Capitolo 2. non lineari. 2.1 Metodo di Newton per sistemi di equazioni. Consideriamo il sistema di equazioni non lineari. f N (x 1,x 2,...

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1 Capitolo ODEs non lineari Metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari Consideriamo il sistema di equazioni non lineari f (x,x,,x N ) = f (x,x,,x N ) = f N (x,x,,x N ) = che può essere riscritto, in forma compatta, f(x) = Dato x (), il metodo di Newton per calcolare x (l+) è ove J (l) è la matrice Jacobiana, definita da J (l) δx (l) = f(x (l) ) x (l+) = x (l) + δx (l) () J (l) ij = f i(x (l) ) x (l) j Il criterio d arresto solitamente usato è δx (l) tol () 9

2 CAPITOLO ODES NON LINEARI function [x iter errest] = newton(fun,fun,x,tol,maxit,varargin) % % [x iter errest] = newton(fun,fun,x,tol,maxit,varargin) % iter = ; errest = -feval(fun,x,varargin{:})\feval(fun,x,varargin{:}); while (norm(errest) > tol) & (iter <= maxit) iter = iter+; x = x+errest; errest = -feval(fun,x,varargin{:})\feval(fun,x,varargin{:}); x = x; end if (iter > maxit) warning( Raggiunto il numero massimo di iterazioni ) end Tabella : Metodo di Newton Metodo di Newton modificato Il metodo di Newton () richiede il calcolo della matrice Jacobiana e la sua inversione ad ogni passo k Questo potrebbe essere troppo oneroso Una strategia per ridurre il costo computazionale è usare sempre la stessa matrice Jacobiana J (), oppure aggiornarla solo dopo un certo numero di iterazioni In tal modo, per esempio, è possibile usare la stessa fattorizzazione L (l) U (l) per più iterazioni successive θ-metodo Consideriamo il sistema di ODEs ẏ (t) = f (y (t),y (t),,y N (t),t) ẏ (t) = f (y (t),y (t),,y N (t),t) ẏ N (t) = f N (y (t),y (t),,y N (t),t)

3 3 METODI DI RUNGE KUTTA EMBEDDED con dato iniziale y (t ) = y y (t ) = y y N (t ) = y N che può essere riscritto, in forma compatta, {ẏ(t) = f(y(t),t) y(t ) = y (3) Notiamo come il sistema non autonomo (3) può essere ricondotto ad uno autonomo ẏ(t) = f(y(t),y N+ (t)) ẏ N+ (t) = (4) y(t ) = y y N+ (t ) = t ponendo y N+ (t) = t Il θ-metodo per il sistema (4) si scrive y n+ y n k = ( θ)f(y n ) + θf(y n+ ) (5) ove t n+ = t n +k e y n y(t n ) Chiaramente, il θ metodo si riduce al metodo di Eulero esplicito per θ =, al metodo di Eulero implicito per θ = e al metodo di Crank Nicolson per θ = / Nel caso implicito (θ ), ad ogni passo si deve risolvere un sistema di equazioni non lineari F(x) =, x = y k+, ove La matrice Jacobiana associata è F(x) = x kθf(x) y n h( θ)f(y n ) J ij (x) = I kθ f i(x) x j 3 Metodi di Runge Kutta embedded Supponiamo di avere un metodo di Runge Kutta esplicito di ordine p il cui tableau è riportato nella Tabella e un altro metodo di Runge Kutta di ordine p il cui tableau è riportato nella Tabella È chiaro che, dopo aver

4 CAPITOLO ODES NON LINEARI c a c 3 a 3 a 3 c s a s a s a s s b b b s b s Figura : Metodo di Runge Kutta di ordine p c a c 3 a 3 a 3 c s a s a s a s s c s+ a s+ a s+ a s+ s a s+ s ˆb ˆb ˆbs ˆbs ˆbs+ Figura : Metodo di Runge Kutta di ordine p c a c 3 a 3 a 3 c s+ a s+ a s+ a s+ s b b b s ˆb ˆb ˆbs ˆbs+ Figura 3: Metodi di Runge Kutta embedded di ordine p e p costruito il primo metodo, con una sola nuova valutazione della funzione f si può costruire il secondo metodo Una tale coppia di metodi si dice embedded e si scrive di solito un unico tableau, come nella Tabella 3 Indicata con y n+ (p ) l approssimazione di y(t n+) con il metodo Runge Kutta di ordine p e con y n+ l approssimazione di y(t n+ ) con il metodo Runge Kutta di ordine p, si ha y n+ y n+ (p ) = y n+ y(t n+ ) + y(t n+ ) y n+ (p ) Ck p, (6) ove k = t n+ t n è il passo di integrazione e Ck p è l errore di troncamento locale del metodo di ordine p Infatti, si sta risolvendo il sistema

5 3 METODI DI RUNGE KUTTA EMBEDDED 3 differenziale { ẏ(t) = f(y(t),t) y(t n ) = y n con entrambi i metodi Se si vuole controllare tale errore con una tolleranza tol, si può allora imporre, ad ogni passo, che y n+ y n+ tol, (p ) rifiutando y n+ nel caso la disuguaglianza non sia soddisfatta e calcolando un nuovo passo di integrazione minore del precedente Siccome p è l ordine del metodo più accurato, ci si aspetta che l errore globale sia controllato dalla stessa tolleranza 3 Passo di integrazione variabile Indicato con k old l attuale passo di integrazione e con k new il nuovo passo d integrazione, usando (6), si ha k new = tol y n+ y n+ (p ) /p k old Per evitare che il passo di integrazione cambi troppo bruscamente, si può adottare una correzione del tipo /p k new = min, max 6, 9 tol y n+ y n+ k old (p ) 3 Ordine dei metodi con passo variabile Supponiamo che l integrazione nell intervallo di tempo [t,t] sia condotta da un metodo di ordine p in n passi di lunghezza media k = (T t )/n, con un errore finale err = Ck p e in n passi di lunghezza media k = (T t )/n, con un errore finale err = Ck p Si ha dunque da cui err err = ( k k ) p, log err log err = p(log k log k ) = p(log n log n )

6 4 CAPITOLO ODES NON LINEARI Dunque, rappresentando in un grafico logaritmico-logaritmico l errore in dipendenza dal numero di passi, la pendenza della retta corrisponde all ordine del metodo, cambiato di segno 4 Esercizi Risolvere il sistema non lineare { f (x,x ) = x + x = f (x,x ) = sin(πx /) + x 3 con il metodo di Newton () Si usi una tolleranza pari a 6, un numero massimo di iterazioni pari a 5 e un vettore iniziale x () = [, ] T Si risolva lo stesso sistema non lineare usando sempre la matrice Jacobiana relativa al primo passo e aggiornando la matrice Jacobiana ogni r iterazioni, ove r è il più piccolo numero di iterazioni che permette di ottenere la soluzione con la tolleranza richiesta calcolando solo due volte la matrice Jacobiana 3 Si risolva lo stesso sistema non lineare usando la function fsolve di GNU Octave 4 Si calcoli y(), ove ẏ(t) = Ay(t), y() = [,,] T, con A data da A = *toeplitz([- zeros(,n-)]), n =, usando il θ-metodo con θ =, /, e diversi passi temporali k = 3, 4,, 8 Si confrontino i risultati con la soluzione di riferimento ottenuta usando θ = / e k =, mettendo in evidenza l ordine del metodo usato Si provi anche il valore θ = /3, discutendo i risultati ottenuti 5 Si risolva il sistema di ODEs A(t) = a(t)a(t) ȧ(t) = A(t) + Ω(t) a(t) Ω(t) = (a(t) + A(t))Ω(t) (7) con dato iniziale A() = 5 a() = Ω() = fino ad un tempo finale T = 5, producendo un grafico della quantità E(t) = (A(t) + a(t) + Ω(t) + )/A(t)

7 4 ESERCIZI 5 6 Si implementi il seguente metodo di Runge Kutta di ordine (chiamato metodo di Eulero Modificato) per un sistema non autonomo (3) con una function y = rk(fun,y,k,time), ove time è un vettore bidimensionale contenente il tempo iniziale e quello finale 7 Si implementi il seguente metodo di Runge Kutta di ordine 3 per un sistema non autonomo (3) con una function y = rk3(fun,y,k,time), ove time è un vettore bidimensionale contenente il tempo iniziale e quello finale 8 Si implementi il metodo RK3, Runge Kutta di ordine 3 con metodo embedded Runge Kutta di ordine, con passo variabile Si risolva il sistema differenziale (7), producendo il grafico della quantità E(t) fino ad un tempo finale T = 5 Si metta in evidenza l ordine del metodo con un grafico logaritmico-logaritmico 9 Si implementi il metodo RK45 il cui tableau è riportato nella Tabella 4 e lo si testi sul sistema differenziale (7)

8 6 CAPITOLO ODES NON LINEARI Figura 4: Metodi di Runge Kutta embedded di ordine 4 e 5 55