Dinamica e Controllo dei Processi Energetici. AA 2009/2010 Pier Luca Maffettone. Elementi di Matlab

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1 Dinamica e Controllo dei Processi Energetici AA 2009/ Pier Luca Maffettone Elementi di

2 Sommario Introduzione Variabili Manipolazione di elementi Creazione di vettori/matrici Operazioni elementari Funzioni vettorizzate Funzioni predefinite e comandi utili Gli M-file 2 /32

3 Che cosa è è un linguaggio ad alto livello per il calcolo scientifico Integra un ambiente per il calcolo, la visualizzazione la programmazione è l acronimo di MatrixLaboratory E un programma che lavora prevalentemente con matrici: qualunque oggetto introdotto è manipolato come se fosse una matrice Quindi l unità fondamentale è il vettore e/o la matrice E un software numerico, non simbolico è case sensitive! Contiene numerose funzioni built-in Sono disponibili toolbox con raccolte di funzioni aggiuntive 3 /32

4 Il layout 4 /32

5 Help 5 /32

6 Creare un nuovo file 6 /32

7 Linea di comando e script è basato su comandi in linea I comandi possono anche essere letti da un file di testo Gli script sono file con estensione.m lavora con alcuni tipi di dati La matrice n-dimensionale di numeri reali, complessi, caratteri o strutture più complesse I numeri interi e reali sono in doppia precisione Variabili Sono case sensitive massimo 19 caratteri devono iniziare con una lettera e possono contenere lettere, numeri e _ 7 /32

8 Espressioni si basa su espressioni del tipo variabile=espressione o semplicemente >> 100/3 ans= La risposta di un espressione senza assegnazione viene scritta in una variabile di default chiamata ans In non esistono dichiarazioni di tipo o di dimensioni alloca direttamente la memoria necessaria Per avere informazioni si usa il comando whos 8 /32

9 Programmazione I file di script vanno salvati in directory contenute nel path Un m-file può contenere anche una funzione 9 /32

10 Programmazione Il costrutto if-then-else 10 /32

11 Programmazione Il costrutto while 11 /32

12 Programmazione Il costrutto for 12 /32

13 Sottoprogrammi 13 /32

14 Funzioni Una funzione è un sottoprogramma che prende input e restituisce un output. In il testo che definisce una funzione ha una riga di intestazione del tipo: function[z]=nome_funzione(x,y) 14 /32

15 Funzioni Chiamata di funzione dal workspace 15 /32

16 Funzioni E possibile richiamare in una function un altra function: bisogna però assicurarsi che le function siano nella stessa cartella Le variabili interne alle function NON SONO passate nella sessione principale di Ciò può essere fatto dichiarando tali variabili come globali Si utilizza il comando global, seguito dal nome delle variabili globali E necessario dichiarare come globali le variabili SIA nella function SIA nella sessione principale di Esempio: vogliamo che la variabile y della function media sia di tipo globale Scriviamo global y nella Command Window Si noti che nel Workspace compare la variabile y Questa variabile ancora non èstata definita per cui non sono state assegnate le dimensioni Nel file della funzione nel rigo dopo la definizione della funzione si scrive global y 16 /32

17 Matrici Vettori Vettore riga Vettore colonna NB: il ; alla fine della riga evita la stampa a video del risultato Con l operatore (apice) si opera la trasposizione Matrice 17 /32

18 Matrici Oltre all introduzione manuale degli elementi in un vettore/matrice, esistono alcuni comandi automatici: Creazione di vettori riga equispaziati con passo unitario: Creazione di vettori riga equispaziati con passo arbitrario: 18 /32

19 Matrici Creazione di vettori riga con il comando linspace(a, b, n): Il comando linspace(a, b, n) crea un vettore di n componenti tra a e b, linearmente distruibuite Creazione di vettori riga con il comando logspace(a, b, n): Il comando logspace(a, b, n) crea un vettore di n componenti tra a e b, logaritmicamentedistruibuite 19 /32

20 Estrazione di elementi 20 /32

21 Matrici notevoli Matrice identità nxm 21 /32

22 Operazioni su matrici Le operazioni elementari possono essere estese a vettori e matrici: 22 /32

23 Operazioni su matrici E possibile effettuare operazioni elementari sui singoli elementi di vettori o matrici: 23 /32

24 Funzioni di vettori E possibile creare vettori o matrici usando particolari forme funzionali Si supponga di voler costruire un vettore in cui elementi sono le y della seguente funzione per x compreso tra [0, 1] Passi necessari: Creazione del vettore x: 24 /32

25 Funzioni di vettori Creazione del vettore y: Da notare il. prima delle operazioni ^ e / Le funzioni vettorizzate sono importanti per: Diagrammare funzioni Risolvere problemi numerici ecc. 25 /32

26 Operazioni su matrici 26 /32

27 Simboli e funzioni 27 /32

28 Equazioni differenziali in dispone di diverse functions per risolvere sistemi di equazioni differenziali: Metodi espliciti: ode23 (basato su schemi Runge- Kutta di ordine 2 e 3); ode45 (basato su schemi Runge-Kutta di ordine 4 e 5); ode113 (basato su schemi multistep di ordine variabile da 1 a 13) Metodi impliciti: ode15s (schemi multistep di ordine variabile da 1 a 5) Sintassi Tutte le functions per ODE di sono basate sulla stessa sintassi. I primi esempi saranno per la function ode45, che è la più usata, ma possono essere applicati a tutte le altre ODE functions. La chiamata più semplice è: [t,y] = ode45 (fun, tspan, y0) fun è una stringa di caratteri che contiene il nome della funzione f(t,y) che definisce il sistema differenziale. - tspan è un vettore che contiene l istante iniziale e l istante finale: tspan=[t0, tf]. - y0 contiene le condizioni iniziali: è uno scalare se c e un unica equazione differenziale; è un vettore con m componenti se dobbiamo integrare un sistema con m equazioni. 28 /32

29 Esempio Consideriamo l equazione differenziale y = -y -5*exp(-t) *sin(5t), con condizione iniziale y(0)=1. La soluzione esatta è y(t) = exp(-t) *cos(5t). La function funz.m contiene: f(t,y) = -y -5*exp(-t) *sin(5t) Per integrare l equazione differenziale da t0=0 a tf=5, con condizione iniziale y0=1, devo dare il comando: >> [t,y]=ode45('funz',[0,5],1); Non si deve inserire il numero di passi, perché le functions di sono adattative 29 /32

30 Tolleranze Le functions di per ODE sono adattative Il passo di integrazione viene calcolato dalla function stessa, in modo da assicurare che l errore locale sia dell ordine di una tolleranza prefissata. Anche per le functions per ODE, ci sono dei valori di default per la tolleranza. E però possibile anche impostare in input la tolleranza desiderata. La functions per ODE usano due tolleranze, RelTol e AbsTol. L errore stimato ad ogni passo per la componente i della soluzione y soddisfa la stima: e(i) <= max(reltol*abs(y(i)),abstol(i)) 30 /32

31 Tolleranze I valori di default sono: RelTol = 1e-3 AbsTol = 1e-6 Per cambiare i valori di default: Supponiamo di voler impostare RelTol = 1e-4 e AbsTol = 1e-7: >> options=odeset('abstol',1e-7,'reltol',1e-4); >> [t,y]=ode45('funz',[0,5],[1],options); Il primo comando introduce i nuovi valori nella struttura options. Il secondo comando chiama la function ode45 con i valori fissati in options 31 /32

32 Problemi stiff Un equazione (o un sistema di equazioni) si dice stiff, quando uno schema esplicito è costretto ad usare un passo di integrazione molto piccolo, altrimenti la soluzione diventa instabile. I problemi stiff si incontrano quando si vuole simulare un fenomeno caratterizzato da un transitorio molto veloce, dopo il quale il sistema si stabilizza su una soluzione che varia più lentamente nel tempo. Esempi tipici di problemi stiff si hanno nella simulazione dei circuiti elettrici e nei fenomeni con reazioni chimiche Le functions implicite, come la ode15s, permettono di trattare in modo efficiente anche problemi stiff. 32 /32