Laboratorio 3-30 settembre 2005

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1 Laboratorio 3-30 settembre 2005 Le funzioni in Octave Le funzioni in Octave vengono memorizzate come una stringa di caratteri (tra apici) >> fun= 1/(1+x^2) La semplice valutazione di fun, funzione di una variabile x, in un punto o su un insieme di punti memorizzati nel vettore x, si trova utilizzando il comando y=eval(fun) dopo aver inizializzato x In y vengono racolte le corrispondenti ordinate Il calcolo della radice (solo una) di una funzione fun vicina ad un certo valore x 0 può essere fatto in Octave col comando fsolve >> sol=fsolve( x-exp(-x),0) fsolve implementa un metodo iterativo per risolvere f(x) = 0 Gli argomenti del comado fsolve sono la funzione f e un valore iniziale x 0 per fare partire il metodo iterativo Se l equazione ha più soluzioni quale viene calcolata da fsolve dipende dal valore inziale indicato Per scegliere x 0 può essere conveniente fare uno studio grafico del problema Esercizio La funzione f(x) = 1 x 2 e x ha due radici x 1 < 0 e x 2 = 0 Scrivere uno script di Octave che disegni i grafici sovraposti delle funzioni f 1 (x) = e x e f 2 (x) = 1 x 2 in modo di visualizzare i punti x 1 e x 2, e calcoli x 1 (usando i comandi di Octave) Soluzione x=linspace(-1,1); y=exp(x); z=1-x^2; plot(x,y,x,z); sol=fsolve( 1-x^2-exp(x),-1) Osservazioni - Per fare un grafico bello di una funzione devo conoscere la funzione in tanti punti in modo che i tratti di retta che nel comando plot uniscono due punti consecutivi non si vedano Il comando linspace usato solo 1

2 con due argomenti (inizio e fine) mi restituisce 100 punti che di solito bastano per fare un disegno smooth - Per calcolare i valori della funzione f 2 (x) = 1 x 2 devo usare l operazione ˆ di elevamento a potenza componente a componente L operazione di Octave xˆ2 tenta di fare il prodotto matriciale x*x e da errore perche x è un vettore di 100 componenti, cioé, una matrice che non è quadrata Non posso fare il prodotto matricale per se stessa - Per trovare x 1 usando il comando fsolve devo scegliere in modo corretto il valore iniziale Ad esempio se parto da un valore positivo fsolve calcola la soluzione zero Dal grafico si vede che x 1 si trova tra -1 e 0 pertanto un buon valore inziale può essere x 0 = 1 Verifica esperimentale dell ordine di convergenza di un metodo iterativo Se la successione {x (k) } converge ad α, x (k) α, diremo che converge con ordine p se esiste una costante C diversa da zero tale che x (k+1) α lim k (x (k) α) = C p Se conosco una successione {x (k) } convergente e voglio calcolare p posso procedere in questo modo: per k sufficientemente grande x (k+1) α C(x (k) α) p x (k+2) α C(x (k+1) α) p x(k+2) α x (k+1) x(k+1) α α x (k) p α log x(k+2) α x (k+1) p log x(k+1) α α x (k) α p a b con a = log x(k+2) α x (k+1) α e b = log x(k+1) α x (k) α La funzione ordine usa questo raggionamento per calcolare approssimazioni dell ordine di convergenza data una successione (con un numero finito n di termini) x e un valore limite sol ordine Calcola p con questa formula per k = 1,, n 3 Può dare soluzioni poco affidabili se x (k) α è molto piccolo perché la differenza tra due valori molto vicini introduce errori di cancellazione 2

3 Esercizio Risolvere usando la funzione Newton x 2 + 3x 1 = 0 (dato iniziale x 0 = 3) (1 x) 3 = 1 3x + 3x 2 x 3 = 0 (dato iniziale x 0 = 2) 1 x 2 e x = 0 (dato iniziale x 0 = 2) Stimare l ordine di convergenza del metodo di Newton in questi tre esempi usando la funzione ordine Spiegare i risultati Ripetere l esercizio usando il metodo delle secanti (usare come dati iniziali x 0 = 1, x 1 = 1 per la prima equazione, x 0 = 0, x 1 = 3 per la seconda equazione e x 0 = 2, x 1 = 1 per la terza equazione) >> [x,z]=newton( x^2+3*x-1, 2*x+3,-3,1e-8,100) x = L ordine di convergenza sembra essere 2 (la radice è semplice) Per la seconda equazione l output è troppo lungo da inserire qui Riporto solo una parte di z e di p >> [x,z]=newton( 1-3*x+3*x^2-x^3, -3+6*x-3*x^2,2,1e-8,100) x =

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5 L ordine di convergenza sembra essere 1 come ci aspetavamo perche questa volta la radice α = 1 ha moltiplicità tre >> [x,z]=newton( 1-x^2-exp(x), -2*x-exp(x),-2,1e-8,100) x = >>p=ordine(z,x) Di nuovo l ordine sembra essere 2 perche si trata di una radice semplice Usando il metodo delle secanti >> [x,z]=secanti( x^2+3*x-1,-1,1,1e-8,100) x =

6 L ordine del metodo delle secanti è (1 + 5)/2 = Qui vediamo come l ordine stimato numericamente approssima quello esatto >> [x,z]=secanti( 1-3*x+3*x^2-x^3,0,3,1e-8,100) x =

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8 Anche per il metodo delle secanti l ordine diventa 1 perche la radice è multiple >> [x,z]=secanti( 1-x^2-exp(x),-2,-1,1e-8,100) x = La radice è semplice esatto (1 + 5)/2 L ordine stimato numericamente approssima quello 8