Calcolo Numerico A.A Laboratorio 11 Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie

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1 Calcolo Numerico A.A Laboratorio 11 Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1. Sia A R 4 4 la matrice A = e A = D + L + U lo splitting di A tale che D è la parte diagonale di A, L la sua parte triangolare inferiore e U la sua parte triangolare superiore. Per la risoluzione del sistema lineare Ax = b, si considera il metodo iterativo x k+1 = B α x k + f, dove B α = (I α(d + L) 1 A) è la matrice d iterazione, con α [ 0.5, 2.5] parametro d accelerazione (prere in MATLAB alpha=[-0.5 :0.1 :2.5] e I matrice identità R 4 4, e dove f è una funzione nota di b. 1. Stabilire utilizzando MATLAB per quali valori di α il metodo iterativo è convergente. A questo scopo, utilizzare il criterio necessario e sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. 2. Dedurre dai risultati del punto precedente qual è il valore ottimale di α. Quanto vale il raggio spettrale di B α in corrispondenza del valore ottimale di α? 3. Che metodo si ottiene per α = 1? Esiste un criterio sufficiente che garantisce la convergenza di tale metodo per il sistema Ax = b in esame?, 1

2 4. Risolvere poi tale sistema, con b=a*ones(4,1), usando opportunamente il programma itermeth con toll=1e-6, nmax=100, x0=zeros(4,1). Quante iterazioni sono necessarie? Quanto vale il residuo all ultima iterazione? Soluzione 1. Definiamo la matrice e la corrispondente matrice di iterazione al variare di α : A=4*diag(ones(4,1),0)-diag(ones(3,1),-1)-diag(ones(3,1),1); D=diag(diag(A)); L=tril(A)-D; U=triu(A)-D; alpha=[-0.5:0.1:2.5]; raggio=[]; for i=1:length(alpha) Balpha=eye(4)-alpha(i)*inv(D+L)*A; raggio=[raggio max(abs(eig(balpha)))]; plot(alpha,raggio, bo-,alpha,ones(length(alpha),1), r ) j=find(raggio==min(raggio)) alphamin=alpha(j) raggio_min =min(raggio) Lo script da i seguenti risultati : j = 17 alphamin= raggio_min =

3 Fig. 1 Grafico del raggio spettrale Il metodo è convergente se il raggio spettrale è minore di uno, quindi se α [0.1, 1.9]. 2. Il valore ottimale è α = e in corrispondenza, il raggio spettrale è (si veda 1) 3. Per α = 1 si ottiene il metodo di Jacobi. La matrice A è simmetrica e a dominanza diagonale stretta per righe, quindi il criterio sufficiente è soddisfatto e di conseguenza la convergenza è garantita. 4. Risolviamo il sistema Ax = b con itermeth. b=a*ones(4,1); x0=zeros(4,1); [x, iter, res]= itermeth(a,b,x0,100,1e-6,d+l,1) >> iter 3

4 iter = 9 >> res() ans = e-007 Sono state necessarie 9 iterazioni. Il residuo all ultima iterazione vale e 007. Esercizio 2. Si consideri la seguente equazione differenziale alle derivate ordinarie { y (t) = ty 2, 0 < t < T (1) y(0) = 2 1. Si calcoli la soluzione analitica di (1), procedo per separazione di variabili ; si rappresenti graficamente tale soluzione e si identifichi il suo comportamento per T >> Sia (1) della forma { y (t) = f(t, y(t)) y(0) = y 0 con f(t, y(t)) = ty 2 e y 0 = 2. Si consideri la suddivisione di (0, T ] in N intervalli di ampiezza t, tali che t n = n t, n = 0,..., N e si definisca y n = y(t n ) e u n l approssimazione di y n al tempo t n. Si fissi T = 1, t = 0.01 Si discretizzi (1) usando i seguenti metodi alle differenze (si implementi per ciascuno di essi un opportuno codice MATLAB) 4

5 (a) Eulero esplicito { u n+1 = u n + t f(t n, u n ) u 0 = y 0 (b) Eulero implicito { u n+1 = u n + t f(t n+1, u n+1 ) u 0 = y 0 (c) Crank-Nicholson { u n+1 = u n + t 1 2 (f(tn, u n ) + f(t n+1, u n+1 )) u 0 = y 0 Nel caso dei metodi di Eulero implicito e di Crank-Nicholson, si risolva ad ogni passo la risultante equazione nonlineare utilizzando la function MATLAB fzero (leggerne attentamente l help)! 3. Tracciare sul medesimo grafico le approssimazioni della soluzione trovate al punto precedente, insieme con la soluzione esatta. Quale è l approssimazione migliore? 4. Si considerino ora i valori t = [1, 0.1, 0.01, 0.001] e si tracci il grafico in scala logaritmica di max y u al variare di t. Cosa t [0,T ] si osserva? Soluzione 1. Calcoliamo la soluzione esatta per separazione di variabili : dy dt = ty2 1 y2dy = tdt 1 y 2dy = tdt 1 y(t) + C = t2 2 y(t) = 2 t C 5

6 Per determinare la costante C, imponiamo la condizione iniziale y(0) = 2 : otteniamo C = 1 2 e quindi y(t) = 2 t Rappresentiamo in MATLAB la soluzione esatta calcolata prima : >>T=3; >>dt=0.01; >>t=[0:dt:t]; >>g= 2./(1+t.^2) ; >>y=eval(g); >>plot(t,y); Fig. 2 Grafico della soluzione esatta 6

7 (a) Implementiamo il metodo di Eulero esplicito e calcoliamo l errore max al variare del dt. >>clear all >>y0=2; >>T=1; >>dt=[1e0 1e-1 1e-2 1e-3]; >>g= 2./(1+t.^2) ; >>for i=1:4, t=[0:dt(i):t]; N=length(t); uee=zeros(1,n); uee(1)=y0; for n=1:n-1 uee(n+1)=uee(n)-dt(i)*t(n)*uee(n)^2; y=eval(g); err(i)=max(abs(y-uee)); Rappresentiamo l errore in scala logaritmica al variare di $dt.$ Osserviamo che la convergenza \e lineare. >>loglog(dt,err, ro- ) (b) Implementiamo il metodo di Eulero implicito : >>clear all >>y0=2; >>T=1; >>dt=[1e0 1e-1 1e-2 1e-3]; >>g= 2./(1+t.^2) ; >>for i=1:length(dt), 7

8 t=[0:dt(i):t]; N=length(t); uei=zeros(1,n); uei(1)=y0; for n=1:n-1 fun=strcat( x+x.^2*,... num2str(dt(i)*t(n+1),16), -,... num2str(uei(n),16)); zero=fzero(fun,uei(n)); uei(n+1)=zero; y=eval(g); err(i)=max(abs(y-uei)); >>loglog(dt,err, bo- ) (c) Implementiamo il metodo di Crank-Nicholson >>clear all >>y0=2; >>T=1; >>dt=[1e0 1e-1 1e-2 1e-3]; >>g= 2./(1+t.^2) ; >>for i=1:length(dt), t=[0:dt(i):t]; N=length(t); ucn=zeros(1,n); ucn(1)=y0; for n=1:n-1 fun=strcat( x+x.^2*,... num2str(dt(i)/2*t(n+1),16), -,... 8

9 num2str(ucn(n),16), +,... num2str(dt(i)/2*t(n)*ucn(n)^2)); zero=fzero(fun,ucn(n)); ucn(n+1)=zero; y=eval(g); err(i)=max(abs(y-ucn)); 3. Disegnamo sul medesimo grafico, il max y u al variare di t. t [0,T ] 10 0 Eulero esplicito Eulero implicito Cranck Nicholson 10 1 reta di rif. penza 1 reta di rif. penza Fig. 3 Grafico in scala logaritmica Come si deduce dal grafico, il metodo di Eulero esplicito e il metodo di Eulero implicito hanno ordine di convergenza O(dt), ovvero ogni spostamento di una decade sull asse delle ascisse, corris- 9

10 ponde sulla curva ad uno spostamento di una decade. Il metodo di Crank-Nicholson ha ordine di convergenza O(dt 2 ), ovvero ogni spostamento di una decade sull asse delle ascisse, corrisponde sulla curva ad uno spostamento di due decadi. >>loglog(dt,err, go- ) 10