Argomenti introduttivi

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1 Apputi di Elaborazio umrica di sgali Prmss sui sistmi liari... Risposta all impulso... Sviluppo i sri di Fourir...4 Dimostrazio dlla formula di cofficiti dllo sviluppo di Fourir pr (t) ral 5 rasformata di Fourir...6 Spttri bilatri spttri uilatri...7 Rapprstazio mdiat vttori rotati...9 PREMESSE SUI SISEMI LINEARI Ricordiamo ch u sistma diamico tmpo-cotiuo è smpr dscrivibil mdiat u sistma di quazioi diffrziali. Il fatto ch si usio quazioi diffrziali driva dal fatto ch il sistma ha mmoria: si psi ad ua smplic rti lttrica cott codsatori d iduttori (cioè apputo li dotati di mmoria). S, ivc, il sistma o coti li dotati di mmoria, allora sso può ssr dscritto da u sistma di quazioi algbrich: si psi ad ua rt lttrica composta solo da li rsistivi (rsistori, diodi, trasformatori idali). A oi itrssao solo sistmi dotati di mmoria. Ua fodaal proprità di u sistma è la liarità: u sistma si dic liar s solo s gli può ssr applicato il oto pricipio di sovrapposizio dgli fftti, val a dir l proprità di additività di omogità. Altra proprità importat è la tmpo-ivariaza: s il sistma mati ivariat l tmpo l propri carattristich, allora si dic ch tmpo-ivariat. Da u puto di vista pratico, la tmpoivariaza dl sistma si maifsta l fatto ch i cofficiti dll quazioi diffrziali ch dscrivoo il sistma soo costati. E importat ossrvar ch u grico sistma può o dipdr sola dal tmpo, ma ach da u umro qualsiasi di altr variabili idipi: s così è, l uscita dl sistma avrà sia dll drivat risptto al tmpo sia dll drivat risptto all altr variabili idipi; si trattrà prciò di drivat parziali. S, ivc, la variabil idip è ua sola (gral il tmpo, ma può ach trattarsi di qualcos altro), allora l drivat soo totali. RISPOSA ALL IMPULSO La proprità di liarità ha ua otvol importaza, i u sistma, i quato cost di smplificar l aalisi dl sistma stsso i bas al sgut ragioao: dato il ostro sistma, suppoiamo di avr u igrsso (t) di volr calcolar la corrispo risposta; aziché riptr lo stsso calcolo ogi volta, cioè pr ogi possibil igrsso (t), è molto comodo rapprstar l igrsso (t) com combiazio liar di opportui sgali lari risptto ai quali si

2 Apputi di Elaborazio umrica di sgali coosca la risposta dl sistma: i qusto modo, ifatti, la risposta ad (t) sarà ottuta com sovrapposizio dll rispost ai sigoli sgali lari. Si po allora il problma di quali sgali lari scglir. Uo di qusti è sicura il oto impulso di Dirac, idicato co δ(t). A tal proposito, è b ricordar ch il δ(t) o è propria ua fuzio, ma ua distribuzio; ciò sigifica ch sso ha sso solo s si trova all itro di u itgral: ifatti, la dfiizio dl rigorosa δ(t) fa rifrio a qul particolar sgal tal ch δ ( t) f (t) = f () Qusta rlazio driva dal fatto ch δ(t) è u impulso, ctrato i t=, di bas ifiitsima di ara ifiita. Natural, possiamo ach spostar l impulso, applicadolo, aziché i t=, i u grico istat τ: ua dirtta cosguza di qulla rlazio è ch δ ( t τ) f (t) = f ( τ) Usiamo duqu l impulso di Dirac, applicato i u grico istat τ, com igrsso al ostro sistma liar calcoliamo la corrispo risposta : la idichiamo grica co h(t,τ), pr sottoliar il fatto ch ssa dipd, i gral, da τ oché ovvia dal tmpo. δ ( t τ) Sistma h(t, τ) liar S il sistma è tmpo-ivariat, è ovvio ch la risposta dl sistma o più dipdr dagli istati t τ i modo assoluto, ma solo dalla loro distaza, pr cui la risposta sarà i qusto caso h(tτ): δ( t τ) Sistma liar tmpo-ivariat h(t τ) Dobbiamo ora capir com sfruttar h(t-τ) pr calcolar la risposta dl sistma (liar tmpoivariat) al grico igrsso (t). S oi cosidriamo u impulso δ(t-t ) applicato i igrsso al sistma i u istat t, avrmo ua risposta h(t-t ); s applichiamo u altro impulso δ(t-t ), avrmo ua risposta h(t-t ) così via. La risposta dl sistma all igrsso costituito da ua combiazio (liar) di impulsi sarà quidi ua combiazio, co gli stssi cofficiti, dll rispost ai sigoli impulsi: Ossrviamo ioltr ch qull itgral rapprsta, pr smplic dfiizio, il prodotto scalar tra i sgali δ(t) d f(t). ch o sarà la cosidta risposta all impulso dl sistma, ch ivc è dfiita solo com la risposta dl sistma ad u impulso applicato i t=, ossia com risposta a δ(t). Essa si idica co h(t)

3 3 (t) = αδ(t t ) + βδ(t t ) + γδ(t t 3 ) +... u(t) = αh(t t ) + βh(t t ) + γh(t t ) +... Il sgal di igrsso (t) sarà composto da ifiiti impulsi, applicati oguo i u istat divrso d avti ara pari al valor di (t) i qullo stsso istat; la risposta complssiva sarà allora ottuta com somma dll ifiit rispost, val a dir com itgral 3 dll rispost: u(t) = (t τ)h( τ) dτ A b vdr, qusta è la ota formula di covoluzio tra l igrsso (t) la fuzio di risposta all impulso h(t) dl sistma: u (t) = (t)*h(t) A titolo di richiamo, ricordiamo ch il prodotto di covoluzio god dlla proprità commutativa, pr cui risulta u (t) = (t) * h(t) = (t τ)h( τ)dτ = ( τ)h(t τ)dτ = h(t) * (t) Pr passar dall uo all altro itgral basta oprar u cambio di variabil. A qusto puto, ha sso chidrsi s qusto modo di procdr pr calcolar l uscita dl grico sistma liar tmpo-ivariat sia ffttiva comodo oppur o. I fftti la risposta è o, dato ch o smpr il calcolo dll itgral di covoluzio è agvol. Si può allora provar a dar, dl sgal grico i igrsso, u altra dscrizio, possibil più comoda di qulla com somma di ifiiti impulsi. Si tratta cioè di scglir u altro tipo di fuzioi lari. Si possoo ad smpio utilizzar l cosidt autofuzioi dl sistma: si tratta di sgali co la particolarità ch, trado i igrsso al sistma, scoo iici, salvo u fattor di scala (ral o complsso). autofuzio (t) Sistma liar tmpo-ivariat a(t) Classici smpi di autofuzioi, pr u sistma liar, soo l fuzioi siusoidali: s madiamo i igrsso ua siusoid ad ua rmiata frquza, possiamo ottr i uscita soltato la stssa siusoid, co solo ua variazio di ampizza /o di fas 4. alvolta ci si sprim 3 Il fatto ch ci sia u itgral da calcolar è smpr lgato al fatto ch il sistma prsta ua mmoria, pr cui la risposta i u dato istat o dipd solo dal valor dll igrsso i qull istat, ma ach dai valori i u crto umro di istati prci. 4 Sappiamo ifatti ch u sistma liar o può grar i uscita compoti spttrali a frquza divrsa da qull igrsso. Qusta carattristica compt solo ai sistmi o liari 3

4 Apputi di Elaborazio umrica di sgali dicdo ch la risposta dl sistma ad ua crta frquza è disaccoppiata dall rispost dl sistma a tutt l altr frquz. N.B. Possiamo ossrvar du cos: i primo luogo, pr i sistmi o liari, l siusoidi o soo affatto dll autofuzioi: psiamo ad smpio ad u sistma co carattristica quadratica; i scodo luogo, pr i sistmi liari, ci possoo ssr fuzioi divrs dall siusoidi ma ch rapprstao ugual dll autofuzioi: pr smpio, s cosidriamo u drivator gli madiamo i igrsso il sgal αt, ricaviamo i uscita α αt, cioè u sgal iico all igrsso, salvo il fattor di scala α. Possiamo duqu psar di dscrivr il grico sgal i igrsso com sovrapposizio di frquz ampizz opportu, ivc ch com sovrapposizio di impulsi, ottdo acora ua volta ch l uscita sarà ua sovrapposizio dll rispost all sigol compoti i igrsso. Il vataggio, risptto all uso dgli impulsi, è ch o dobbiamo più usar ua itgrazio, dato apputo il disaccoppiao tra l uscit. Qusto tipo di composizio è qulla ffttuata dall aalisi di Fourir. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cosidriamo u grico sgal (t) cotiuo: sso si dic priodico quado si ript ugual ogi itrvallo di tmpo di ampizza fissa (priodo): ( t) = ( t + ) co N > Si dimostra ch qusto sgal, oltr ch co la sua ormal rapprstazio aalitica, è sprimibil ach co il sgut sviluppo i sri, to apputo sri di Fourir: (t) = = jπf t dov f =/. I cofficiti di qusto sviluppo hao la sgut sprssio: = / jπf t / ( t) I pratica, abbiamo sprsso (t), com si dicva l paragrafo prc, com somma di ifiit siusoidi (ciascua psata da u proprio cofficit), sprss ciascua i trmii di spozial complsso (cioè com u vttor rotat). No solo, ma tali siusoidi o soo di priodo qualsiasi, ma di priodo multiplo dl priodo dl sgal (t) origiario. 4

5 E ovvio ch la possibilità di usar ua simil rapprstazio di (t) prsuppo la possibilità di calcolar gli, ossia di risolvr l itgral riportato ll ultima formula. Ioltr, trattadosi di ua sri, la sri di Fourir può covrgr o mo. Noi ritrrmo smpr vrificata la covrgza, il ch quival a di rquisiti tutt altro ch strigti pr il sgal (t) (ch può ssr, i gral, sia ral sia complsso). Pr quato riguarda spcifica i cofficiti dllo sviluppo, gral soo complssi possiamo subito vdr prché: s oi applichiamo l formul di Eulro cos = si = j j + j j j abbiamo ch ( π ) jπft = cos( πft) jsi ft pr cui, adado a sostituir ll sprssio di ottiamo / = ( ) ( ) t f t + j / ( ) cos π t si ft ( ) π 444 / 4443 / R( ) Im( ) qusto ci cofrma ch, i gral, gli soo di umri complssi. Dimostrazio dlla formula di cofficiti dllo sviluppo di Fourir pr (t) ral Smpr a proposito di cofficiti, crchiamo subito di rdrci coto com si arriva alla loro sprssio. Possiamo partir cosidrado u particolar itgral: / / jπ t jπ Sza scdr i tagli aalitici 5, si può dimostrar (usado l formul di Eulro pr splicitar i du spoziali cosidrado la parità dlla fuzio Coso la disparità dlla fuzio So) ch qusto itgral può assumr soltato du valori, a scoda di valori di m di (trambi umri itri): / jπ t / jπ = s m = s m Qusto risultato provi dalla ortogoalità dll fuzioi spoziali cosidrat i qull itgral. 5 pr i quali si rimada a quato visto l corso di oria di Sgali 5

6 Apputi di Elaborazio umrica di sgali Possiamo allora facil sfruttar qusto risultato: pr prima cosa, cosidrado lo sviluppo di Fourir di (t), moltiplichiamo ambo i mmbri pr jπ, ottdo (t) jπ = = jπ t jπ Adsso itgriamo tra -/ /, i modo da ottr a scodo mmbro proprio l itgral citato prima: / / (t) jπ = / / = jπ t jπ Portado fuori dall itgral la sommatoria portado succssiva fuori dall itgral ach il grico, ottiamo ch / / (t) jπ = / = / jπ t jπ = / = / jπ t jπ L itgral a scodo mmbro è, com to, proprio qullo citato prima; allora, cosidrado ch abbiamo ifiiti itgrali, pr ch va da - a, è vi ch l uico o ullo (ma paria ) è qullo ch si otti pr =m, pr cui scriviamo ch / / (t) jπ = m Da qui si otti l sprssio dl grico cofficit dllo sviluppo i sri, pr cui abbiamo ottuto qullo ch volvamo. RASFORMAA DI FOURIER S il sgal s(t) cosidrato o è più priodico (il ch si può ach sprimr dicdo ch il priodo td all ifiito), lo sviluppo i sri di Fourir subisc dll modifich: ifatti, cosidrado, la sommatoria si trasforma i u itgral, co l accortzza ch tal itgral o cssaria covrg: s(t) jπ = f f t S( ) df Nl passaggio dalla sommatoria all itgral, i pratica cotiuiamo a dscrivr (t) com combiazio di fuzioi bas siusoidali, ma co du diffrz: i primo luogo, cambiamo i cofficiti di pso; i scodo luogo, o cosidriamo più frquz co valori discrt, ma tutt l possibili frquz tra -. 6

7 I cofficiti di pso soo adsso rapprstati da S(f), cioè apputo dalla trasformata di Fourir di s(t). ali cofficiti si calcolao tramit u itgral dl tutto simil a qullo usato pr i cofficiti dllo sviluppo di Fourir: S( f ) π = s(t) j ft Qusta è la ota formula di trasformazio scodo Fourir, r la prc ra la formula di atitrasformazio di Fourir. Ovvia, affiché la rapprstazio di s(t) mdiat la trasformata di Fourir sia possibil, l itgral ll ultima formula dv covrgr. La codizio pr tal covrgza è ch s(t) sia u sgal ad rgia fiita, il ch sigifica ch la quatità E S = s(t) dv ssr u umro ral o ullo. Il coctto di fodo, circa l applicazio dlla trasformata di Fourir, o cambia risptto ai paragrafi prci: voldo calcolar la risposta dl sistma ad u grico sgal (priodico o mo), è sufficit cooscr com rispod il sistma ad ua siusoid di frquza f (s il sistma è liar, sso o farà altro ch cambiar ampizza fas dlla siusoid i igrsso, lasciado ivc ialtrata la frquza); ota qusta iformazio, la risposta dl sistma all igrsso s(t) sarà data dalla rlazio U( f ) = S( f )H( f ) (valida ovvia l domiio dlla frquza), dov S(f) è la trasformata dl sgal i igrsso, r H(f) è il fattor moltiplicativo complsso ch ti coto dlla variazio di fas di ampizza itrodott dal sistma. Nota U(f), il calcolo di u(t) si otti tramit atitrasformazio. SPERI BILAERI E SPERI UNILAERI L stsio dllo spttro di u sgal a frquz gativ o aggiug alcua iformazio alla cooscza dl sgal stsso. Il prché è lla ota proprità dlla trasformata di Fourir i bas alla qual S ( f ) = S*(f ) : qusta proprità dic, i pratica, ch, oto lo spttro pr frquz positiv, qullo pr frquz gativ si otti com suo complsso coiugato. Il motivo pr cui si usa l stsio a frquz gativ è ch sommado dgli spoziali co spot immagiario si otti u risultato ral (formul di Eulro). Crchiamo allora di approfodir qusto coctto. Pr prima cosa, ricordiamo la cosidta forma spozial dllo sviluppo i sri di Fourir di u sgal priodico di priodo : (t) = = jπf t 7

8 Apputi di Elaborazio umrica di sgali Il sgal (t) i qustio è sprsso, i qusto caso, com somma di ifiiti trmii spoziali f t complssi dl tipo j π : sparado i trmii pr <, = >, abbiamo quato sgu: (t) = = jπf t + + = jπf t A part il trmi i cotiua, abbiamo spoziali complssi a frquza positiva spoziali complssi a frquza gativa; o solo, ma ci possiamo ricordar dlla ota proprità scodo cui = ( ) * : i bas a qusta proprità, pr ogi spozial a frquza positiva jπft, c è smpr il corrispo complsso coiugato * jπf t a frquza gativa. Qusto è duqu u primo modo di sprimr il grico sgal priodico, cioè com somma di spoziali complssi: qusto costrig ad usar sia l frquz positiv sia qull gativ. S, ivc di ricorrr alla somma dgli spoziali, si ricorr alla somma di cosi si, lo spttro vi dfiito soltato pr frquz positiv, icluso lo zro. Ifatti, cosidrado ch, i jπft = cos(πft) + jsi πft, possiamo scrivr ch bas all formul di Eulro, risulta ( ) (t) = = jπf t = ( cos(πf t) + jsi(πf t) ) = cos(πf t) + j si(π ft) = = = Ioltr, s tiriamo fuori dall du sommatori il trmi ch si otti pr = ottiamo [ ] ( t) = cos( πf t) + si( πf t) + cos( πf t) + j si( π ft) Ma, ricordado ch f =/, è vi ch f =, pr cui (t) = = = + cos(πf t) + j si(πft) = = Qusta è u altra sprssio, ta trigoorica, dllo sviluppo i sri di Fourir di u sgal priodico. Essa è assoluta quivalt a qulla spozial, pr il moo, mati il fatto di usar l frquz gativ. D altra part, s poiamo c = S ϕ = ph S si dimostra ch lo sviluppo può ach ssr sprsso com (t) = c + c cos(πf t + ϕ ) = Com aticipato prima, abbiamo duqu ua somma di sgali siusoidali rali a tutt sol l frquz positiv, iclusa qulla ulla. 8

9 Ripiloghiamo allora l modo sgut: l uso dll fuzioi spoziali ( quidi dll frquz gativ) è più comodo i calcoli, ch risultao più smplici 6, ma ha l icovit di richidr, pr ogi ffttiva frquza (cioè pr ogi ffttiva oscillazio siusoidal), du puti sull ass dll frquz, simrica allocati risptto all origi. A chiario ultrior di qusto coctto, basta cosidrar u sgal priodico pura siusoidal, ad smpio u Coso: applicado l formul di Eulro, possiamo scrivr ch cos jπft jπft ( πf t) = + Il primo mmbro rapprsta il sgal com ua siusoid ral, r il scodo mmbro rapprsta lo stsso iico sgal com somma di du spoziali complssi coiugati. Pr la rapprstazio ral, cosidriamo la sola frquza f positiva dl sgal, r pr la rapprstazio spozial dobbiamo cosidrar sia f sia -f. Rapprstazio mdiat vttori rotati L uso dll fuzioi spoziali, pur prstado il diftto di dovr cosidrar l frquz gativ, coduc, d altra part, ad ua smplic rapprstazio grafica dll gradzz siusoidali: 6 Psiamo ad smpio a com si faciliti il calcolo dlla drivata o dll itgral di u sgal: ad ua drivazio l tmpo corrispod, l domiio dll frquz, ua moltiplicazio pr jπf, r ad ua itgrazio l tmpo corrispod ua divisio pr jπf. 9

10 Apputi di Elaborazio umrica di sgali I u piao complsso, i cui l ass orizzotal è l ass di sgali rali, ua fuzio siusoidal dl tipo * A jπf t A jπft s(t) = A cos( πf t + ϕ ) = + vi rapprstata da du vttori simbolici ruotati. All istat t=, i du vttori rapprstao, smplic, A/ A*/ rispttiva; pr gli istati t>, i du vttori rapprstao ivc A * f t A j π jπf t. Il vttor risultat è ral d ha apputo il valor ( ) A cos π f t + ϕ. L icovit di dovr usar gli spoziali, quidi du vttori, si supra, lla ormal pratica, usado u solo vttor, cioè u solo spozial: prcisa, si cosidra l spozial j ft A π, co la covzio ch il sgal da sso rapprstato sia la proizio dl vttor mdsimo sull ass ral, ossia apputo il suo valor ral: Qusta oprazio quival, i pratica, a scrivr ch s(t) = A cos jπft ( πf t + ϕ ) = R[ A ] Qusta rapprstazio è, pr la sua comodità, qulla più diffusa. A qusto puto, ci possiamo chidr s la rapprstazio dll gradzz siusoidali lla f t forma [ A ] j π R sia stdibil ach alla sri di Fourir d alla trasformata di Fourir di u sgal arbitrario (priodico l caso dlla sri di Fourir). La risposta è ovvia positiva: i particolar, co rifrio alla atitrasformata di Fourir di uo spttro S(f), possiamo scrivr ch s(t) = R S(f ) + jπft Notiamo subito ch l strmo ifrior di itgrazio è + : qusto è dovuto all cautl co cui si dv trattar la compot cotiua (f=), ch è ifatti l uica frquza ch o ha, i S(f), du compoti simrich rispttiva a dstra d a siistra dll origi. df

11 S, pr ovviar all icovit, si ipotizza ch ach a frquza si abbiao du compoti (rispttiva a frquz + - ), allora si può ach prdr dirtta com strmo di itgrazio: jπft s(t) = R S(f ) df A qusto puto, possiamo dfiir uo spttro moolatro dl sgal s(t), itddolo com il doppio dllo spttro bilatro. Pr qustioi di comodità, si idica gral co S ( (f ) lo spttro bilatro cosidrato fio ad ora co S(f) qullo moolatro appa itrodotto: risultrà duqu ( S(f ) = S(f ) f [ [ +, Facdo qusta covzio di simbologia, la formula circa l atitrasformata di Fourir divta la sgut: jπft s(t) = R S(f ) df I coclusio, l uso dgli spttri bilatri S ( (f ) è comodo ai fii di calcoli cost di procdr co sicurzza, i particolar quado ci si rifrisc ad oprazio o liari com ad smpio il prodotto. Al cotrario, lo spttro uilatro S(f) ha il vataggio di ua otvol smplificazio grafica di ua maggior vidza fisica, dato ch mostra dirtta qullo ch accad all ffttiv frquz fisich. I virtù di qusti fatti, i ostri discorsi usrmo pricipal gli spttri l dsità spttrali moolatr ll formul ll figur, r ivc farmo i calcoli gral co spttri dsità bilatr. Autor: SANDRO PERIZZELLI -mail: sadry@iol.it sito prsoal: succursal: