INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Richiami su sistemi lineari discreti

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1 INGEGNERIA E ECNOLOGIE DEI SISEMI DI CONROLLO su sistmi liari discrti Prof. Carlo Rossi DEIS - Uivrsità di Bologa l: mail: crossi@dis.uibo.it

2 Sistmi mpo-discrti I qusti sistmi i sgali hao com bas l isim di umri itri: soo squ di umri adimsioali Possoo o mo rapprstar sgali ral-tim. I qusto caso l associaio co il tmpo è ottuta facdo corrispodr ad ogi itro u itrvallo tmporal uttavia, la squa potrbb o avr alcua rlaio co il tmpo (squa di dati su u dispositivo di mmoria) U sistma discrto è u algoritmo matmatico ch trasforma la squa di igrsso i qulla di uscita Cosidrrmo sistmi liari shift-ivariati (tmpo ivariati) ( ) y( ) LSI 2

3 3 Covoluio tmpo discrta L impulso tmpo discrto è dfiito com la sua La risposta dl sistma all impulso vi idicata co h(). S il sistma è liar ivariat, si driva ua rlaio gral tra igrsso uscita δ h h h y δ δ Covoluio discrta

4 Covoluio tmpo discrta Il gradio uitario tmpo discrto è dfiito com la sua u ( ) < La risposta dl sistma al gradio si ricava tramit covoluio a ( ) u( ) h( ) h( ) ch stabilisc la rlaio tra risposta all impulso d la gradio. I maira ivrsa si ha h ( ) a( ) a( ) 4

5 Rlaioi frquiali Si scgli ua fuio armoica tmpo discrta, ottuta pr campioamto di u sgal armoico co priodo t t Il rciproco di è dtta frqua di campioamto la pulsaio corrispodt pulsaio di campioamto f 2π f 2π s s s Nl caso di u sgal tmpo ral, la frqua d il priodo hao il sigificato usual di umro di cicli ll uità di tmpo o priodo di campioamto Nl caso di squ grich, o è possibil dfiir com soo stati grati i campioi ua siusoid a 2 H campioata a H forisc la stssa squa di ua siusoid a H campioata a 5 H si itroduc la frqua ormaliata ch dfiisc qual è l agolo tra du campioi succssivi dll oscillaio armoica 5

6 Rlaioi frquiali L uscita dl sistma pr u igrsso armoico è data da ( ) h( ) h( ) y Il trmi ch moltiplica l igrsso ( ) + H h( ) è la trasformata di Fourir dlla risposta all impulso. Esso modifica sia l ampia ch la fas dl sgal di igrsso rapprsta il guadago lo sfasamto dl sistma alla frqua data La trasformata dlla risposta all impulso fuio dlla frqua idtifica duqu il comportamto frquial dl sistma 6

7 rasformata di Fourir di ua squa La trasformata di Fourir di ua squa è dfiita com ( ) + X ( ) rapprsta lo spttro dlla squa umrica Dalla coosca dllo spttro, è possibil risalir alla squa di parta tramit la trasformaio ivrsa + π ( ) X 2π π d Codiio cssaria sufficit affichè la squa sia ral è X X 7

8 Rlaioi frquiali La risposta frquial, ssdo fuio di u spoial immagiario, è u fuio priodica co priodo 2π s Ciò si può ach ituir dal fatto ch l squ, drivati dal campioamto di siusoidi divrs ( + ) ( 2π s + ) soo idtich pr ogi valor di. La risposta dl sistma discrto a tali squ dv quidi ssr la stssa, pr tutt l frqu + s 8

9 Rlaioi frquiali Nl caso di squa di igrsso grica si ha Y ( ) y( ) ( ) h( ) ( h ) m ( ) ( ) h m X H m La trasformata dll uscita è il prodotto dlla trasformata dll igrsso dlla risposta frquial 9

10 La trasformata Z Pr sgali quali il gradio uitario o ua siusoid ifiita, la trasformata di Fourir o covrg Aalogamat a quato visto pr la trasformata di Laplac pr i sgali tmpo cotiui, pr squ ull pr idici gativi si dfiisc ua uova trasformata aggiugdo u fattor di smoramto pr garatir la covrga σ rasformata Z uilatral X, σ ( ) X ( ) ( ) ( σ + ) ( σ + )

11 rasformat lmtari rasformata dll impulso rasformata dl gradio rasformata dll spoial X δ X u a a X u a X u α α α

12 Proprità dlla Z-trasformata Il torma di covoluio: la trasformata dlla covoluio di du squ è data dal + prodotto dll trasformat c C ( ) a( ) b( ) ( ) A( ) B( ) y ( ) ( ) h( ) ( ) h( ) y( ) X ( ) H ( ) Y ( ) ( ) X ( ) H ( ) Y 2

13 Proprità dlla Z-trasformata Il torma dllo shift: la trasformata di ua squa ritardata di d campioi è data da I particolar, il trmi X d d ( ) ( d ) d ( ) X ( ) idtifica u ritardo uitario, d è chiamato oprator di ritardo. Esso costituisc l lmto di bas pr la costruio di algoritmi digitali di filtraggio cotrollo 3

14 orma di covoluio - smpio Si cosidri u sistma co risposta impulsiva a h u a cui vi applicato u gradio uitario. Si otti Prodotto dll trasformat Espasio i fratti smplici Atitrasformaio Risultato Y Y y y ( ) ( ) a a ( a ) a a 2 a a ( ) u( ) u( ) ( ) u( ) a ( ) ( + ) a a a a 4

15 Esmpio stp rsp impuls rsp iput stp a

16 2 Esmpio Ampia risposta frquial 5 priodica Mag (db) 5-5 passa basso frqua ormaliata 6

17 Stabilità Si carattria la stabilità igrsso/uscita (BIBO) dato u igrsso limitato si vuol ottr ua uscita limitata ( ) X ma y( ) + ( ) h( ) < B Vrificato s solo s + h( ) M < Il sistma è BIBOO stabil s solo s la risposta impulsiv è assolutamt sommabil. La sommatoria rapprsta la orma L dlla squa 7

18 Guadago dl sistma Podo lla trasformata di Fourir dlla risposta impulsiva si otti ua sprssio pr il guadago i cotiua + h( ) H U altra sprssio util si otti calcolado l ampia dlla trasformata d itgrado sul priodo 2π/ h 2 π ( ) H 2 π d Essa forisc il guadago quadratico mdio dl sistma. La sommatoria al primo mmbro è dfiita com l rgia associata alla squa. La rlaio prcdt forisc u mtodo pr calcolarla a partir dallo spttro dlla squa 8

19 9 Equaioi all diffr Si dfiisc quaio all diffr l sprssio La Z-trasformata dll sprssio prcdt da + M N b y a y N N N N M N b y a b y a b y a y

20 2 Equaioi all diffr Si otti quidi L quaio all diffr rapprsta quidi u sistma LSI co fuio di trasfrimto data da H() Si oti la prsa dl trmi autorgrssivo prmtt di rapprstar co ua sprssio fiita sistmi LSI co risposta all impulso ifiita (ifiiti trmii divrsi da ro) + + N M N N a b X Y H X b Y a Y

21 Poli ri dlla Fd Aalogamt al caso cotiuo, si dfiiscoo i poli gli ri dlla Fd com gli ri rispttivamt dl domiator dl umrator dlla Fd i qusto caso sparisc il vicolo N > M pr la fisica raliabilità N M H b 2 K M ( )( 2 ) K ( N ) Valgoo tutt l cosidraioi fatt pr la Fd di u sistma LI l domiio s ri poli soo rali o a coppi complss coiugat scomposiio i cascata com prodotto di trmii lmtari dl primo o scodo ordi scomposiio i paralllo com somma di trmii lmtari dl primo o scodo ordi 2

22 Stabilità l domiio frquial Dalla scomposiio i paralllo si otti N N H ( ) A A la risposta all impulso dl sistma si otti atitrasformado N h A u( ) La risposta all impulso è duqu data dalla somma di N rispost impulsiv di sistmi dl primo ordi Il sistma è stabil s solo s la orma L dlla risposta all impulso è limitata, qusto è vrificato s solo s ogi sigola risposta impulsiva ha orma limitata h M < A S < 22

23 Stabilità l domiio frquial Si otti quidi la codiio di stabilità A A S < < Il sistma è stabil BIBO s solo s tutti i poli soo cotuti sl crchio uitario Il sistma è itramt stabil ma o asitoticamt stabil s solo s sistoo poli smplici sul crchio uitario Il sistma è istabil s solo s sistoo poli al di fuori dl crchio uitario /o poli multipli sul crchio uitario Itgrator dicrto y( ) y( ) + ( ) H ( ) 23

24 Efftti di poli ri - polo ll origi Data la Fd corrispodt al ritardo uitario H ( ) si otti H b( ) τ ( ) g Nl caso di ritardo suprior si otti d H d H b d τ d g 24

25 25 Efftti di poli ri - polo grico Data la Fd corrispodt ad u sistma co sigolo polo si otti r r H ϕ ϕ + + ϕ ϕ ϕ ϕ r r H r r r H cos 2 s cos 2 2

26 Efftti di poli ri - polo grico Il guadago varia tra u massimo d u miimo dati da ma H ( ) mi H ( ) > r > + r Ampia (db) Ampia dlla Fd dl polo grico r r. r.2 r.4 r.6 r.8 r Frqua ormaliata Il guadago divta maggior all avviciarsi dl polo al crchio uitario Il picco si vrifica ad u agolo di fas pari all agolo dl polo Il grafico riporta gli adamti pr u polo stabil (risposta frquial di u polo istabil?) 26

27 Efftti di poli ri - polo grico Il ritrdo di fas è dato da r + s b arc ta r cos ( ϕ ) ϕ fas ( ) Ritardo di fas dl polo grico r r. r.2 r.4 r.6 r.8 r Si oti la liarità dl ritardo di fas pr poli ll origi o sul crchio uitario Il grafico riporta gli adamti pr u polo stabil Frqua ormaliata 27

28 Efftti di poli ri - polo ral Ampia dlla Fd co polo ral r r. r.2 r.4 r.6 r.8 r Ampia (db) Frqua ormaliata 28

29 Efftti di poli ri - polo ral 2 5 Ritrado di fas - polo ral r r. r.2 r.4 r.6 r.8 r 5 Fas ( ) Frqua ormaliata 29

30 3 Efftti di poli ri - ro grico Data la Fd corrispodt ad u sistma co u sigolo ro si otti r r H ϕ ϕ cos s arc ta cos 2 s cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r r b r r H r r r H

31 Efftti di poli ri - ro grico Il guadago varia tra u massimo d u miimo dati da ma > H ( ) + r mi H ( ) r > A part il fattor di guadago dato r, ri a distaa r o /r hao lo stsso adamto Il guadago divta maggior all allotaarsi dllo ro dal crchio uitario 3

32 Efftti di poli ri - ro grico Il ritrdo di fas è dato da r s b arc ta r cos ( ϕ ) ϕ Aticipo di fas pr ri all itro dl crchio uitario Zri all stro dl cchio uitario tdoo ad aumtar il ritardo di fas (ritardo di gruppo positivo) 32

33 Sistmi a fas miima I sistmi LSI co ri all itro dl crchio uitario si dicoo a fas miima raliao lo stsso adamto dll ampia dlla Fd risptto a uo ro posto allo stsso agolo ma a distaa rcirpoca co il miimo ritardo di fas ( ϕ ) ϕ r r r filtri cotrollori soo smpr a fas miima s il plat è a fas o miima, il problma di cotrollo è più complicato problmi di stabilità s si crca u buo isguimto dl rifrimto 33

34 INGEGNERIA E ECNOLOGIE DEI SISEMI DI CONROLLO su sistmi liari discrti - Fi Prof. Carlo Rossi DEIS - Uivrsità di Bologa l: mail: crossi@dis.uibo.it