Sommario. Parte I: ODEs e functions del MATLAB. Parte II: PDEs e applicazione in un problema alle differenze finite

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1 Sommario Parte I: ODEs e functions del MATLAB Parte II: PDEs e applicazione in un problema alle differenze finite 1

2 Parte I: ODEs e functions del MATLAB Consideriamo un problema a valori iniziali per un equazione differenziale ordinaria: con condizione iniziale y(t) t =f(t,y(t)) y(t 0 )=y 0 La funzioney può essere scalare o vettoriale (e quindi possiamo avere una singola equazione ODE o un sistema di ODEs) 2

3 Tecniche numeriche di risoluzione Sappiamo che esistono numerosi metodi di risoluzione di ODEs: Metodo di Eulero in avanti (esplicito) Metodo di Eulero indietro (implicito) Metodi predictor-corrector Metodi di Runge-Kutta 3

4 In MATLAB In MATLAB esistono delle functions che permettono di risolvere ODEs: ode45 (basato su un metodo esplicito Runge-Kutta del quarto ordine e del quinto ordine con passo adattivo). ode23 (basato su formule Runge-Kutta del 2 o e 3 o ordine). ode113 (usa un algoritmo predictor-corretto a ordine variabile, della classe di formule Adams-Bashforth-Moulton). ode15s (...) ode23s (...)... 4

5 Implementazione pratica Vedremo come implementare la ode23 per risolvere una singola ODE o un sistema di equazioni. Se si ha pure la soluzione esatta del problema da risolvere, potremo confrontare la soluzione ottenuta con quella esatta e valutare l errore. Queste soluzioni sono utili per confrontare uno stesso problema risolto con tecniche differenti, per esempio, con un programma che implementa il metodo di Eulero o un metodo di tipo predictor-corrector, spiegato a lezione. 5

6 Esempio Supponiamo di voler risolvere l ODE: y t =0 y(0)=1 0 t 10 In questo caso la funzionef(t)=0. Definiamo la function inline in MATLAB: F = inline( 0, t, y ) 6

7 Con t, y specifico che la funzione F dipende da t e da y. In questo caso non si vede direttamente perchè F è identicamente nulla, ma questo ci serve nel seguito. Scriviamo il comando: [t,y] = ode23(f, [0 10], 1) In questo modo specifichiamo che vogliamo risolvere con la ode23 l ODE con la F specificata prima, nell intervallo[0,10] e con punto iniziale y(0) = 1. La ode23 crea i vettori t e y, per cui abbiamo la soluzione nel vettore y, calcolata per i tempi dati nel vettore t. 7

8 A questo punto, sapendo la soluzione esatta - in questo caso y(t)=1, possiamo confrontare la soluzione numerica con quella esatta e calcolare l errore. F=inline( 0, t, y ); yex=inline( 1 ); [t y]=ode23(f,[0 10], 1); yy=yex(t); figure(1) plot(t,y, b*, t, y, b, t, yy, r*, t, yy, r ) figure(2) err=abs(y -yy); semilogy(t,err) 8

9 Casi test Il programmino appena visto può essere utilizzato per risolvere altre ODEs - cambiando i vari paremetri. Lasciamo invariati l intervallo[0,10] e il valorey(0)=1e cambiamo la F e la yex: abbiamo diversi casi test da provare, non solo per vedere come funziona la ode23 ma soprattutto per i codici che scriveremo noi per i vari metodi di risoluzione. 9

10 F yex 0 1 t 1+tˆ 2/2 y exp(t) -y ex[(-t) 1/(1-3*t) 1 - log(1-3*t)/3 (singolarità) 2*y -yˆ 2 2/(1+ exp(-2*t)) 10

11 Per sistemi di ODEs Cosa fare quando abbiamo un sistema di ODEs (per esempio un sistema di 2 equazioni)? Consideriamo l esempio y 1=y 2 ; y 1 (0)=2 y 2=3y 2 2y 1 +2t; y 2 (0)=1 la cui soluzione è y 1 (t)=e t (1/2)e 2t +t+3/2 y 2 (t)=1 11

12 La function inline da definire deve essere vettoriale. F=inline( [0 1; -2 3]*y + [0; 2]*t, t, y ); yex1=inline( exp(t)-0.5*exp(2*t) +t +3/2 ); yex2=inline( exp(t) - exp(2*t)+ 1, t ); options=odeset( [t y]=ode23(f,[0 20], [2;1],options); yy1=yex1(t); yy2=yex2(t); figure(1) plot(t,y(:,1), b*,t,y(:,1), b,t,yy1, r*,t,yy1, r ) hold on plot(t,y(:,2), g*,t,y(:,2), g,t,yy2, c*,t,yy2, c ) figure(2) err1=abs( y(:,1) -yy1); err2=abs( y(:,2) -yy2); semilogy(t,err1, t, err2) 12

13 Osserviamo che abbiamo posto un opzione nella ode23 che ci permette di visualizzare passo dopo passo il procedere della risoluzione del problema Un altra osservazione importante riguarda il modo in cui si definiscono le funzioni inline: devono essere scritte in modo da poter essere valutate anche da vettori. Per esempio se abbiamo yex= 2/(1+ exp(-2*t) per poterla valutare correttamente in ciascuna componente del vettore t dovremo scrivere: yex= inline( 2./(1+exp(-2*t) ) 13

14 Parte II: PDEs e sua applicazione T=0 T=100 T=0 T=100 Sia data l equazione di Laplace 2 T T x 2+ 2 y 2 =0 su un dominio quadrato, con condizioni al bordot = 0 sui lati ovest e sud et =100 sui lati est e nord. 14

15 Suddividiamo il dominio mediante una griglia regolare e approssimiamo l equazione di Laplace con lo schema alle differenze finite a 5 punti. Considerando i valori noti sui nodi di bordo (che andranno a determinare il vettore termine noto), avremo da risolvere un sistema lineare che avrà come incognite i nodi interni al dominio. La matrice del sistema è simmetrica definita positiva, quindi possiamo utilizzare lo schema del gradiente coniugato precondizionato. Il problema può essere risolto partendo da una griglia grossolana, ottenuta con poche suddivisioni lungo l asse x e l asse y, e poi raffinando via via la griglia raddoppiando il numero delle suddivisioni. 15

16 Cosa fare in MATLAB? Il MATLAB ci fornisce diversi strumenti per risolvere questo problema: Il comando numgrid fornisce la griglia. T= T=0... T= T=0 G = numgrid( S, 5) rende la numerazione dei nodi 16

17 interni nella griglia quadrata ( S sta per square ) del dominio 1 x 1 1 y 1in cui sono date 4 suddivisioni lungo l assexe4lungo l assey (e quindi 5 punti per ogni suddivisione). La numerazione dei nodi è data dall alto verso il basso, colonna dopo colonna. Questa indicazione è utile per la costruzione del termine noto. numgrid( S,5) ans =

18 Una volta data la griglia, la function del MATLAB delsq costruisce la matrice (sparsa) dello schema alle differenze finite a 5 punti applicato al nostro problema. La matrice ha valore 4 sugli elementi della diagonale principale e -1 sugli elementi extradiagonali non nulli. G= numgrid( S, 5); A=delsq(G); A questo punto, calcoliamo il termine noto e risolviamo il sistema. Questa procedura possiamo ripeterla raffinando la griglia, quindi passando da un valore nx=5 a nx=10,..., nx=2*nx, per un certo numero di volte (per esempio 6 o 7). In questo modo possiamo vedere come il numero di iterazioni per arrivare a convergenza cresca linearmente connx (si faccia il grafico che riporti sull asse delle ascisse il numero di suddivisioninx e sull asse delle ordinate il numero di iterazioni perchè il gradiente coniugato modificato 18

19 arrivi a convergenza). Si può anche fare un grafico della soluzione: U=G; U(G>0)=full(sol(G(G>0))); clabel(contour(u)) %contour map mesh(u) %mesh plot Per fare un confronto, in MATLAB vi è un demo, chiamato delsqdemo che risolve il problema del Laplaciano (con condizioni al contorno diverse dal problema ora proposto) su un dominio a forma di L. 19