Svolgimento a cura di Nicola de Rosa. Punto 1 Consideriamo la figura sottostante rappresentante la geometyria del problema. M N t

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Arianna Santini
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3 Svolgimnto cur di Nicol d Ros PROBLMA Punto Considrimo l figur sottostnt rpprsntnt l gomtri dl prolm. M N t K P A H O B Q L suprfici ltrl dl solido ottnuto dll rotzion dl trpzio isoscl PQNM ttorno ll rtt PQ è dto dll somm dl doppio dll suprfici ltrl dl cono di potm MP rggio di s MH dl cilindro di ltzz MN rggio di s MH, ( MP MN) S S L Cono S L, Ci lim dro MH MP MH MN MH Poiché,. MH l suprfici d trovr srà S ( MP MN). L trcci non ci dic qul ngolo dv vr mpizz, pr cui nostr sclt ponimo M PH ˆ con ; pplicndo il torm di tringoli rttngoli l tringolo MPH si h MH MP MP ; pplicndo lo stsso torm l tringolo KPO si h KO PO PO. Pr diffrnz OH cos MN OH. L suprfici totl srà quindi: cos PO PH, pr cui tn

4 S cos cos. ( ) ( MP MN) Punto S Studimo l funzion ( ) ( ) cos f in [,] Dominio: k k Z, l sin ; in prticolr nll intrvllo [,] condizion k k Z divnt pr cui il dominio è (, ) (, ) ; Intrszion ss sciss: non v n sono in qunto l quzion in R; cos non h soluzioni Intrszion ss ordint: non v n sono in qunto non pprtin l dominio; Simmtri: l funzion è priodic di priodo f ( ) cos sin ( ) ( ) cos f ( ) ; T dispri in qunto Positività: f ( ) (,) in qunto ( cos ) R [,] ; Asintoti vrticli: cos cos cos lim, lim, lim, cui l rtt,, sono sintoti vrticli; cos lim pr Asintoti orizzontli: non v n sono in qunto l funzion è priodic limitt; Asintoti oliqui: non v n sono in qunto l funzion è priodic limitt; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è ( ) ( cos ) cos cos ; studimo il sgno dll drivt prim: f ' N D : sin f ' : cos cos < rccos < < rccos ( ) rccos < < < < rccos Il qudro di sgni è di sguito prsntto: cos sin α α

5 Dl qudro soprstnt dducimo ch l funzion prsnt un minimo rltivo in m rccos, 5 un mssimo rltivo in M rccos, 5 ; Concvità convssità: l drivt scond è ''( ) f '' ( ) (,) cos cos pr cui f in qunto cos cos [,]. Quindi l funzion prsnt concvità vrso l lto in (,) R in (, ) non prsnt flssi. Il grfico nll intrvllo [,] è di sguito prsntto: vrso il sso L gomtri dl prolm imporr sguito:, ; in qusto intrvllo è prsntto il grfico di

6 Punto Sfruttndo l rlzioni trigonomtrich, scrivimo l funzion Clcolimo l primitiv dl sgunt intgrl indfinito: ffttuimo l sostituzion F com d. ( ) tn. tn tn rctn t d dt ; in qusto modo l intgrl t t dt sin t t t t divnt F ( ) d dt t c tn c l primitiv ( ) Punto G tn. ; posto c ricvimo L r richist è pri cos d cos d tn sin sin sin tn sin tn sin 6 9 9

7 PROBLMA Punto Studimo l funzion ( ) ( ) f Dominio: ( ) < risolvndo i quli si h: R R R ; Intrszion ss sciss: ( ) ; posto, lvndo l qudrto mo i mmri ottnimo l quzion ccttil in qunto soddisf l condizion ; Intrszion ss ordint: ( ) f ; Simmtri: l funzion non è né pri né dispri; Positività: ( ) ( ) f l cui soluzioni sono dt dll union dll soluzioni di sgunti sistmi ( ) < < R ; Asintoti vrticli: non v n sono in qunto il dominio è R; Asintoti orizzontli: non v n sono in qunto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; lim lim F.I lim, lim Asintoti oliqui: non v n sono in qunto ( ) lim lim lim lim Hospitl ;

8 Crscnz dcrscnz: l drivt prim è f '( ) positiv in tutto R; quindi l funzion è smpr crscnt; Concvità convssità: l drivt scond è f ''( ) ( ) ch risult ssr smpr pr cui ( ) f '' < in qunto ( ) R. Quindi l funzion prsnt concvità vrso l lto in (,) vrso il sso in (, ) prsnt un flsso tngnt oliqu in F (,) con tngnt in flssionl di quzion m con m f '( ) tngnt quindi h quzion Il grfico è di sguito prsntto:. ; l Punto L tngnt in flssionl h quzion com dimostrto l punto. L prpndicolr suddtt tngnt h quzion gnric q ; dtrminimo q in modo ch l r dl tringolo formto dll tngnt, dll prpndicolr d ss dll ss positivo dll sciss si pri. Notimo ch poiché il tringolo dv ssr formto con l dirzion positiv dll sciss dv vrsi q. Considrimo l figur di sguito rpprsntnt l gomtri dl prolm. q L tngnt in flssionl l prpndicolr d ss si incontrno nl punto, q.

9 L s dl tringolo AOB è OA q mntr l ltzz è pri ll ordint di B cioè q cui corrispond un r pri S ( AOB) ; imponndo ( AOB) q S q ricvimo q ± ; poiché dv ssr q l soluzion ccttil è q cui corrispond un prpndicolr ll tngnt di quzion. Punto [ ]d. L r richist è pri S ( ) è f '( ) Ricordndo ch l drivt prim dll funzion f ( ) ( ) pplicndo l intgrzion pr prti l scondo intgrndo si h: [ ( )] d [ ( )] S Punto [ ( )] [ ] 5 ( ) ( ) L funzion f ( ) ( ) f ' ( ) d è strttmnt crscnt in tutto R vndo drivt prim smpr positiv in tutto il dominio R, quindi è invrtiil. Clcolimo l invrs: ( )

10 Posto è possiil lvr l qudrto mo i mmri, ottnndo: ( ) ( ) ( ) g sinh cioè l funzion invrs non è ltro ch il sno iprolico.

11 QUSTIONARIO Qusito Si considri l figur sgunt rpprsntnt l gomtri dl prolm. Bisogn clcolr l distnz AB ; posto AOB si h AB AO AB AO cos( OÂB) OB AB d pplicndo il torm di Crnot l tringolo ; sostitundo i vlori l quzion divnt 6 cos 6 ( 5 ) 65 ( 6 65 ) ( 6 ) 75 ( 6 ) ± 6( 8 ) ( 6 ) ± 5( 56 ) ( 6 ) ± ± 56 6,9 m,7 m 75 Poiché i du ossrvtori si trovno i lti opposti dl grttcilo, l soluzion ccttil è AB 6,9 m. Qusito Posto lim tn, s llor t, pr cui il limit srà: t t cot n ( tn ) lim Qusito t t ' un prolm clssico dl clcolo comintorio. Ni tnti modi in cui l prson possono sdrsi cont l'ordin quindi stimo prlndo di disposizioni. Poiché dvo fr gruppi ordinti di prson disponndo proprio prson stimo prlndo di prmutzioni. L soluzion è dt d D,!

12 Considrimo or il cso in cui dno sdrsi in crchio. Pr ciscuno di modi sdrsi sistono ltri nov modi dl tutto quivlnti ottnuti ruotndo tutti i posti llo stsso modo. In sostnz i possiili modi possono ssr rggruppti quindi i possiili modi di sdrsi in crchio sono D, Qusito! 9! L cuic di quzion c d h com drivt prim l prol ' c. L quzion ' prsnt l sgunti soluzioni: soluzioni rli distint soluzioni rli coincidnti, ± c s c ; s c ;, soluzioni complss coniugt, ± i c s c<. Nl cso in cui l soluzioni fossro rli distint, l funzion sr: s o crscnt in c c,, o dcrscnt in c, c s < o dcrscnt in c c,, o crscnt in c, c Nl cso l cuic prsntr quindi un mssimo rltivo ll sciss c un minimo rltivo ll sciss c, mntr s < un minimo rltivo ll sciss c un mssimo rltivo ll sciss

13 c. In qusti csi l funzion prsntr, oltr i du strmnti suddtti, nch un flsso tngnt oliqu ll sciss F. S l du soluzioni fossro rli coincidnti o complss coniugt, l funzion sr strttmnt crscnt in tutto il dominio R, pr cui non vi srro strmnti in qusti csi; in prticolr in prsnz di soluzioni rli l funzion prsntr solo un flsso tngnt orizzontl ll sciss F mntr in prsnz di soluzioni complss coniugt l funzion prsntr solo un flsso tngnt oliqu ll sciss Qusito 5 Si considri l figur sottostnt: F. Il volum richisto è dto dll diffrnz tr i volumi di tronchi di cono AA C C AA B B: ( R r Rr) h ( R' r' R' ') V h r 8 96 ( 6 ) ( 6 8)

14 Qusito 6 Considrimo l figur sottostnt. L quzion gnric di un circonfrnz è c o quivlntmnt ( h) ( k) R dov ( k) h, è il cntro d R il rggio. Trovimo l quzion dll circonfrnz circoscritt l tringolo di vrtici O(,), A(,), B(,) imponndo il pssggio pr i tr punti, utilizzndo l quzion gnric c : c c c c cui corrispond un circonfrnz circoscritt di quzion. Pr qunto rigurd l circonfrnz circoscritt, il rggio è pri l rpporto tr r S smiprimtro, R mntr il cntro si trovrà crtmnt sull rtt CB p ssndo qust ultim isttric dl tringolo isoscl rttngolo OAB, pr cui D (,). L quzion srà quindi: Qusito 7 ( ( ) ( ) ( ) ( ) L cuic di quzion 7 ( ) 8 ' '' 6 ( ) R{ } ( ) h l sgunti drivt prim scond: pr cui prsnt un flsso tngnt orizzontl in (, 8) F. Pr dimostrr ch ss si simmtric risptto d F (, 8) trsformzion Si h: X Y F F X ritrovimo l curv originri. Y 6 {[( X) ] 8} 6( X ) 8 ( ) 8, st provr ch pplicndo l Y 6 X ch coincid con l cuic di prtnz.

15 Qusito 8 L funzion f( ) h dominio D R{ } d vndo drivt prim f '( ) smpr ngtiv è strttmnt dcrscnt in tutto il dominio. Inoltr poiché f, f <, llor pr il torm dgli zri sist lmno un punto α, in cui l funzion si nnull; l strtt dcrscnz comport ch qusto punto è unico. possiil clcolr lo zro ttrvrso vri mtodi. Utilizzrmo il mtodo dll tngnti o di Nwton-Rphson in ( n) ( ),. Il vlor pprossimto lo si ricv ricorsivmnt mdint l formul n n ( ) f con punto inizil f ' n n n n n n n n n f ( ) d ''( ) n n n n n f sono concordi. L tll sgunt mostr tutti i pssi dll lgoritmo: n n n n n( n n ) n n n n n in qunto,5,56,56,567,6,567,567,5,567 Il vlor pprossimto con du cifr dcimli stt con l trz stilizzt sul 7 è quindi α,567. Qusito 9 Il numro dll possiili cominzioni 5 5 di rpprsntnti, è pri! !8! 5 L possiili cominzioni di uomini du donn è pri!! 6 7!!!! pr cui l proilità richist, scondo l intrprtzion 6 frquntist, è pri l numro di csi fvorvoli sul numro di csi possiili p 7,97%. 87

16 Qusito L proilità richist l si può clcolr com complmntr dll proilità ch il punto sclto cso pprtng l romo, ( ) ( ) P P dov { } romo P { } romo P. L proilità ( ) P l si può clcolr com rpporto tr l r dl romo qull dll lliss, pr cui ( ) ( ) lliss Romo A A P P. Il romo h l digonli pri rispttivmnt d d, pr cui l r srà d d A Romo ; pr il clcolo dll r dll lliss, pr simmtri, ss è pri l qudruplo dll r S dl loo dll lliss nl primo qudrnt, S A lliss. A tl rigurdo, l lliss nl primo qudrnt è dfinit dll quzion in form splicit ; l r dl loo nl primo qudrnt è pri d S ; pplicndo l intgrzion pr prti si h: ( ) ( ) rcsin rcsin rcsin d S d d d d d d d d S L r dll lliss è quindi S A lliss, pr cui l proilità richist è ( ) ( ) % 6, P P.

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