con λ -d(f(x,y))/d(y)=12.

Transcript

1 Quarta relazione Si risolverà il problema prima con il metodo di Eulero esplicito e poi con il metodo di Crank-Nicolson. Per ogni algoritmo si ha xn=x0+h*n 1)Risoluzione con Eulero esplicito Si osserva che tale metodo non è incondizionatamente stabile, quindi bisogna operare una scelta opportuna del passo h. Si verifica che il passo soddisfi la seguente relazione con λ -d(f(x,y))/d(y)=12. Infatti???? per h=0.1 si ha h*λ=1.2<2,quindi è probabile che il passo scelto consenta all algoritmo di lavorare in una zona numericamente stabile. Va ricordato però che la relazione è stimata quindi non si ha la certezza assoluta della stabilità numerica del metodo con passo h=0.1. Grafico i risultati ottenuti confrontandoli con i risultati di del comando ode45 di matlab Nel grafico sono evidenziati con dei pallini rossi i dieci valori trovati dal metodo di Eulero esplicito.

2 Di che ordine è il metodo?? Qual è l errore previsto dalla teoria???? La scala adottata per x(t) non consente di stimare l errore tra la funzione calcolata dal comando matlab ode45 e dal metodo di eulero. Si esegue lo zoom nel punto in cui le due funzioni si discostano maggiormente Si osserva che l errore quale???? si mantiene limitato perché ci troviamo relativamente vicini al punto iniziale dell algoritmo inoltre l errore globale,nell intervallo [0 1], si mantiene proporzionale al passo h=0.1, in accordo con quanto fornito dalla teoria. E lo vedi a occhio??? Per verificare che il passo scelto sia sufficiente a rendere numericamente stabile l algoritmo si è calcolato il valore della funzione con passo (h/2) e si è graficato l andamento della stima dell errore. Ma nel grafico è detto che sono le curve soluzione Essendo l errore del metodo di Eulero esplicito proporzionale ad h. la frase resta sospesa!! Si è ottenuto il seguente grafico

3 Si nota come l errore aumenta linearmente, come era prevedibile dallo scostamento progressivo dei valori ottenuti con il metodo di eulero esplicito e dei corrispondenti valori calcolati con il comando ode45. Ma questo comportamento no è segno di instabilità numerica. Si tratta del comportamento di un metodo di ordine 1!!! Scelgo di risolvere l equazione con il metodo di Crank-Nicholson che garantisce stabilità numerica per ogni valore del passo h. 2)Risoluzione con Crank-Nicolson Grafico la funzione trovata con Crank-Nicolson

4 Dal grafico si nota subito che la funzione ottenuta con il metodo di Crank-Nicholson si discosta di meno da quella ottenuta con il comando ODE45, rispetto OVVIO dato che ode 45 usa un metodo di ordine 4 o 5!!!!! Viene ora graficato in italiano si dice : segue il grafio dell errore... il l andamento dell errore ottenuto con una prima estrapolazione di Richardson della funzione calcolata con passo h e h/2. Essendo l errore dell algortimo di Crank-Nicolson proporzionale ad h^2 si ottiene la seguente stima dell errore

5 Come era prevedibile dalla teoria il metodo di Crank-Nicolson è stabile e quindi consente di mantenere l errore limitato indipendentemente dal passo h scelto o dal numero di punti in cui viene calcolato il valore di x(t). Come prova si graficano l andamento della funzione e l andamento dell errore per h=0.4 (molto grande!!!) e si aumenta l intervallo di osservazione di x(t) per consentire di verificare il comportamento dell algoritmo su 10 punti (potevi anche dimezzarl!!!)

6 Dal grafico si può notare come l errore si mantenga stabile indipendentemente dal passo h scelto. Veramente questo grafico mostra l andamento dell errore per h=4!!!!! Si potrebbe utilizzare l errore per calcolare una migliore approssimazione della funzione usando l estrapolazione di Richardson Esercizio 2 Trasformo l equazione differenziale del secondo ordine in un sistema di equazioni differenziali operando la sostituzione z1=y(x)

7 Risolvo con il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine con passo h=0.1 e grafico i risultati ottenuti confrontandoli con i risultati trovati con il comando matlab ODE45 Grafico l andamento dell errore con il metodo di Runge-Kutta. Essendo l errore globale del metodo di Runge-Kutta proporzionale a h^4 si ha la seguente formula per la stima dell errore

8 Dal grafico si nota come l errore si stabilizzi. Questo significa che il passo h scelto consente all algoritmo di Runge-Kutta di lavorare nella regione di stabilità. Inoltre l errore risulta proporzionale a 10^(-6), dalla teoria si conosce che l errore globale nel metodo di Runge-Kutta è proporzionale a h^(4) che nel nostro caso vale 10^(-4) quindi l andamento dell errore è migliore di due ordini di grandezza rispetto all andamento previsto. Si studia il problema con il metodo di Heun con passo h=0.1 e si ottiene

9 Grafico l andamento dell errore per stabilire se il passo scelto è sufficiente a far lavorare l algoritmo nella regione di stabilità

10 Nell intervallo [0 4] l errore si mantiene proporzionale a h^2 ma il passo h scelto non consente all algortimo di essere numericamente stabile. Infatti l errore tende a crescere al crescere di x. Questo non è detto. Heun è di ordine 2, l errore potreebbe crescere ma restare inferiore ad 0.01 A riprova dell andamento dell errore si esegue lo zoom del grafico della funzione vicino a x=3.5 Si nota anche dal grafico come l errore nell intervallo [0 1] si mantenga proporzionale ad h^4. Terzo esercizio: Risolviamo il sistema con il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine con passo h=0.1. Otteniamo il seguente grafico

11 Grafichiamo l andamento della funzione trovata con il comando ode45 e otteniamo

12 Sembra che i due grafici si riferiscano a funzioni diverse mentre in realtà dovrebbero,a meno di un errore proporzionale a h^4, coincidere. L equazione proposta da esercizio è di tipo Stiff e quindi il passo scelto potrebbe essere troppo grande e portare fuori dalla regione di stabilità l algoritmo. Scegliamo h in modo che sia verificata la disequazione 0<50*h<2.78. In fatti per h=0.1 la disuguaglianza non è soddisfatta mentre per h=0.01 lo è. Scegliamo h=0.01 e otteniamo: Il risultato è in linea con quanto fornito dall algoritmo ode 45. Poiché la funzione non è lineare scegliamo di risolverla con un metodo predittorecorrettore dove il predittore è il metodo di eulero esplicito e il correttore è il metodo di Crank-Nicolson. Questo è un poredittore correttore di bassa accuratezza. Lo abbiamo stiìudiato per ragioni didattiche. Quello che si usa è un Adams-Bashforth (il preditore) con il metodo di Adams-Moulton (il corretore). Impostiamo un passo h di 0.01 e otteniamo:

13 didascalie carenti Che corrisponde all andamento della funzione ode45 di matlab. Grafico l andamento dell errore

14 Dal grafico si vede che l errore si stabilizza ad un livello molto basso. Tale valore non è circa 10^-7 come si può vedere dal seguente grafico

15