J B è la matrice jacobiana della funzione B N nell incognita b N è + L N u N = d (.158) ( u N ). Invece, il sistema ridotto db N dt + L N B!1 ( b N ) = d (.159) ( ) è la funzione inversa di B (!) (la funzione B (!) è invertibile perché abbiamo dove B!1 " supposto che B fosse invertibile)..8 Equazione di propagazione non lineare Consideriamo l equazione di propagazione non lineare monodimensionale #! d!t "! u!x = f x;t & d = D ( u) ( ) 0<x < l, t > 0 (.160) con condizioni al contorno di tipo Dirichlet ( ) = g 0 t ( ) = g l t u x = 0;t u x = l;t ( ), ( ), (.161) e le condizioni iniziali ( ) = d 0 x d x;t = 0!d!t =! t =0 d 0 ( x). ( ), (.16)

33 33 Per la condizione di compatibilità deve essere d 0 x = 0 d 0 ( x = l) = B!" g l ( t = 0) #. Si Assuma che la soluzione sia unica. Esercizio.8 ( ) = D g 0 ( t = 0)!" # e Si determini il modello discreto alle differenze finite dell equazione di propagazione non lineare (.160) con le condizioni al contorno (.161) e le condizioni iniziali (.16). Referenze e testi di approfondimento.1 A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Springer, 00.

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